全真模拟卷01（解析版）-2023年高考数学全真模拟卷(天津卷)

2023年高考全真模拟卷（一）

数学（天津卷）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．

1．设全集为，集合，集合，则集合（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】.

因为，所以.

故选：A

2．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解：，

因为，所以，

，

所以.

故选：D.

3．已知，“或”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】解不等式，即或，即或，

故“或”是“”的充要条件.

故选：C.

4．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：）频率分布直方图，如图：

其中300-400、400-500两组数据丢失，下面三个说法中，只有一个是正确的，正确的是（    ）

①寿命超过的频率为0.3；

②用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：

③寿命在400-500的矩形的面积可能是0.2

A．① B．② C．③ D．以上均不正确

【答案】C

【详解】若①正确，寿命超过的频率为，那么寿命在400-500的频率为0.15，这样电子元件的平均寿命为，②正确，③错误，不满足条件，故①正确不成立；

若②正确，则①正确，③错误，故②正确不成立；

若③正确，则寿命超过的频率为0.35，①③都不正确，故③正确.

故选：C

5．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ）

A． B． 

B．C． D．

【答案】C

【详解】由题给函数的图象，可得

当时，，则，则单调递增；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递增；

则单调递增区间为，；单调递减区间为

故仅选项C符合要求.

故选：C

6．已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】圆，整理为，圆心，半径，双曲线的渐近线方程，

由题意可知，，解得：，

所以双曲线的方程为.

故选：C

7．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】把该多面体放入正方体中，如图，

由于多面体的棱长为1，则正方体的棱长为，

因此该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，于是得该多面体的外接球球心是正方体体对角线中点，

该多面体外接球半径等于球心到一个顶点的距离，即正方体面对角线的一半，则，解得，

所以经过该多面体的各个顶点的球的体积为.

故选：A

8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（    ）

A．63里 B．126里 C．192里 D．228里

【答案】C

【详解】由已知，设等比数列首项为，前n项和为，    公比为,，

则 ，等比数列首项.

故选：C.

9．已知是函数的最大值，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题可得

，

所以，

所以，

又因为存在实数使得对任意实数总有成立，

所以当时函数取得最小值，当时函数取得最大值，

所以的最小值为半个周期，所以的最小值为,

故选:C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）

10．已知复数z满足，则z的虚部为______.

【答案】

【详解】设复数，则，

又复数z满足，即，

所以，解得：，则，所以的虚部为，

故答案为：.

11．若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为______.

【答案】或

【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，

设圆心到直线的距离为，

若弦长，则，可得，

当直线的斜率不存在时，即直线为，故圆心到直线的距离为，符合题意；

当直线的斜率存在时，设为，则直线为，即，

故圆心到直线的距离为，解得

此时直线为；

综上所述：直线为或.

故答案为：或.

12．在的二项式展开式中的系数为90，则______.

【答案】

【详解】因为的二项式展开式的通项为，

令，解得：，所以，

又因为的二项式展开式中的系数为90，则，

所以，

故答案为：.

13．在两个盒子中各有编号分别为的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为___________.

【答案】

【详解】从1个盒子取出的乒乓球的编号是偶数的概率为 ，

则从两个盒子取出的乒乓球的编号都是偶数的概率为 ，

所以至少有一个编号是奇数的概率为.

故答案为：.

14．已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则__________；若P为圆M上的动点，则的取值范围为__________．

【答案】     0    

【详解】在等腰直角中，，由得，点E是弦的中点，

在圆M中，，因此；

依题意，以圆M的圆心M为原点，直线CB为x轴，点A在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图，

则有，圆M的方程为，因为P为圆M上的动点，

设，，

于是得，

而，因此当时，，当时，，

所以的取值范围为.

故答案为：0；

15．已知函数若，则函数的值域为______；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______.

【答案】         

【详解】（i）若，当时，

当时，是单调递增函数，

所以，

所以的值域为：.

（ii）由题可知，当时，

，

解得：，由此可知有一个解，

则当时，必定有两个解，

即必有两个解，

此时只需满足

解得：.

故答案为：；.

三、解答题：（本大题5个题，共75分）

16．在中，角的对边分别为，已知的面积为，周长为．且．

(1)求及的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，；(2).

【详解】（1）在中，由正弦定理及得：，而，

解得，，又的面积，而，

则有，由余弦定理得，

所以，.

（2）由（1）知，，，，，

所以.

17．如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点.

(1)求证：平面PBC；

(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；

(3)已知线段PD上存在一点M，使得，求直线CM与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)(3)

【详解】（1）

过作，垂足为，则，

以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则，，，，，，因为为的中点，则，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，可得，

因为，即，

又平面，

所以平面；

（2）由（1）知是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

则，即，则，

所以

所以平面与平面夹角的余弦值为．

（3），，

由题意可知，，

则，

又平面的一个法向量，

设直线与平面所成角的为，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球红、黄、黑、白顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．

（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；

（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，20.

【详解】解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则，

故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率．

（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．

X=0表示第一次取球取到了黑球，概率为；

X=10表示第一次取到了白球或黄球，第二次取到了黑球，概率为；

X=20表示前两次取到白球黄球，第三次取到黑球或第一次取到红球，第二次取到黑球，概率为；

X=30表示前两次取球有一次取到白球或黄球，有一次取到红球，第三次取到黑球，概率为；

X=40表示前三次取到的是红白黄三个球，第四次取到黑球，概率为.

综上，随机变量X的分布列为：

．

19．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知、是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点．

①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

②当，运动时，满足直线、与轴始终围成一个以底边在轴的等腰三角形，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①；②直线的斜率为定值，理由见解析.

【详解】（1）由抛物线即可得焦点坐标为，

椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点，

设椭圆方程为，

则由，解得，

故椭圆的方程为；

（2）设，，

①直线的方程为，

代入中，整理得，

，解得，，，

四边形的面积，

当时，，

所以四边形面积的最大值为；

②当，运动时，满足直线、与轴始终围成一个以底边在轴的等腰三角形，则、的斜率之和为，设直线的斜率为，则的斜率为，

的直线方程为，

代入中整理得：，

，同理，

则，，

从而，即直线的斜率为定值．

20．已知函数和，

(1)求在处的切线方程；

(2)若当时，恒成立，求的取值范围；

(3)若与有相同的最小值．

①求出；

②证明：存在实数，使得和共有三个不同的根、、，且、、依次成等差数列．

【答案】(1)

(2)

(3)① ；②证明见解析

【详解】（1）解：因为，则，所以，，

所以，在处的切线方程为.

（2）解：当时，不等式等价于．

设，则，且.

对于函数，.

（ⅰ）当且时，，故，

则在上单调递增，因此；

（ⅱ）当时，令得，．

由得，，

故当时，，在单调递减，因此，不合乎题意.

综上，的取值范围是．

（3）解：①的定义域为，而，

若，则，此时无最小值，故.

函数的定义域为，而.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

因为和有相同的最小值，

故，整理得到，其中，

设，其中，则，

故为上的减函数，而，

故的唯一解为，故的解为.

综上，.

②由①可得和的最小值为.

当时，考虑的解的个数、的解的个数.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

设，其中，则，

故在上为增函数，故，故，

故有两个不同的零点，即方程的解的个数为.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

有两个不同的零点即的解的个数为.

当，由①讨论可得、仅有一个解，

当时，由①讨论可得、均无根，

故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.

设，其中，故，

设，其中，则，

故在上为增函数，故即，

所以，所以在上为增函数，

而，，

故在上有且只有一个零点，且，

当时，，即，即，

当时，，即，即，

因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

故，

此时有两个不同的根、，

此时有两个不同的根、，

故，，，，

所以，即，即，

故为方程的解，同理也为方程的解，

又可化为，即，即，

故为方程的解，同理也为方程的解，

所以，而，故，即.