湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期5月适应性考试(三)数学试题

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襄阳四中高三5月适应性考试

2023年普通高等学校招生全国统一考试（三）

数学

本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考记号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.已知复数满足，则的虚部为（    ）

A.2 B. C. D.

3.在的展开式中，的系数为（    ）

A. B. C.5 D.10

4.已知平面直角坐标系内直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，设，则（    ）

A. B. C. D.2

5.已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，过点向轴作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

6.已知矩形，，，沿折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

7.为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（    ）元（参考数据：，）

A.35200 B.43200 C.30000 D.32000

8.已知函数存在零点，则实数的值为（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中，正确的是（    ）

A.夹在两个平行平面间的平行线段相等

B.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C.如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内

D.已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于

10.已知函数的图象相邻两个对称中心之间的距离是，将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数，则下列结论错误的是（    ）

A.的最小正周期是 B.在上单调递增

C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称

11.记函数与的定义域的交集为.若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“函数对”.下列所给的两个函数能构成“函数对”的有（    ）

A.， B.，

C.， D.，

12.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若两个锐角，满足，则______.

14.已知随机变量服从，则当______时，概率最大.

15.椭圆与抛物线有公共点，则的取值范围是______.

16.我校为了支援山区教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，新闻记者采访其中某位队员时询问了本团队的人员构成情况.该队员回答问题的结果如下：①支教团队有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑥支教团队中教师的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上五个条件都成立。据此，我们可以推测该队员的职称是______.（从下列四个选项中选出正确的数字代号填空：（1）小学中级；（2）小学高级；（3）中学中级；（4）中学高级）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

18.（12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）若的外接圆半径为1，且的外心满足，，求的最大值.

19.（12分）已知数列满足且的前100项和

（1）求的首项；

（2）记，数列的前项和为，求证：.

20.（12分）已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交椭圆于、两点，连接，试探索直线与直线的斜率之比是否为定值，并说明理由.

21.（12分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.

（1）现从三个班中随机抽取一位同学：

（i）求该同学有购买意向的概率；

（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；

（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.

22.（12分）已知：函数，且，.

（1）求证：；

（2）设，试比较，，，的大小.

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（三）

数学参考答案

一、选择题：

1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7.D 8.B

7.D【解答】设2022年6月底小王手中有现款为元，设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴，即，年所得收入为元.故选：D.

8.B（不等式分析）

二、选择题：

9.ABD 10.ACD 11.AC 12.BCD

11.AC【解析】本题主要考查了新定义函数，考查函数的定义域和值域，考查不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题.

A.，设，易知在上单调递增，存在，使得，故时满足题意；B.，利用导数可得，故不满足题意；C.，当时满足题意；D.，若两个函数能构成“函数对”，则有得无解，故不满足题意.

【解答】A选项中，易知，设，易知在上单调递增，且，，∴存在，使得，∴当时，，即；当时，.

故当时，对任意的恒成立，故A正确；

B选项中，易知，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故，故不存在，使得对任意，不等式恒成立，故B不正确；

C选项中，易知，由得，即，故当时，对任意的恒成立，故C正确；

D选项中，选项D，由和的图象（如图）可得它们有两个交点，故不满足“函数对”的定义.

故选AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 14.5或6 15. 16.（1）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17（10分）【解析】（I）如图，∵面，连，则，

又，∴，

又，于是面，

又面中，所以面面.

（II）易得侧面与侧面所成锐二面角的余弦值为.

18.（12分）（课本改编）

【解析】（I）由及正弦定理，

得

即，

化简，得，

即.由于，

所以，.

（II）∵，∴.

由，得

平方，得，

∴

解得（当且仅当时取“=”，此时为正三角形）

故为正三角形时，取最大值2.（12分）

19.（12分）（课本改编）

【解析】（I）当为奇数时，；

当为偶数时，.

所以

又，所以

解得，.（6分）

（II）由（I）得，，，（8分）

当时，（10分）

∴

综上，知.

20.（12分）

【解析】（1）由在椭圆上，可得，

又由离心率，可得，且，

解得，，，所以椭圆的方程为.

（2）设，则，直线：，

代入：，得，

因为，代入化简得，

设，，则，

所以，，

直线：，同理可得，

化简得，

故，即，，

所以

又，

所以.

21.（12分）【解析】（I）（i）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.

由全概率公式可得：

.

（ii）由条件概率可得.

（II）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.

设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：

①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；

②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.

于是得到，易得，

由于，

于是是以首项为，公比为的等比数列，

故.

于是

于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.

22.《数学通讯》2022年4月问题征解541改编）

【解析】（I）由对称性，不妨设，

则

由于，欲证，即证：

，.

设，，由切线不等式（未证不扣分），

得，

故，单调递增，，得证.（4分）

（II）由，得在上单调递减，且，

在上单调递增且；

由（I）知

（1）当时，在上单调递增，

故，

即.

（2）当时，

由（I）的结论，得时，有，

即

由在上单调递增，故，

即.综上，得（10分）

∵，∴，

∵，关于单调递减，

∴，

综上，得

【其它解法】

解：∵，∴

∵，在上是减函数，

∴，即；

，在上是减函数，

∴，即

下面证明：当时，.（1）

设，则，

∴，即；

设，则，

∴即，

∴（1）式成立

下面证明：

（2）

∵，∴，

∴（2）式成立.