2023年湖北省襄阳市老河口市秦集中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年湖北省襄阳市老河口市秦集中学中考数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
秦集中学2022～2023学年度第二学期质量调研
九年级数学
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.
1．下列各组数中，互为相反数的是（    ）
A．与1 B．与1 C．与1 D．与1
2．下列说法正确的是（     ）
A．若AC=BC，则点C为线段AB的中点
B．若∠AOC=∠AOB，则OC是∠AOB的平分线
C．连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离
D．延长直线AB
3．下列各式中运算正确的是（  ）
A． B．
C．（－18）÷（－9）=－2 D．
4．下列说法正确的是（    ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
5．如右图所示，一个几何体恰好能通过两个小孔，这个几何体可能是(   )

A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
6．下列图象中不可能是一次函数的图象的是（    ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（    ）．

A． B．
C． D．
8．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数xy的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
10．已知函数，使成立时x的值恰好只有3个，则a的值为（  ）
A． B．0 C．1 D．2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。把答案填在答题卡的相应位置上。）
11．函数中，自变量x的取值范围是________．
12．从2名男生和2名女生中随机选出2人讲题，恰好选出一男一女的概率是________．
13．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为_____米．

14．如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，若，则的度数为________．

15．如图，▱中，，点是上一点，连接、，且，若，则______．

16．在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若∠CBE＝15°，则＝ ________；
（2）如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝_________．


三、解答题（本大题共9个小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。）
17．计算：．
18．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送6m（水平距离BC=6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？

19．（2016四川省达州市）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
20．1月初，某校安排学生在家利用无土栽培技术栽培了10盆花．为了解这些花的情况，该校在4月初对部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“这10盆花存活了多少盆？”共有如下四个选项：（A）5盆及以下（B）6盆或7盆（C）8盆或9盆（D）10盆．图1，图2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：

(1)求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中C部分对应的扇形圆心角的度数；
(3)若该校共有2000名学生，请你估计全校可能有多少名学生栽培的花存活了8盆及以上（含8盆）？
21．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(0，3)，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y=mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．

22．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F．

(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
23．某商品的进价为20元，市场调查发现：当售价为30元时，每周可售出100件，每涨价1元每周少售出2件．现要求每周至少售出70件，且售价不低于35元．
(1)设售价为x元，每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(2)当售价为多少时，销售这种商品每周的利润最大？最大利润是多少？
(3)若希望每周利润不得低于1600元，求售价x的范围．
24．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．

（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度；
（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
25．【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上．

(1)【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________．
(2)【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
(3)【深度思考】
小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．




参考答案：
1．【分析】根据相反数得到-（-1），根据乘方得意义得到（-1）2=1，-(-1)3=1，根据绝对值得到|-1|=1，然后根据相反数的定义分别进行判断．
解：A、-1与1互为相反数，所以A正确；
B、,故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、,故D选项错误.
故选：A.
【点评】本题考查了相反数：a的相反数为-a．也考查了绝对值与有理数的乘方和立方．
2．【分析】根据线段中点的定义、角平分线的定义、两点之间的距离的定义和直线的特征逐一判断即可．
解：A．若AC=BC且点C在线段AB上时，点C为线段AB的中点，缺少条件，故本选项错误；
B．若∠AOC=∠AOB且射线OC在∠AOB内部时，OC是∠AOB的平分线，缺少条件，故本选项错误；
C．连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故本选项正确；
D．直线不可以延长，故本选项错误．
故选C．
【点评】此题考查的是线段和角的相关概念，掌握线段中点的定义、角平分线的定义、两点之间的距离的定义和直线的特征是解题关键．
3．【分析】根据合并同类项，有理数的除法及乘方分析各选项即可．
解：A选项，，故该选项计算错误，不符合题意；
B选项，与不是同类项，故该选项计算错误，不符合题意；
C选项，（－18）÷（－9）=2，故该选项计算错误，不符合题意；
D选项，，故该选项计算正确，符合题意；
故选∶ D
【点评】本题考查了合并同类项，有理数的除法及乘方，熟记乘方的意义是解题的关键．
4．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可．
解：A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；
B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定．
5．【分析】一次结合选项几何体的三视图来进行求解．
解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，
再根据其他视图，可知此几何体为圆锥．
故选：A．
【点评】本题考查的是由三视图确定几何体的形状．主要考查学生空间想象能力和学生对三视图掌握程度和灵活运用能力．三视图的投影规律是：长对正、高平齐、宽相等．
6．【分析】分别根据四个答案中函数的图象求出m的取值范围即可．
解：A、由函数图象可知，解得0＜m＜3；
B、由函数图象可知，解得m>3；
C、由函数图象可知，解得m＜0；
D、由函数图象可知，解得m＜0，m＞3，无解．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数的图象，解答此题的关键是根据各选项列出一元一次不等式组，求出无解的一组．
7．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2a+b+1=0，然后再整理可得答案．
解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，所以点P的横坐标与纵坐标互为相反数，即2a+b+1=0，
∴2a+b=-1．
故选B．
【点评】此题主要考查了角平分线的基本作图，关键是掌握角平分线的做法．
8．【分析】根据图1的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个x，第二组的小棍数代表几个y，最后两组代表数字，然后即可写出图2表示的方程组．
解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
9．【分析】根据平行线分线段成比例逐个选项判断即可．
解：∵平行四边形
∴，，，，
∵
∴，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B正确；，不符合题意
∵
∴，故选项C错误，符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，利用平行四边形得到平行进而得到比例是解题的关键．
10．【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使成立的x值恰好有3个的a值．
解：函数的图象如图：

根据图象知道当时，对应成立的x值恰好有三个，
∴．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
11．【分析】根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件进行求解．
解：由题意得：
且，
∴且；
故答案为：且．
【点评】本题主要考查分式与二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数非负，这是解题的关键．
12．【分析】根据题意，列举出所有可能的选法，再找出满足题意的选法，再利用概率公式计算即可．
解：从2名男生和2名女生中随机选出2人共有6种选法：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），
其中恰好选出一男一女的选法有4种，分别为：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），
∴恰好选出一男一女的概率是为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用列举法求概率，解本题的关键在找出所有等可能情况，并熟练掌握概率公式．
13．【分析】将点(0，54.0)、(40，46.2)、(20，57.9)分别代入函数解析式，求得系数的值，然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
解：由题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点(0，54.0)、(40，46.2)、(20，57.9)，
则，
解得：，
∴y＝－0.0195x2+0.585x+54.0，
∴x＝＝＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法及对称轴公式，需掌握“待定系数法”求表达式的方法，并熟记对称轴公式．
14．【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，即可求得∠DOC=62°，再利用等腰三角形的性质与外角性质得出∠A=∠ODA=，然后根据角的和差计算即可．
解：连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC=90°-∠C=90°-28°=62°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=，
∴．
故答案为：．

【点评】本题考查了切线的性质，根据切线的性质，添加合适的辅助线是解题关键．
15．【分析】首先证明四边形是菱形，然后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形内角和定理即可解决问题．
解：在▱中，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
16．【分析】（1）根据折叠的性质可得BF=BC，∠AFB=2∠CBE=30°，从而可得BC=2AB，即可得结果；
（2）过N作NG⊥BF于点G，则易得AN=GN，AB=BG，△NFG∽△BFA，由对应边成比例可得BG=2NG，设AN=a，FD=b，则在Rt△NFG中，由勾股定理可得a，b的关系，从而可求得结果．
解：（1）根据折叠的性质，得BF=BC，∠FBE=∠CBE=15°
∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30°
∵四边形ABCD是矩形
∴BC∥AD
∴∠AFB=∠FBC=30°
∵∠A=90°
∴BF=2AB
∴BC=2AB
∴
故答案为：
（2）过N作NG⊥BF于点G，如图

∵BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF  
∴AN=GN
∵BN=BN
∴Rt△ABN≌Rt△GBN
∴BG=AB
∵∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA
∴△NGF∽△BAF
∴
∵NF=AN+FD
∴AD=BC=2NF
∴AB=2GN
设AN=GN=a，FD=b，则NF=a+b，AB=2a，AD=BF=BC=2a+2b
∴FG=BF-BG=2b
在Rt△NFG中，由勾股定理得：
即
即
∴BC=
∴
故答案为:．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质及折叠的性质是解决本题的关键所在．
17．【分析】由解答．
解：


．
【点评】本题考查实数的混合运算，涉及负整指数幂、零指数幂、余弦等指数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18．【分析】构造出直角三角形ACB，设秋千的绳索长为xm，AC=x-2，AB=x，CB=6，利用勾股定理建立方程求解.
解：设秋千的绳索长为xm，根据题意可列方程为：
x2=62+（x﹣2）2，
解得：x=10，
答：绳索AD的长度是10m．
【点评】本题考查了勾股定理的实际运用，解题关键在于构造出直角三角形，找到边与边直接的关系，建立等量关系进行求解.
19．【分析】（1）根据“600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同”列出方程求解即可；（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：（1）由题意得，
解得a=150，
经检验，a=150是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
∵a=150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知：
W=x•（500-150-4×40）+x•（270-150）+（5x+20﹣x•4）•（70﹣40）=245x+600，
∵k=245＞0，
∴W关于x的函数单调递增，
∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m套．
依题意得：（500-160-4×50）m+（30﹣m）（270-160）+（170-4m）（70﹣50）=7950﹣2250，
即6700﹣50m=5700，解得：m=20．
答：本次成套的销售量为20套．
【点评】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
20．【分析】（1）由两个统计图可知“A部分”的有40人，占调查人数的20%，根据频率=可求答案；求出“C部分”的人数即可补全条形统计图；
（2）根据样本中“C部分”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出“C部分”“D部分”所占调查人数的百分比，根据频率=即可求出相应的人数．
解：(1)40÷20%=200（名），
所以本次调查的学生总人数为200人，
“C部分”的人数为：200-40-80-20=60（名），补全统计图如图所示：

(2)360°×30%=108°；
答：扇形统计图中C部分对应的扇形圆心角的度数为108°；
(3)2000×=800（名），
答：该校2000名学生中约有800名学生栽培的花存活了8盆及以上（含8盆）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=是正确解答的关键．
21．【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1, 0)，B(0, 3)，可以求得二次函数的解析式，再根据点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数y=mx+n的图象经过A，C两点，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可以直接写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），
∴，得，
∴y= x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴二次函数的对称轴为直线x=2，
∵B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，
∴点C（4，3），
设一次函数y=mx+n的图象经过A，C两点，
∴，得，
∴一次函数y=x-1，
即二次函数的解析式为y=x2-4x+3，一次函数的解析式为y=x-1；
（2）由图象可知，不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：x> 4或x< 1.
【点评】本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.
22． 【分析】（1）根据，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可解答；
（2）如图：连接BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等，从而根据等角对等边即可证明结论；
（3）设，则，再证明可得,，再证可得，即，解得，进而得到，然后再利用相似三角形的性质得到关于的方程求得，然后根据等角对等边即可解答．
解：（1）∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，
∴．
答：∠CBD的度数为．
（2）如图，连接BE，

∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）设，则，
∵，
∴，
∴,，
∵，
∴，
∴，即，解得
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴．
答：的长为．
【点评】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是相似三角形判定与性质的应用．
23．【分析】（1）根据数量关系，列出二次函数解析式，再列出不等式求出x的范围，进而即可求解；
（2）把二次函数化为顶点式，结合，即可求解；
（3）根据数量关系，列出不等式，进而即可求解．
解：（1）解：由题意得：
，
∵要求每周至少售出70件，
，
解得：，
又∵售价不低于35元，
∴．
∴y与x之间的函数关系式为；
（2），
∵二次项系数为负，当时，y随x的增大而增大，
又，
∴当时，，
∴当售价为45元时，销售这种商品每周的利润最大，最大利润是1750元；．
（3）∵每周利润不得低于1600元，
，
，
解得：，
又，
．
∴售价x的范围为．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，不等式的实际应用，根据数量关系列出函数解析式，不等式，掌握二次函数的性质，是关键．
24．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠A，根据线段垂直平分线的性质可求∠MBA，然后用角的和差即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，
∵MN垂直平分AB，
∴AM=MB，
∴∠MBA=∠A=40°，
∠MBC=∠ABC-∠MBA=30°；
故答案为：30°．
（2）①由（1）可知，AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC=14－8=6（cm）；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，

如图，∵MN垂直平分AB，
∴PB=PA
∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等的性质，熟记并能熟练运用这些性质是解题的关键．
25．【分析】（1）先画出图形，再结合实际操作可得再利用勾股定理求解AC，BC，从而可得答案；
（2）解法1：设半径为的圆与直线的交点为．利用勾股定理可得，即，可得，可得上，从而验证猜想；
解法2：设半径为的圆与直线交点为，可得，解方程可得．则，再消去，可得，从而验证猜想；
（3）如图，设所描的点在上，由， 建立方程，整理得结合，都是正整数，从而可得答案．
解：（1）如图，

∴
∴
故答案为：或
（2）小明的猜想成立．
解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为．

因为，所以，即，
所以，
所以上，小明的猜想成立．
解法2：设半径为的圆与直线交点为，
因为，所以，解得，所以．
，消去，得，
点在抛物线上，小明的猜想成立．
（3）存在所描的点在上，理由：
如图，设所描的点在上，

则，因为，
所以，
整理得，
因为，都是正整数，
所以只有，满足要求．
因此，存在唯一满足要求的，其值是4．
【点评】本题考查的是切线的性质，垂径定理的应用，坐标与图形，二次函数的图像与性质，勾股定理的应用，方程的正整数解问题，理解题意，建立几何模型与函数模型是解本题的关键．