新疆维吾尔自治区阿勒泰地区2023届高三三模数学（理）试题（含答案）

新疆维吾尔自治区阿勒泰地区2023届高三三模数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（    ）

A．2和3 B．0和2 C．0和3 D．2和4

3．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（    ）

A．8 B．12 C．16 D．20

5．已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

6．函数在上的最小值是（    ）

A． B． C．0 D．

7．正方体中，分别是棱的中点，则平面与平面所成角为（    ）

A． B． C． D．

8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（   ）（精确到）

A． B． C． D．

9．有一个圆锥形铅锤，其底面直径为，母线长为．P是铅锤底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅锤的侧面积为；②一只蚂蚁从P点出发沿铅锤侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为．其中正确的判断是（    ）

A．①②都正确 B．①正确、②错误

C．①错误、②正确 D．①②都错误

10．和分别是双曲线的左，右焦点，A和B是在双曲线左支的两个点，满足且是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知，若函数在区间上有且只有个零点，则的范围为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知平面向量，满足，则________．

14．已知正（O为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长等于_______．

15．从正方体的8个顶点中取出三个顶点构成三角形，其中为直角三角形的概率为________．

16．在中，，为边上的中线且，则的取值范围是________．

三、解答题

17．若数列的首项为1，且．

(1)求证：是等比数列；

(2)若，求证：数列的前项和．

18．在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点的位置，如图②．

(1)证明：；

(2)若平面，求直线与平面所成角的余弦值．

19．近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成，北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于，实测的导航定位精度都是，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．

(1)欧洲某城通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率（保留四位小数）；

(2)某地区基站工作人员从30颗卫星中随机选取2颗卫星进行信号分析，记为选取的2颗卫星中含地球静止轨道卫星的数目，求的分布列和数学期望．

附：若，则，．

20．已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数，其中为非零常数．

(1)讨论的极值点个数，并说明理由；

(2)若，证明：在区间内有且仅有1个零点．

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)若曲线C关于直线l对称，求a的值；

(2)若为曲线C上两点，且，求面积的最大值．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设的最小值为M，若正实数a，b满足，证明：．

参考答案：

1．D

2．C

3．C

4．B

5．B

6．C

7．D

8．A

9．A

10．B

11．D

12．C

13．5

14．

15．

16．

17．(1)证明见解析

(2)证明见解析

18．(1)证明见解析

(2)

19．(1)0.8186

(2)分布列见解析，

20．(1)

(2)存在，

21．(1)当时，函数无极值点，当时，函数只有一个极值点；理由见解析

(2)证明见解析

22．(1)

(2)

23．(1)

(2)证明见解析