福建省福州市多校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份福建省福州市多校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市多校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于(   )A.第一象限  B.第二象限C.第三象限  D.第四象限2、已知向量，，若，则(   )A.1 B. C. D.3、设向量，，且与的方向相反，则实数m的值为(   )A.-2或1  B.-1C.-2  D.-1或14、在中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且，则(   )A.  B.C.  D.5、设向量，，则“”是“”的______条件(   )A.充分不必要  B.必要不充分C.充要  D.既不充分也不必要6、已知向量 ，满足， ，，则(   )A. B. C. D.7、已知在中，, ,，D是内一点，且∠DAB=60°，设 ,,则(   )A.            B.             C.3         D.8、若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为(   )A.等腰直角三角形  B.直角三角形C.等腰三角形  D.等边三角形二、多项选择题9、若复数,则下列说法正确的是 (   )A.z在复平面内对应的点位于第四象限B.C.D.z的共轭复数10、设向量，则(   )A. B.C. D.在上的投影向量为11、下列说法中错误的是(   )A.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底B.非零向量和满足，则与的夹角为C.若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是D.若，则在方向上的投影向量的模为12、已知角A，B，C是三个内角，下列结论一定成立的有(   )A.若，则是等腰三角形B.若，则C.若是锐角三角形，则D.若，，，则的面积为或三、填空题13、已知a,，i是虚数单位，若,则的值为________.14、设,为单位向量，且 ，则______________.15、已知点D是所在平面上一点，且满足，设，则______.16、已知a,b,c,分别是的内角A,B,C的对边，且满足,则角________，若，则的面积的最大值为____________.四、解答题17、已知复数.（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求.18、在中，延长BA到C，使，在OB上取点D，使，(1)设，用,表示向量及向量.(2)若，且的面积为，求的周长.19、如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距，渔船乙以的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求.20、已知a,b,c,分别是的内角A,B,C的对边，已知.（1）求角C的大小；（2）若,求的值；21、如图，在梯形ABCD，，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求与的夹角的正切值.22、《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量,.（1）霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值.
参考答案1、答案： B解析：, 在复平面内对应 的点为,位于第二象限.故选B.2、答案： C解析：，又，(对应分量乘积的和)令, 得: 故选C3、答案： C解析：, 则 即 或 当 时, ，，，与 的方向相同, 不成立;当 时, ，，，与 的方向相反, 成立;故选: C. 4、答案： A解析：如图所示, 在 中,因为AD 为BC 边上的中线,所以D 为BC 的中点,所以由平行四边形法则有:又点E在AD 上, 且 所以,所以 故选：A.5、答案： B解析：或 或故选：B.6、答案： D解析：，，，.因此,.故选: D.7、答案： A解析：如图, 以A 为原点, AB所在直线为 x轴, AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系, 则B 点的坐标为 ，C点的坐标为, 因为, 所以设D 点的坐标为,则, 且.所以8、答案： B解析：中, 因 与 均为非零向量, 则, 即 ，是直角三角形.故选: B9、答案： AD解析：复数,则z 在复平面内对应的点 位于第四象 限，故A 正确;, 故B 错误；故C 错误;z的共轭复数, 故D 正确.故选: AD.10、答案： ABD解析：11、答案： BC解析：12、答案： BCD解析：若, 则 或 ，即 或，可得 是等腰三角形或直角三角形, 故A 错误；若, 则, 即有, 故 B正 确；若 是锐角三角形, 可得, 即 有,可得, 即, 故C 正确;若，，, 则, 由, 可得, 则, ，或 ，， 则的面积为, 或, 故D 正确.故选：BCD.13、答案： 2解析：, 所以 ，，14、答案： 3解析：15、答案：解析：由已知得, 故所以,所以 16、答案：120°或；解析：因为,所以,由余弦定理得,又,因此,又,所以, 即, 当且仅当 时等号成立,可得 的面积 ，当且仅当 时等号成立，则 的面积的最大值为.故答案为:，.17、答案： (1) (2)解析：(1)复数，实部为，虚部为.若z为纯虚数，则解得.  （2）由题意可得， 解得.所以，所以.18、答案：(1)(2)8解析：（1）A是BC的中点，则， 故，（2）由余弦定理得而，得，故，得，的周长为.19、答案： (1)(2)解析：（1）依题意，知,,在中，由余弦定理，得解得甲船的速度为，所以渔船甲的速度为.（2）在中，，，，由正弦定理，得＝， 即.20、答案： (1)(2)解析：（1）由正弦定理可得：  所以所以, 所以  （2）由正弦定理得  可得  因为,所以,所以所以21、答案：(1)(2)解析：如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，，因为，则， 所以，， 因为，所以，解得（2）当时，，，所以，，，所以，所以，所以，故与的夹角的正切值为；22、答案： (1)(2)解析：(1)在中, 由余弦定理得,在中, 由余弦定理得, 可得,即, 即.(2),则,由 (1) 知, 代入上式得 ,配方得,当时, 取到最大值为.