第五单元《认识方程》（原卷版+解析版）——【期末复习】2022-2023学年四年级下册数学单元复习知识点+练习学案（北师大版）

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2022-2023学年北师大版四年级下册同步重难点讲义精讲精练
第五单元 认识方程






知识点一：用字母表示数
1.用字母或含有字母的式子都可以表示数量。含有字母的式子既可以表示数量关系，还可以表示结果。
2.在式子中，字母要根据实际意义在一定范围内取值。
3.当字母和数相乘时，乘号可以简写为一个点，也可以省略不写，表示结果时，数字一般写在字母前面。
4.用字母表示运算律或计算公式时，所用字母一般比较固定，不能乱用
5. 用含有字母的式子表示数量关系，可以先写出数量关系，再把字母对应代入。
知识点二：等量关系
1.等量关系是数量间关系中的一种，它是指两边数量相等时的关系。
2. 相同的等量关系，可以用不同的式子表示，在解决问题时要合理选用。
知识点三：方程的意义
1. 含有未知数的等式是方程。 例：x+50=150、2x=200
2. 方程一定是等式，等式不一定是方程。
3.在等式中一般把含有字母的式子写在等式的左边。
知识点四：等式的性质
1.等式性质（一）：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
2.等式性质（二）：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。
知识点五：解方程
1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例如：y=19是方程y一7=12的解；x=22是方程23+x=45的解。
2.解形如“x士a=b”的方程时，方程的两边同时加上还是减去哪个数，是由方程左边的式子决定的，目的就是为了把方程化为“x=？”，这样就求出了方程的解。
3. 利用等式性质（二）解形如ax=b或x÷a=b（a不为0）的方程，具体过程如下：
解：ax÷a=b÷a 解：x÷a×a=b
x=b÷a x=ab
4.检验方程的解是否正确，步骤如下：（1）把求出的未知数的值代入原方程中；（2）计算，看等式是否成立；（3）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。
知识点六：列方程解决实际问题
列方程解应用题的思路：
A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题， B、理清题目的等量关系， C、设未知数，一般是把所求的数用X 表示D、根据等量关系列出方程， E、解方程， F、检验， G、作答。
注意：解完方程，要养成检验的好习惯。

考点1：用字母表示数
【典例分析01】（2022四下·南郑期末）汽车行驶速度90千米/时，西成高铁每时行驶的路程比汽车的x倍还多70千米，西成高铁的速度是（　　） 千米/时。
A．70x-90 B．90x+70 C．90x-70
【答案】B
【规范解答】解：西城高铁的速度是（90x+70）千米/时。
故答案为：B。
【思路点拨】数量关系：汽车的速度×x+70千米=高铁的速度，根据数量关系用字母表示高铁的速度即可。
【典例分析02】（2022四下·婺城期末）小红看一本书，共a页，她每天看5页，看x天后，一共看了　 　页，还剩　 　页。
【答案】5x；a-5x
【规范解答】解：小红看一本书，共a页，她每天看5页，看x天后，一共看了（5x）页，还剩（a-5x）页。
故答案为：5x；a-5x。
【思路点拨】用每天看的页数乘看的天数表示出一共看的页数，用总页数减去一共看的页数表示出还剩的页数即可。
【变式训练01】（2022四下·龙华期末）外卖小哥平均每小时约送x次外卖，第一天送了8小时，第二天送了9小时，那么下列选项（　　）表示的是“外卖小哥第一天送的外卖次数比第二天的少多少？”。
A．8x B．8x-9x C．9x-8x D．8x+9x
【答案】C
【规范解答】解：A：8x表示第一天送的次数；
B：8x-9x，第一天次数少，第二天次数多，无法确定这个算式表示的意义；
C：9x-8x，表示第一天送的外卖次数比第二天的少的次数；
D：8x+9x，表示两天一共送的次数。
故答案为：C。
【思路点拨】先分别表示出两天各送的次数，然后用第二天送的次数减去第一天送的次数即可。
【变式训练02】（2022四下·金东期末）2022年冬奥会吉祥物冰墩墩每个售价a元，买2个需要　 　元，付100元，应找回　 　元。
【答案】2a；100-2a
【规范解答】解：2022年冬奥会吉祥物冰墩墩每个售价a元，买2个需要（2a）元，付100元，应找回（100-2a）元。
故答案为：2a；100-2a。
【思路点拨】用每个的钱数乘2表示出买2个需要的钱数；用100减去应付的钱数求出应找回的钱数即可。
考点2：等式的认识及等量关系
【典例分析03】（2022四下·金东期末）根据提供的三个信息，列出等量关系。错误的选项是（　　）。
①笑笑有120积分
②笑笑积分数是淘气的2倍
③奇思积分数比笑笑少32分
A．淘气积分数×2=笑笑积分数
B．奇思积分数-32=笑笑积分数
C．笑笑积分数-32=奇思积分数
【答案】B
【规范解答】解：A：根据条件②可以判断等量关系正确；
B：根据条件③可知，奇思积分数+32=笑笑积分数，等量关系错误；
C：根据条件③可以判断，等量关系正确。
故答案为：B。
【思路点拨】条件②可以得到的等量关系有：淘气积分数×2=笑笑积分数，笑笑积分数÷2=淘气积分数，笑笑积分数÷淘气积分数=2；
条件③可以得到的等量关系有：笑笑积分数-32=淘气积分数，淘气积分数+32=笑笑积分数，笑笑积分数-淘气积分数=32。
【典例分析04】（2022四下·碑林期末）一个西瓜的质量比一个苹果的10倍还多60克。写出等量关系式为　 　。
【答案】一个西瓜的质量=一个苹果的质量×10＋60克
【规范解答】解：一个西瓜的质量=一个苹果的质量×10＋60克。
故答案为：一个西瓜的质量=一个苹果的质量×10＋60克。
【思路点拨】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，然后再加上多的质量。
【变式训练03】小王买了4斤苹果，他给了老板50元，老板找回他26元，苹果的单价为　 　元。
【答案】6
【规范解答】解：（50-26）÷4
=24÷4
=6（元）。
故答案为：6。
【思路点拨】苹果的单价=（付出的钱-找回的钱） ÷购买的数量。
【变式训练04】（2021四下·福田期末）根据图意只列方程不计算。
（1）
（2）
【答案】（1）解：根据天平两端的物品重量可得：120+x=300。
（2）解：根据图形可得x+（2x+4）=85，即3x+4=85。
【思路点拨】（1）根据天平两端物品的重量相等，即可得出120+x=300；
（2）等量关系为儿童票的钱数+成人票的钱数=一共的钱数，代入数值，即可列出方程。
考点3：方程的认识及列简易方程
【典例分析05】（2022四下·西安期末）小明有18元，小华有x元钱，小明给了小华5元钱后，两人的钱数同样多。下列方程正确的是（　　）。
A．x+5=18 B．18-x=5 C．x+5=18-5
【答案】C
【规范解答】解：下列方程正确的是x+5=18-5 。
故答案为：C。
【思路点拨】小明给了小华5元钱后，两人的钱数同样多，说明小明比小华多10元；等量关系：小华的钱数+5元=小明的钱数-5元。
【典例分析06】（2022四下·府谷期末）看图列方程并解答。

【答案】解：7.3＋2x=12.9
2x=12.9-7.3
2x=5.6
x=5.6÷2
x=2.8
【思路点拨】依据等量关系式：左边的数＋右边的数=总数，列方程，然后综合应用等式的性质解方程。
【变式训练05】（2021四下·渭滨期末）一个数的8倍加上6等于30，求这个数。正确的方程是(　　)。
A．8x+6=30 B．8 x-6=30 C．x=(30+6)÷8
【答案】A
【规范解答】解：正确的方程是8x+6=30。
故答案为：A。
【思路点拨】设这个数是x，然后根据题意列出方程即可。
【变式训练06】（2020四下·九台期末）看图列方程解答。
（1）
（2）
【答案】（1） 2.5×4+x=19.9
解：10+x=19.9
x=9.9
（2）1.5+y=6.2
解：y=3.7
【思路点拨】（1）题中存在的数量关系是：一个冰淇淋的价钱×冰淇淋的个数+一个汉堡的价钱=一共的钱数，据此列方程作答即可；
（2）题中存在的数量关系是：小树的高度+大树比小树高的高度=大树的高度，据此列方程作答即可。
考点4：应用等式的性质1解方程
【典例分析07】（2022四下·东阳期末）解方程。
（1）2x+4.8=14.8
（2）9y-4y=20+15
【答案】（1）解：2x+4.8=14.8
2x=14.8-4.8
2x=10
x=10÷2
x=5
（2）解：5y=35
y=35÷5
y=7
【思路点拨】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；
（1）综合应用等式的性质解方程；
（2）应用等式的性质2解方程。
【典例分析08】（2022四下·惠阳月考）解方程
（1）x－1.8＝6.7
（2）16＋3x＝40
（3）3.6+x=10.4
（4）8x＝48
【答案】（1）解：x＝6.7+1.8
x＝8.5
（2）解：3x＝40-16
3x＝24
x＝8
（3）解：x=10.4-3.6
x=6.8
（4）解：x＝48÷8
x＝6
【思路点拨】解方程要掌握等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立。
【变式训练07】5路公交车上原来有x人，到站后，有5个人下车，11个人上车，这时车上有31人。车上原来有（　　）人。
A．47 B．25 C．15 D．27
【答案】B
【规范解答】解：x-5＋11=31
解：x＋6=31
x=31-6
x=25
故答案为：B。
【思路点拨】依据等量关系式： 5路公交车上原来的人数-到站后下车的人数＋又上车的人数=这时车上的人数，列方程，解方程。
【变式训练08】（2020四下·赤坎期末）解方程。
（1）x－7＝12
（2）x＋23＝45
（3）7 x＝35
【答案】（1）x－7＝12
解：x＝12+7
x＝19
（2）x＋23＝45
解：x＝45－23
x＝22
（3） 7 x＝35
解：x＝35÷7
x＝5
【思路点拨】解方程时，先把相同的项放在一起计算，即把含有x的项放在等号的左边，把常数项放在等号的右边，然后等号两边同时除以x前面的系数，就可以解得x的值。
考点5：应用等式的性质2解方程
【典例分析09】（2021四下·沂源期末）解方程。
①5x+7=28
②6.6x+5.4x=19.2
③4x-0.7 =8.1
④12+5x=72
⑤7.5+2.5x=15
⑥x-0.85x=3
【答案】①5x+7=28
解：5x=28-7
5x=21
x=21÷5
x=4.2
②6.6x+5.4x=19.2
解：12x=19.2
x=19.2÷12
x=1.6
③4x-0.7 =8.1
解：4x=8.1＋0.7
4x=8.8
x=8.8÷4
x=2.2
④12+5x=72
解：5x=72-12
5x=60
x=60÷5
x=12
⑤7.5+2.5x=15
解：2.5x=15-7.5
2.5x=7.5
x=7.5÷2.5
x=3
⑥x-0.85x=3
解：0.15x=3
x=3÷0.15
x=20
【思路点拨】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；
①、③、④、⑤综合利用等式的性质解方程；
②、⑥利用等式的性质2解方程。
【典例分析10】解方程：
（1）6x=24
（2）4y-24=16
（3）2.5x÷6=2.5
（4）3x＋2.4x=10.8
【答案】（1） 6x=24
解：x=24÷6
x=4
（2） 4y-24=16
解：4y=16+24
y=40÷4
y=10
（3） 2.5x÷6=2.5
解：2.5x=2.5×6
x=2.5×6÷2.5
x=6
（4）3x+2.4x=10.8
解：5.4x=10.8
x=10.8÷5.4
x=2
【思路点拨】解方程要掌握等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，同时乘或除以一个非0数，等式仍然成立。
【变式训练09】（2019四下·沂源期末）方程1.5x=6的解是（　　）
A．6 B．4 C．9
【答案】B
【规范解答】解：方程1.5x=6的解是x=4。
故答案为：B。
【思路点拨】在只含有系数的方程计算中，可以利用等式的性质2，将这个方程的两边同时除以x的系数就可以解出x的值。
【变式训练10】方程0.4x=0.1的解是（　　）
A．x=4 B．x=0.25 C．x=2.5
【答案】B
【规范解答】解：0.4x=0.1
x=0.1÷0.4
x=0.25
故答案为：B

【思路点拨】根据等式的性质，把方程两边同时除以0.4即可求出未知数的值.
考点6：综合应用等式的性质解方程
【典例分析11】（2022四下·惠阳期末）解方程。
①6x=42
②5y+3.5=48.5
③14x-9=145
④17+x=43
【答案】① 6x=42
解：x=42÷6
x=7
②5y+3.5=48.5
解： 5y=48.5-3.5
5y=45
y=45÷5
y=9
③14x-9=145
解：14x=145＋9
14x=154
x=154÷14
x=11
④17+x=43
解： x=43-17
x=26
【思路点拨】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；
（1）应用等式的性质2解方程；
（2）、（3）综合应用等式的性质解方程；
（4）应用等式的性质1解方程。
【典例分析12】（2022四下·金东期末）看图列方程，并解答。
（1）
（2）
【答案】（1）解：2x+52=68
2x=68-52
x=16÷2
x=8
（2）解：3x+200=2000
3x=2000-200
x=1800÷3
x=600
【思路点拨】（1）2杯的钱数+一壶的钱数=68元，根据等量关系列方程解答即可；
（2）3段的长度+还剩的长度=总长度，根据等量关系列方程解答即可。
【变式训练11】（2022四下·西安期末）解方程。
①9x=81
②2.7+x=4
③x÷4.5=0.8
④6x-37=83
【答案】①9x=81
解：x=81÷9
x=9
②2.7+x=4
解：x=4-2.7
x=1.3
③x÷4.5=0.8
解：x=0.8×4.5
x=3.6
④6x-37=83
解：6x=83+37
6x=120
x=120÷6
x=20
【思路点拨】综合运用等式性质解方程；
等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【变式训练12】（2022四下·雁塔期末）解方程。
（1）8x÷2=24
（2）25x-6=194
（3）6x+19×0.5=45.5
【答案】（1）解：8x=24×2
8x=48
x=48÷8
x=6
（2）解：25x=194+6
25x=200
x=200÷25
x=8
（3）解：6x+9.5=45.5
6x=45.5-9.5
6x=36
x=36÷6
x=6
【思路点拨】综合运用等式性质解方程；
等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
考点7：列方程解含有一个未知数的应用题
【典例分析13】（2022四下·甘井子期末）爸爸要栽400棵樱桃树，栽了3天后，还剩40棵没栽。爸爸平均每天栽多少棵樱桃树？先画出线段图，再列方程解答。
【答案】解：
设爸爸平均每天栽x棵樱桃树。
3x+40=400
3x=400-40
3x=360
x=120
答：爸爸平均每天栽120棵樱桃树。
【思路点拨】平均每天栽的棵数×天数+40棵=樱桃树总棵数，根据等量关系式列方程解答即可。
【典例分析14】（2022四下·东阳期末）中国高铁技术堪称世界第一，不仅运营里程最长，配套体系建设规模也是最大的。当前“复兴号”标准速度为350千米/小时，比普通列车速度的4倍少10千米，普通列车的速度是多少千米/时？（用方程解决）
【答案】解：设普通列车的速度是x千米/时。
4x-10=350
4x=350＋10
4x=360
x=360÷4
x=90
答：普通列车的速度是90千米/时。
【思路点拨】依据等量关系式：普通列车速度×4-少的路程=当前“复兴号”的标准速度，列方程，解方程。
【变式训练13】（2022四下·碑林期末）长方形画框的长是164厘米，比宽的2倍多24厘米，宽是多少厘米？（用方程解答）
【答案】解：宽是x厘米。
2x＋24=164
2x=164-24
2x=140
x=140÷2
x=70
答：宽是70厘米。
【思路点拨】依据等量关系式：宽的长度×2＋24厘米=长的长度，列方程，解方程。
【变式训练14】（2022四下·雁塔期末）四年级（1）班同学在手工课上折玫瑰花和幸运星用来装饰教室，其中幸运星折了283颗，比玫瑰花的2倍少37颗，玫瑰花折了多少颗？（用方程解答）
【答案】解：设玫瑰花折了x颗。
2x-37=283
2x=283+37
2x=320
x=320÷2
x=160
答：玫瑰花折了160颗。
【思路点拨】等量关系：玫瑰花折的颗数×2倍-37颗=幸运星折的颗数；根据等量关系列方程，根据等式性质解方程。

基础练
一、选择题
1．（2022四下·婺城期末）下面选项中，（　　）表示“m的2倍比52少多少”。
A．2（m-52） B．2m-52 C．52-2m D．2（52-m）
【答案】C
【规范解答】解：（52-2m）表示“m的2倍比52少多少”。
故答案为：C。
【思路点拨】m的2倍就是2m，用52减去2m即可表示出m的2倍比52少多少。
2．（2022四下·南郑期末）汽车行驶速度90千米/时，西成高铁每时行驶的路程比汽车的x倍还多70千米，西成高铁的速度是（　　） 千米/时。
A．70x-90 B．90x+70 C．90x-70
【答案】B
【规范解答】解：西城高铁的速度是（90x+70）千米/时。
故答案为：B。
【思路点拨】数量关系：汽车的速度×x+70千米=高铁的速度，根据数量关系用字母表示高铁的速度即可。
3．（2022四下·碑林期末）一套衣服560元，上衣的价钱是裤子的2倍。下面等量关系式中正确的是（　　）。
A．裤子的价钱+裤子的价钱×2=560
B．上衣的价钱+裤子的价钱×2=560
C．裤子的价钱+上衣的价钱×2=560
D．裤子的价钱+上衣的价钱÷2=560
【答案】A
【规范解答】解：正确的是：裤子的价钱+裤子的价钱×2=560。
故答案为：A。
【思路点拨】上衣的价钱=裤子的价钱×2，则裤子的价钱+裤子的价钱×2=560。
4．（2022四下·碑林期末）下列式子中，共有（　　）个是方程。
①6x=2②a+3c=b③1+9=10④3m-7