2023年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷

这是一份2023年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省襄阳市老河口市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.
1．如果向右走3m记作m，那么向左走2m记作（      ）
A．m B．m C．m D．m
2．如图是某学校的领奖台，则它的主视图是（    ）

A． B． C． D．
3．北京时间2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风发射场成功着陆．航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功返回地面．目前我国空间站已经官宣：空间站每天绕地球19圈，大约96分钟绕一圈，速度约为28000千米/小时，28000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．直线 ABCD，且AD⊥BC于点E，若∠ABE＝32°，则∠ADC的度数为（　　）

A．68° B．58° C．48° D．68°
5．下列图形不是轴对称图形的是（  ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（    ）
A．随机事件发生的概率大于0且小于1
B．“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件
C．不确定事件发生的概率为0.5
D．“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件
7．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
8．为了维修某高速公路需开凿一条长为米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿米，且甲工程队开凿米所用的天数与乙工程队开凿米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿（  ）
A．米、米 B．米，米 C．米，米 D．米，米
9．已知，，是反比例函数的图像上的三个点，且，，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线与轴交于点，对称轴为，与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与轴的另一个交点是；②点，，，在抛物线上，且满足，则；③常数项的取值范围是；④系数的取值范围是．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。把答案填在答题卡的相应位置上。）
11．计算：=________．
12．点P(2m+6,m﹣1)在第三象限，则m的取值范围是_____________．
13．十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数．如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从4，5，6，9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是______．
14．抛物线y＝﹣4x2+8x﹣3的最大值是_____．
15．如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为__________．

16．如图中，与的平分线相交于H，过点H作交于E，交于F，于D，以下四个结论①；②；③点H到各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时，一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 _____．


三、解答题（本大题共9个小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。）
17．先化简，再求值：，其中．
18．某市“每天锻炼一小时，幸福生活一辈子”活动已开展了一年，为了解该市此项活动的开展情况，某调查统计公司准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
A．从一个社区随机选取200名居民；
B．从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；
C．从该市公安局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象，然后进行调查．
(1)在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是________(填序号)；
(2)由一种比较合理的调查方式所得到的数据制成了如图所示的条形统计图．在这项调查中，这200名居民每天锻炼2小时的人数是________人；
(3)若该市有100万人，请你利用(2)中的调查结果，估计该市每天锻炼2小时及以上的人数是多少；
(4)若该市有100万人，你认为这个调查活动的设计有没有不合理的地方？谈谈你的理由．

19．在数学活动课上，数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：

（1）在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；
（2）在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；
（3）量出A、B两点间的距离为4.5米．请你根据以上数据求出大树CD的高度．（可能用到的参考数据：sin35°»0.57；cos35°»0.82；tan35°»0.70）
20．如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点 A，B，以线段 AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB=2
(1)求直线 AB的解析式；
(2)求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=，说明理由.

21．如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．

小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：
x1＝AP
0
1
2
3
4
5
θ＝∠QMP
α
85°
130°
180°
145°
130°
小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：
根据以上材料，回答问题：
（1）表格中α的值为　 　．
（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．
①在这个函数关系中，自变量是　 ，因变量是　 ；（分别填入x1和x2）
②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；
③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为　 ．
22．如图，在中，，以为直径的圆交、与点和点，且为的中点，过点作与点，

(1)求证：是的切线；
(2)求的值．
23．某商场计划购进甲、乙两种商品共件，这两种商品的进价、售价如表所示：

进价（元/件）
售价（元/件）
甲种商品


乙种商品


设购进甲种商品（，且为整数）件，售完此两种商品总利润为元．
（1）该商场计划最多投入元用于购进这两种商品共件，求至少购进甲种商品多少件？
（2）求与的函数关系式；
（3）若售完这些商品，商场可获得的最大利润是__________元．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．

(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；
(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当BE=BF时，求线段CD的长．
25．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．








参考答案：
1．【分析】明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
解：∵向右走3m记作m，
∴向左走2m记作m，
故选D．
【点评】本题主要考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，可得如下图形：

故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．【分析】用科学记数法表示较大数字时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位少1，据此判断即可求解．
解：整数28000共计5位，采用表达，则有a=2.8，n=5−1=4，
即：28000用科学记数法表示为，
故选C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，准确确定a、n的值是解答本题的关键．
4．【分析】根据ABCD，可得∠ABE=∠BCD，再由直角三角形两锐角互余，可求出答案．
解：∵ABCD，且∠ABE＝32°，
∴∠ABE=∠BCD=32°；
∵AD⊥BC于点E，
∴∠CED=90°，
∴∠ECD＋∠EDC=90°，
∴∠ADC=58°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，垂直的定义，熟练运用性质转化角度关系是解题的关键．
5．【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）依次进行判断即可．
解：A．不是轴对称图形；故此选项符合题意；
B．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形；故此选项不符合题意；
故选A．
【点评】考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
6．【分析】根据随机事件、矩形的判定以及概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、随机事件发生的概率大于0，小于1，故本选项正确，符合题意；
B、“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形不能确定”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故本选项错误，不符合题意；
D、“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：，其中必然发生的事件的概率（A）；不可能发生事件的概率（A）；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
7．【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
解：添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
8．【分析】设乙工程队每天能开凿x米，那么甲工程队每天能开凿（x+10）米，根据“甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同”列出方程并解答．
解：设乙工程队每天能开凿米，那么甲工程队每天能开凿米，依题意得
，
解得：，
经检验，x=20是原方程的根，
所以，x+10=20+10=30，
所以乙工程队每天能开凿20米，甲工程队每天能开凿30米．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据，，则，，的大小关系即可．
解：∵反比例函数中，
∴函数图像在二、四象限，
∴在每一个象限内随的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【点评】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图像在二、四象限是解答此题的关键．
10．【分析】根据题意作出草图，进而根据抛物线的对称性和已知条件可知另一个交点即可判断①，根据抛物线与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动，进而可得的范围，且抛物线开口向下，即可判断②③，根据对称轴为，可得，，结合③的结论即可判断④．
解：如图，

抛物线与轴交于点，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点是，所以①正确；
抛物线与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动，
抛物线开口向下，，所以③正确；
当时，随的增大而增大，
当，；所以②错误；
，
，
时，，即，
，即，
而，
，
，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．【分析】先将分式分母通过变号变成同分母，再合并计算．
解：，
=，
=，
=．
故答案为：
【点评】此题主要考查分式的加减，解题关键是通过变号把分式变成同分母，再准确计算．
12．【分析】根据题意由第三象限内点的横坐标、纵坐标均小于0列出关于m的不等式组，进行求解即可．
解：根据题意，得：，
解得：m＜-3，
故答案为：m＜-3．
【点评】本题主要考查点的坐标及解一元一次不等式组，熟练掌握并根据第三象限内点的坐标符号特点得出关于m的不等式组是解题的关键．
13．【分析】先画出树状图的所有可能，然后再找出任意两个不同的数，数出与7组成“中高数”的个数，然后即可求解．
解：所有结果如图所示：

共有12种结果，当7为十位数的时候，组成的“中高数”一共有：475、476、574、576、675、674六种结果，
故概率为．
故答案为：
【点评】本题考查了利用树状图求概率，正确的列出所有结果和认真仔细数出符合题意的结果数是解题的关键．
14．【分析】将一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得.
解：∵y＝﹣4x2+8x﹣3＝﹣4（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式更简便．
15．【分析】根据题意得出E是以为直径的圆上的一个动点，利用勾股定理可得答案．
解：，
∴点E在以为直径的圆上，如图所示，

的最大值为，
∵正方形的边长为2，
，
的最大值为，
当点E在的下方时，的最大值也是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质及正方形的性质，根据最大的弦是直径求得为的最大值是解题的关键．
16．【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解；②证明为等腰三角形，即可得证；③利用角平分线的性质，即可得证；④证明，即可得证．
解：解，①∵与的平分线相交于H，
∴，
∴
，故①错误；
②∵与的平分线相交于H，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③过作，

∵与的平分线相交于H，，
∴，
∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；
④若B，H，D三点共线时，则，且平分，
∴，
又∵，
∴（），
∴，
∴一定为等腰三角形，故④正确．
故答案为：②③④；
【点评】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
17．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据a2-2a-2=0，可得a2-2a=2，再将a2-2a=2代入所求式子计算即可．
解：（a-1）2+（a+3）（a-3）+（a-3）（a-1）
=a2-2a+1+a2-9+a2-4a+3
=3a2-6a-5
∵a2-2a-2=0，
∴a2-2a=2，
当a2-2a=2时，原式=3（a2-2a）-5=1．
【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
18．【分析】（1）根据样本是否具有代表性解答即可；
（2）用200减去其它3个组的人户即可；
（3）先算出200人中每天锻炼2小时及以上的人数，再计算100万人中每天锻炼2小时及以上的人数；
（4）只要合题意即可．
解：(1) A、B两种调查方式具有片面性，故C比较合理；；
(2)200-94-38-16=52；
(3) ×100＝53(万人)．
故估计该市每天锻炼2小时及以上的人数是53万人．
(4)有，由于全市有100万人，而样本只选取了200人，样本容量较小，不能准确地表达出真实情况．(答案不唯一，合理即可).
【点评】本题考查了随机抽样，为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样.样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大.
19．【分析】首先分析图形：本题涉及到两个直角三角形△DBC、△ADC，应利用其公共边CD构造等量关系，借助AB=AD-DB=4.5构造方程关系式，进而可求出答案．
解：如图：

设CD=x米；
∵∠DBC=45°，
∴DB=CD=x，
∴AD=x+4.5；
在Rt△ACD中，tan∠A=，
∴tan35°=；
解得：x=10.5；
所以大树的高为10.5米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
20．【分析】(1)根据勾股定理可求得b的值，据此即可求得；
(2)过点D作DE⊥x轴于点E，易证△OAB≌△EDA，利用全等三角形的性质可求出点D的坐标．
解：（1）当x=0时，y=b，
∴点B的坐标为(0,b)，
当y=0时，，
∴点A的坐标为，
∴OB=b，，
，
∴，
解得b=4或b=-4(舍去)
直线 AB的解析式为y=-2x+4；
（2）不在；
理由如下：
∵b=4，
∴点B的坐标为(0,4)，点A的坐标为，
∴OB=2，，
过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，
∴∠OBA=∠EAD，
在△OAB和△EDA中，
，
∴△OAB≌△EDA(AAS)，
∴AE=BO=4，DE=AO=2，
∴OE=OA+AE=2+4=6，
∴点D的坐标为(6,2)，
∵当x=6时，，
∴点D在双曲线y=的图象上．
【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是采用数形结合的思想解决问题．
21．【分析】（1）x=0时和x=5时，两个θ角为同旁内角，即可求解；
（2）①根据变量的定义即可求解；
②根据表格中θ的数据，从图2读出θ对应的x2的数据并列表，依据表格数据描图即可；
③当AP=3.5时，即x1=3.5时，从图象读出x2的值即可．
解：（1）当x＝5时，θ＝∠QMP＝130°，当x＝0时，θ＝∠QMP＝α，
x＝0时和x＝5时，两个θ角为AD∥BC时的两个同旁内角，故α＝180°﹣130°＝50°，
故答案为50°；
（2）①根据变量的定义，x1是自变量，x2是因变量；
故答案为：x1，x2；
②根据表格中θ的数据，从图2读出θ对应的x2的数据并列出下表：

依据上述表格数据，描点绘出下图：

③当AP＝3.5时，即x1＝3.5时，从图象看x2的值约为﹣1.87，
故答案为﹣1.87（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的图象，函数的基本知识等，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型
22．【分析】（1）连接OE，根据等边对等角及三角形内角和及等量代换得出∠A=∠AEO=∠C，∠AEO+∠CEF=90°，∠OEF=90°，结合图象即可证明；
（2）连接BE，根据垂直平分线的性质及等量代换得出AB=BC=AC，结合图形，利用特殊角的锐角三角函数可得EF，即可得出比值．
（1）证明：连接OE，BE，

∵点O为直径AB中点，点E为AC中点，
∴OE为∆ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∴∠OEB=∠EBF，
∵EF⊥BC，
∴∠EBF+∠BEF=90°，
∴∠OEB+∠BEF=90°，
即∠OEF=90°，
∵OE为半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，

∵AB为圆O的直径，
∴BE⊥AC
又∵E为AC的中点
∴AB=BC
∵AC=BC
∴AB=BC=AC，
即△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠C=60°
∴EF=CEsin60°=，
∴．
【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的锐角三角函数等，综合性较强，有一定的难度．
23．【分析】（1）根据表格中的数据和题意列不等式，根据且x为整数即可求出x的取值范围得到答案；
（2）根据题意和表格中的数据即可得到函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质即可求出答案.
解：（1）由题意得15x+25（80-x），
解得x，
∵，且为整数，
∴，且为整数，
∴至少购进甲种商品50件；
（2）由题意得，
∴y与x的函数关系式是；
（3）∵，，且为整数，
∴当x=1时，y有最大值，此时y最大值=795，
故答案为：795.
【点评】此题考查一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，一次函数的性质求函数的最大值，正确理解题意列不等式或函数解决问题是解题的关键.
24．【分析】（1）先证明 再证明是等边三角形，结合垂直平分线的性质求解 再求解 即可得到结论；
（2）如图，当过点，是的垂直平分线，求解 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 再利用勾股定理与线段的和差写函数关系式，整理后可得答案；
（3）先画出符合题意的图形，再证明 设 则 由 再列方程解方程即可.
解：（1）解： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，




是的垂直平分线，



是等边三角形，

而


（2）解：如图，当过点，是的垂直平分线，
则

如图，当过点

则
所以分别在AB、BC上时，则
如图，过作于



同理：



整理得：
（3）解：当
同理可得：






设
则



【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键.
25．【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标；
（3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值．
解：（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
把A，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵直线经过点，
设直线的解析式为：
把A，代入代入得：
解得：，
∴直线的解析式为：
∵过点作轴的垂线交抛物线于点，
设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)，
∴点，
∴点横坐标为，点在抛物线上，
∴点，
据图知：点在点上方，
∴，
∵，开口向下，有最大值，
当时，的最大值为9．
∴，，
∴点，点；
（3）存在
①当时，点的纵坐标为3，
即，
解得：，，
∴，；
②当，点的纵坐标为，
即，
解得，（舍去）
∴点，
综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．