2023年浙江省丽水市庆元县荷地中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年浙江省丽水市庆元县荷地中学中考数学一模试卷（含答案），共25页。
荷地中学2022-2023学年第二学期第一次学情调研
九年级数学
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
的相反数是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
如图，在直线l上有A．B、C三点，则图中线段共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
不等式组的整数解是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（　　）

A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（　　）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（　　）
A． B． C． D．
在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（　　）
A．22 B．20 C．22或20 D．18
如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
形式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
|
||
|||
||||
|||||




横式









表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：，则表示的数是________．
二元一次方程组==x+2的解是　 　．
已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是　 　．
如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是　 　．

如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y＝x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则点A2022的横坐标是 　 　．

如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
①∠EAG＝45°，
②若DE＝a，则AG∥CF，
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2，
④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a，
⑤BG•DE+AF•GE＝a2．
其中正确的是　 　．（写出所有正确判断的序号）

三 、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
计算：|﹣2|+（sin36°﹣）0﹣+tan45°．
解下列一元一次不等式组：．
如图，点A，D，B，E在一条直线上，，．
求证：．

2020年是脱贫攻坚年，为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场，经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：

质量
组中值
数量（只）

1.0
6

1.2
9

1.4
a

1.6
15

1.8
8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中______，补全频数分布直方图；
（2）这批鸡中质量不小于的大约有多少只？
（3）这些贫因户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半径．

有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？
（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.
如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

答案解析
一 、选择题
【考点】相反数．
【分析】直接利用相反数的定义得出即可．
解：的相反数是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握相反数的定义是解题关键．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】根据线段的概念求解．
解：图中线段有AB、AC、BC这3条，
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关定义是解题关键．　
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．
解：
解不等式①得：x＜0，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0，
∴不等式组的整数解是﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．
【考点】勾股定理，点的坐标．
【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．
解：如右图所示，
点O到超市的距离为：＝，
点O到学校的距离为：＝，
点O到体育场的距离为：＝，
点O到医院的距离为：＝，
∵＜＝＜，
∴点O到超市的距离最近，
故选：A．

【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
解：如图所示，两条直线a、b被直线c所截形成的角中，∠1与∠2都在a、b直线的之间，并且在直线c的两旁，所以∠1与∠2是内错角．
故选：B．

【点评】本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．　
【考点】单项式乘单项式．
【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
解：原式＝﹣a3•（﹣b）
＝a3b．
故选：D．
【点评】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
【考点】概率公式
【分析】直接利用概率公式计算可得．
解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率PA．＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选：C．

【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；根据题意判断出AB=BE是解答本题的关键．　
【考点】抛物线与x轴的交点，平行四边形的判定，切线的判定
【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A．B坐标，由抛物线的对称性即可判定；
②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，
③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；
④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．
解：∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，
∴点A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；
∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，
∴⊙D的面积为25π，故②错误；
在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，
∴点C（0，﹣4），
当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，
所以点E（6，﹣4），
则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴点M（3，﹣），
设直线CM解析式为y=kx+b，
将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，
解得：，
所以直线CM解析式为y=﹣x﹣4；
设直线CD解析式为y=mx+n，
将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，
解得：，
所以直线CD解析式为y=x﹣4，
由﹣×=﹣1知CM⊥CD于点C，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题,解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴,平行四边形的判定,点是在圆上还是在圆外的判定,切线的判定等。
二 、填空题
【考点】用数字表示事件
【分析】根据算筹计数法来计数即可．
解：根据算筹计数法，表示的数是：8167
故答案为：8167
【点评】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
解：原方程可化为：，
化简为，
解得：．
故答案为：；
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．　
【考点】根与系数的关系
【分析】根据x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，可以求得x1+x2和x1x2的值，从而可以求得所求式子的值．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴（x1+4）（x2+4）
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确x1+x2＝﹣，x1x2＝．
【考点】相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，切线的判定与性质
【分析】根据函数解析式求得A（﹣4，0），B（0．﹣3），得到OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得到AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝或OP＝，
∴P（﹣，0）或P（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）或P（﹣，0）．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标．
【分析】求出直线y＝x+2与 x轴、y轴的交点坐标，由题意可得∠OCA＝30°，∠OB1A1＝90°，则△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，可得出A1B1＝4＝22，A2B2＝8＝23，……，可得A1（2，4），A2（6，8），由此得出规律，即可求解．
解：如图：

∵直线y＝x+2，令x＝0，则y＝2，
令y＝0，则x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（0，2），C（﹣2，0），
∴OA＝2，OC＝2，
∴∠OCA＝30°，
∵△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，
∴∠AA1B1、∠AA2B2＝60°，A1B1＝AB1＝AC＝2OA＝4，
……
∴△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，
∴A1B1＝4＝22，A2B2＝8＝23，……，
∴OB1＝A1B1﹣OC＝4＝2，OB2＝A2B2﹣OC＝8＝6，
∴A1（2，4），A2（6，8），
……
∴An[（2n+1﹣2），2n+1]，
∴点A2022的横坐标是（22023﹣2），
故答案为：（22023﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，归纳出An的坐标规律是解题的关键．
【考点】正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【分析】①由折叠得AD＝AF＝AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误，
②设BG＝GF＝x，由勾股定理可得（x+a）2＝x2+（a）2，求得BG＝a，进而得GC＝GF，得∠GFC＝∠GCF，再证明∠AGB＝∠GCF，便可判断正误，
③设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误，
④证明∠FEC＝∠FCE，得EF＝CF＝GF，进而得EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误，
⑤设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，由勾股定理得bc＝a2﹣ab﹣ac，再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝a，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE，∠DAE＝∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠GAF+∠EAF＝90°＝45°，故①正确，
②∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
设BG＝GF＝x，∵DE＝a，
∴EF＝a，
∴CG＝a﹣x，
在Rt△EGC中，EG＝x+a，CE＝a，由勾股定理可得（x+a）2＝x2+（a）2，
解得x＝a，此时BG＝CG＝a，
∴GC＝GF＝a，
∴∠GFC＝∠GCF，
且∠BGF＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴2∠AGB＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，
∴②正确，
③若E为CD的中点，则DE＝CE＝EF＝，
设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，
CG2+CE2＝EG2，
即，
解得，y＝a，
∴BG＝GF＝，CG＝a﹣，
∴，
∴，
故③错误，
④当CF＝FG，则∠FGC＝∠FCG，
∵∠FGC+∠FEC＝∠FCG+∠FCE＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝CF＝GF，
∴BG＝GF＝EF＝DE，
∴EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，
∴，即，
∴DE＝（﹣1）a，
故④正确，
⑤设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，
由勾股定理得，（b+y）2＝（a﹣b）2+（a﹣c）2，整理得bc＝a2﹣ab﹣ac，
∴＝，
即S△CEG＝BG•DE，
∵S△ABG＝S△AFG，S△AEF＝S△ADE，
∴，
∵S五边形ABGED+S△CEG＝S正方形ABCD，
∴BG•DE+AF•EG＝a2，
故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．

【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用折叠得到线段相等及角相等、正方形的性质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．
三 、解答题
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，
解：原式＝2+1﹣2+1＝2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式x≤2，得：x≤4，
解不等式3x+2＞x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键　
【考点】全等三角形的性质与判定
【分析】由题意易得，进而易证，然后问题可求证．
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图
【分析】（1）用总数量减去其它组的数量即为a的值；
（2）先求出随机抽取的50只中质量不小于的鸡占的比值，再乘以3000即可；
（3）先求出50只鸡的平均质量，根据市场价格，利润是15元/kg，再利用每千克利润×只数×每只的平均质量求出总利润，再进行比较即可．
解：（1）（只）；
频数分布图如下：

故答案为：12；
（2）（只）；
（3）（千克），
（元），
∵64800＞54000，
∴该村贫困户能脱贫．
【点评】本题考查由样本估计总体以及频数分布表和分布图，根据已知表格得出总体重与频数之间的关系是解题的关键．
【考点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）先根据圆的性质得：，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切线；
（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程可得r的值．
（1）证明：如图1，连接OP，
∵PA=PB，
∴，
∴OP⊥AB，
∵PD∥AB，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图2，过A作AH⊥BC于H，连接OA，OP，OP交AB于E，
∵AB=AC，
∴BH=BC==4，
Rt△ABH中，tan∠ABC===，
∴AH=2，AB==2，
∴BE=，PE=，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OE=r﹣，
由勾股定理得：，
r=，
答：⊙O的半径是．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股定理的计算，利用勾股定理列方程是解题的关键．
【考点】一次函数的应用，二元一次方程组的应用
【分析】(1) 设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，分别根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电” ，“A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”，列方程组求解即可；
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，列出函数关系式求解即可.
解：（1）设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，则
，解得：
答：焚烧1吨垃圾，发电厂发电300度，发电厂发电260度.
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，则

∵
∴
∵随的增大而增大
∴当时，取最大值25800度.
【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了二元一次方程的应用一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数关系式求解．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论
（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD=30°，即可得到结论；
②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB=∠PEQ=90°，根据四边形的内角和得到∠MON=135°，求得∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE=∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，
∵PC=AO=OC=ED，CE=OD=OB=DQ，
在△PCE与△EDQ中，，
∴△PCE≌△EDQ；
（2）①如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AP=OR=RB，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°，
∴△ARB是等边三角形；
②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，
∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB=∠PEQ=90°，
∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD=∠ARB=45°，
∴∠MON=135°，
此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB=90°，
∴AB=2PE=2×PQ=PQ，∴ =．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．　
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）求解可得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1得出xN﹣xM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
解：（1）由题意知，
解得：b=2、c=1，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
（2）如图1，

∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG=2，
∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1，
∴xN﹣xM=1，
由得x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，
解得：x==，
则xN=、xM=，
由xN﹣xM=1得=1，
∴k=±3，
∵k＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，

设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，=，
∴=，
∴t2﹣（1+m）t+2=0；
②当△PCD∽△POF时，=，
∴=，
∴t=（m+1）；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m）2﹣8=0，
解得：m=2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，
方程②有一个实数根t=，
∴m=2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点．