第四单元《正比例和反比例》（原卷版+解析版）——【期末复习】2022-2023学年六年级下册数学单元复习知识点+练习学案（北师大版）

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2022-2023学年北师大版六年级下册同步重难点讲义精讲精练第四单元 正比例和反比例 知识点一：变化的量1.相互关联的变量在一定条件下的变化是有规律的。2.列表与画图都可以表示变量之间的变化关系。分析表格时，要弄清两个变量及相对应的数据；分析图时，要弄清图中横轴、纵轴表示的量的名称，以及图中每一个点所对应的两个量的多少。3. 一般用含有字母的式子表示有规律的变量的变化规律，应先根据题中的条件写出等量关系式，再将等量关系式用字母表示出来。[来源:学科网]知识点二：正比例1.成正比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值一定。2.如果用x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的比值，正比例关系可以表示为=k（一定）。3.判断两个量是否成正比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的比值；（3）最后，根据比值是否一定来判断这两个变量是否成正比例。知识点三：正比例图像1.成正比例的两个量表示的各点在同一条直线上，即正比例图象的特征是一条直线。2.从正比例图象中可以得出任意一点所表示的意义。3. 观察正比例图象时，要先明确横轴、纵轴表示的意义，从图象中可以直观地看出两个量的变化情况，不需要计算，由一个量的值可以直接找到与它对应的另一个量的值。知识点四：反比例1.成反比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的积一定。2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的乘积，反比例关系可以表示为xy=k（一定）。3.判断两个量是否成反比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的积；（3）最后，根据积是否一定来判断这两个变量是否成反比例。4. 正比例和反比例的异同点考点1：正比例和反比例的意义【典例分析01】（2022春•浚县期末）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下面不能正确表示它们之间关系的是（　　）A．  B． C．【思路点拨】根据知识点之间是并列关系还是包含关系判断即可。【规范解答】解：选项A中，正比例和反比例是并列关系，不是包含关系，所以选项A不能表示它们之间的关系。选项B中，三角形按照角分类，分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，所以选项B能表示它们之间的关系。选项C中，方程是等式，是含有未知数的等式，所以选项C能表示它们之间的关系。故选：A。【考点评析】此题主要考查了韦恩图的运用，要熟练掌握。【典例分析02】（2022•巩义市）在如图各图中，能表示出两个量成正比例关系的图是（　　）A． B． C．【思路点拨】正比例关系的图象是一条经过原点的直线，据此直接进行判断并选择。【规范解答】解：因为正比例关系的图象是一条经过原点的直线，所以能表示出两个量成正比例关系的图是C。故选：C。【考点评析】此题根据正、反比例的图象特征直接进行判断并选择得解。【变式训练01】．（2022•香洲区）如图是李叔叔绘制的杨木的体积与质量变化规律图。从图中可以看出杨木的体积与质量成 　   　比例关系。照这样计算，9m3杨木重 　   　吨。【变式训练02】（2022秋•芝罘区期末）芝麻出油情况如表：芝麻（千克）203418046146……芝麻油（千克）1017902373……（1）根据表中的数据，写出芝麻和芝麻油之间的关系：（2）187千克芝麻，能榨出多少千克芝麻油？（3）如果想榨出芝麻油x千克，需要芝麻多少千克？   考点2：正比例【典例分析03】（2022•昆明）下列两个量之间成正比例关系的是（　　）A．如果＝y，x和y B．同一个圆的周长和直径 C．积（0除外）一定，一个因数和另一个因数 D．一本书的总页数一定，已读的页数和未读的页数【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【规范解答】解：选项A：如果＝y，则xy＝4（一定），x和y成反比例关系。选项B：圆的周长÷直径＝π（一定），所以同一个圆的周长和直径成正比例关系。选项C：因数×因数＝积（一定），则两个因数成反比例关系。选项D：一本书，已读的页数+未读的页数＝总页数（一定），已读的页数和未读的页数不成比例。故选：B。【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。【典例分析04】（2022•丹棱县）圆的周长和它的半径（　　）A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例【思路点拨】根据圆的周长公式C＝2πr，可知半径变大或变小，周长也会随之变大或变小．【规范解答】解：圆的周长公式：C＝2πr；当r变大时，C也随之变大；当r变小时，C也随之变小；所以C与r成正比例．答：圆的周长与它的半径成正比例．故选：A。【考点评析】此题 主要考查的是圆的周长和它的半径之间的比例关系．【变式训练03】（2022春•兴平市月考）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如表。时间/分012345……路程/千米0714212835……（1）判断磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间是不是成正比例？说明理由。（2）根据表中数据，在如图中描出路程与时间所对应的点，再把这些点依次连接起来。（3）如果该磁悬浮列车匀速行驶了52分，那么行驶的路程是 　364　千米。   【变式训练04】（2019•城固县）张师傅加工一批玩具时，加工时间与数量的变化情况如表。加工时间/时012345……加工数量/个01224364860……（1）根据表中数据，在下图中描出加工时间和加工数量所对应的点，再把这些点依次连起来。（2）加工玩具的数量与时间成正比例吗？为什么？（3）6.5小时可以加工玩具 　     　个；加工102个玩具需要 　   　小时。  考点3：反比例【典例分析05】（2022春•高台县期中）如右表，当x和y成反比例时，m是（　　） x5my412A．15 B．10 C．【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例，据此列式解答即可。【规范解答】解：当x和y成反比例时，xy＝5×4＝2012m＝20  m＝20÷12  m＝故选：C。【考点评析】此题考查的是正、反比例的运用，利用正、反比例的性质解题即可。【典例分析06】（2021•济南）师徒二人加工一批零件，师傅单独完成要40分钟，徒弟单独完成要1小时，师徒二人的工作时间比是 　2：3　；他们的工作效率比是 　3：2　。【思路点拨】师傅用40分钟完成，徒弟用1小时即60分钟完成，用40分钟比60分钟即可求出师徒二人的工作时间，再化简即可；工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，所以两者工作时间的反比就是工作效率的比，由此求解。【规范解答】解：师徒二人的工作时间比：40：60＝2：3师徒二人的工作效率比：3：2。故答案为：2：3；3：2。【考点评析】本题考查比和反比例的意义，解答本题的关键是掌握反比例的意义。【变式训练05】（2022春•平邑县校级期中）xy+3＝19，x和y成反比例关系。 　   （判断对错）  【变式训练06】（2021•济南）一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行驶72千米，4小时到达，返回时，每小时的平均速度比原来快了8千米，返回时用了多少小时？（用比例解答）   考点4：辨识成正比例的量与成反比例的量【典例分析07】（2023•鄂州模拟）小明骑自行车从家到学校，他骑车的速度和所需时间成　反　比例；分数值一定，分子与分母成　正　比例．【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【规范解答】解：速度×时间＝路程（一定）；即从家到学校的路程不变，也就是速度与时间的乘积是一定的．所以他骑车的速度和所需时间成反比例关系． 分子÷分母＝分数值（一定）；是比值一定，即分数值一定，它的分子和分母成正比例．故答案为：反；正．【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．【典例分析08】（2022•安顺）某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如表。每辆车的载质量/t2.53510所需车辆数量/辆48402412（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成 　反　比例关系。（2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。（2）用蔬菜的吨数除以车的辆数即可解答。【规范解答】解：（1）因为2.5×48＝120（t）3×40＝120（t）5×24＝120（t）……每辆车的载质量×所需车辆数量＝120（t）（一定），乘积一定，所以每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例；（2）120÷15＝8（吨）答：每辆车的载质量是8吨。故答案为：反。【考点评析】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及反比例的应用。【变式训练07】．（2022•张家川县模拟）某台机器的工作时间和耗电量如表。时间/时0123456耗电量/千瓦时0306090 150 （1）这台机器的工作时间和耗电量成正比例吗？为什么？（2）先将表格补充完整，再将表中这台机器的工作时间和耗电量对应的点描在方格纸上，再顺次连接。（3）如果这台机器的工作时间是2.5时，那么这台机器的耗电量是 　       　千瓦时。     【变式训练08】（2022•中原区）奇奇想知道他们帐篷旁边一棵树的高度，根据科学知识，奇奇知道在中午的时候树的影子是最短的，也是最容易测量的。于是他和朋友一起做了下面的实验。第一步：他找来两根长度不等的竹竿并固定，测量竹竿的高度及影长，并记录，如图：第二步：在同一时间，同一地点，测得树的影长是3米。（1）树的高度和它们的影长成 　                         　比例关系，写出判断理由：　                                        （2）请根据测量的过程，求出这棵树的高度。（用比例解答）  基础练一．选择题（共3小题）1．（2022秋•白云区期末）把20克盐溶入100克水中，盐与水的比是（　　）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：22．（2022秋•苍溪县期末）如图三个情境中的比不能用2：3表示的是（　　）A． B． C．3．（2022秋•惠来县期末）甲班人数的调入乙班后，两班人数相等，原来甲、乙两班人数的比是（　　）A．4：5 B．5：4 C．9：10 D．10：9二．填空题（共4小题）4．（2022秋•鹿邑县期末）甲与乙的比是9：10，甲比乙少 　   　，乙比甲多 　   　。5．（2022秋•武汉期末）如图长方形的长是5cm，宽是3cm，大圆与小圆的面积比是 　   　。 6．（2022秋•昌黎县期末）把看作一个数，读作 　   　；把看作一个比，读作 　   　。7．（2022秋•石家庄期末）把9克盐放入50克水中，盐和水的质量比是 　   　，盐和盐水的质量比 　   　。三．判断题（共2小题）8．（2022秋•广州期末）甲比乙少，甲与乙的比是1：11。 　   　（判断对错）9．（2022春•新抚区期中）单独加工一个零件，甲要小时，乙要小时。甲乙工效之比是2：3。 　   　（判断对错）四．应用题（共6小题）10．（2022•富县）富县的“睁眼辣子”，开胃、下饭，是餐桌上必备的饮食调味品。某食品公司将“睁眼辣子”包装成小袋售卖，购买数量和总价的关系如表。数量/袋12345……总价/元816243240……（1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？（2）68元够买几袋“睁眼辣子”？       11．（2021春•临泉县期中）水是生命之源。光明小学对同学们进行了节约用水教育。丁丁测试了一个打开的水龙头的出水量。时间/秒0102030出水量/升0246（1）表中的出水量和时间是否成正比例？为什么？（2）把上表中的数据在下面的方格纸上表示出来。（3）看图估计，这个水龙头45秒的出水量是多少？  12．（2021•正定县）果果家在装修房屋时，买了同样大小的地砖，铺地面积与所需块数的关系如图．他家的客厅面积是48平方米，需要多少块这种地砖？        13．李叔叔买了一辆汽车，如表是在试车过程中记录下的数据。汽车所行路程/千米0153045耗油量/升0246（1）在如图中描点表示上表中的数量关系，并顺次连接各点。（2）汽车所行路程和耗油量成 　   　比例。（3）汽车行60千米要耗油 　   　升。（4）油箱内还剩3升油时，汽车大约还能行驶 　   　千米。14．（2021•兴义市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表：每个小正方形的面积/cm24916所需小正方形的数量/个2169654（1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　   　比例关系。（2）如果采用面积是36cm2的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答）    15．（2022•黄陵县）晶晶去文具店购买同一支圆珠笔，购买圆珠笔的数量和总价如表所示。数量/支012345总价/元04812  （1）把上表填写完整。（2）购买圆珠笔的数量与总价成正比例吗？为什么？（3）先根据上表描点，再顺次连接各点。（4）晶晶想要买12支这种圆珠笔，一共需要花费 　   　元；如果晶晶有70元，她最多可以买 　   　支这种圆珠笔。提高练一．选择题（共3小题）1．（2022春•长兴县期中）下列说法不正确的有（　　）个。①两个比可以组成比例。②圆的面积一定，圆周率和半径成反比例关系。③两种相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化，它们不是成正比例关系就是成反比例关系。④出油率一定，菜籽油和油菜籽的质量成正比例关系。A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋•香洲区期中）白兔的只数比黑兔多，黑兔与白兔只数的最简单的整数比是（　　）A．10：9 B．9：10 C．1：10 D．1：93．（2022•沂南县模拟）下面相关联的量中，成正比例关系的是（　　）A．圆的面积与圆的半径 B．圆锥的体积一定，它的底面积和高 C．正方体的表面积和它一个面的面积 D．全班人数一定，出勤人数与缺勤人数二．填空题（共3小题）4．（2022秋•驻马店期末）两个圆的半径比是3：5，则直径的比是　   　，周长比是　   　，面积比是　   　．5．（2022•孟津县）像10：2＝5：1这样，表示两个比相等的式子叫作 　   　，10和1是它的 　   　项，2和5是它的 　   　项。6．（2022•南京）如果a＝0.5b，那么a：b＝　   　：　   　，a和b成 　   　比例关系。三．判断题（共3小题）7．（2021秋•莒县期末）把一个圆通过剪拼转化成一个近似的长方形，这个长方形的长与宽的比是π：1。 　   　（判断对错）8．（2021秋•文水县期末）走一段路，莹莹需要8分钟，玲玲需要10分钟，莹莹和玲玲的速度比是4：5。 　   　（判断对错）9．（2021秋•罗山县期末）一项工作，已经完成了，未做的与已完成工作量的比为1：3。 　   　（判断对错）四．操作题（共1小题）10．（2022•宁强县）某台榨油机的生产时间与产量的关系如下。生产时间/时0123456产量/吨04812162024（1）判断这台榨油机的生产时间与产量是不是成正比例，并说明理由。（2）根据表中数据，在图中描出这台榨油机的生产时间与产量所对应的点，再把这些点依次连接起来。（3）这台榨油机4.5时可以榨 　   　吨油；榨70吨油需要 　   　时。五．解答题（共5小题）11．（2022•杭州模拟）学校食堂运回一批大米，每天吃的量和可以吃的天数如表。每天吃的量/kg200300400500可以吃的天数/天30201512（1）判断每天吃的量和可以吃的天数是否成反比例，并说明理由。（2）如果学校食堂每天吃750kg的大米，那么这批大米可以吃几天？  12．（2022•榆林）如表是某个水龙头不断流出水的体积和时间的情况统计表。流出水的体积/升01020304050时间/分051015  （1）把表补充完整。（2）流出水的体积与时间成正比例吗？为什么？（3）先根据表描点，再顺次连接各点。（4）点（30，60）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？13．（2022•白水县）下面是某工程队修路长度与所用时间的对应数值表。修路长度/米0100200300400500时间/小时012345（1）该工程队修路长度与所用时间成正比例吗？为什么？（2）如图是该工程队修路长度与相应时间关系的图像，说一说它有什么特点？（3）照这样计算，该工程队9小时修路多少米？   14．（2022•甘井子区）在大连樱桃节活动中，一种樱桃的重量和总价的变化情况如下表：樱桃的重量/千克1234......总价/元10203040......（1）判断总价与樱桃的重量是否成正比例，并说明理由；（2）把上表中重量和总价对应的点描在方格纸上，再顺次连接，你发现了什么？（3）买7.5千克樱桃需多少元？（4）后来这种樱桃涨价为每千克售价12元，比原价涨了百分之几？15．（2021春•禹州市期中）把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。底面积/cm2510203060水面高度/cm603015105（1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在右面的方格中，再顺次连接。（2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成 　   　比例关系。（3）照这样计算，底面积是50cm2的杯子中，水面的高度是 　   　cm。