黑龙江省大庆市2020年中考数学试卷【含答案】

黑龙江省大庆市2020年中考数学试卷

一、单选题

1．－1，0， ， 这四个数中，最大的数是（　　）  

A．－1 B．0 C． D．

2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为 ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（　　）  

A． B． C． D．

3．若 ，则 的值为（　　）  

A．－5 B．5 C．1 D．－1

4．函数 的自变量 的取值范围是（　　）  

A． B． C． D．

5．已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（　　） 

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（　　） 

A．1 B．2 C．3 D．4

7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（　　）  

A．平均分 B．方差 C．中位数 D．极差

8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（　　）  

A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9

9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， 和6，8， ，且这两个直角三角形不相似，则 的值为（　　）  

A． 或  B．15

C． D．

10．如图，在边长为2的正方形 中， ， 分别为 与 的中点，一个三角形 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 恒在直线 上，当点 运动到线段 的中点时，点 ， 恰与 ， 两边的中点重合．设点 到 的距离为 ，三角形 与正方形 的公共部分的面积为 ，则当 时， 的值为（　　） 

A． 或  B． 或

C． D． 或

二、填空题

11．点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为　         　．  

12．分解因式: =　                　。  

13．一个周长为 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为　     　 ．  

14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 ，则 　     　． 

15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为　     　．  

16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为　     　．

17．已知关于 的一元二次方程 ，有下列结论： 

①当 时，方程有两个不相等的实根；

②当 时，方程不可能有两个异号的实根；

③当 时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为　     　．

18．如图，等边 中， ，点 ，点 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 、 交于点 ，当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径的长度为　     　． 

三、解答题

19．计算：

20．先化简，再求值： ，其中 ．  

21．解方程：

22．如图， ，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点 ．从建筑物 的顶点 测得 点的俯角为45°，从建筑物 的顶点 测得 点的俯角为75°，测得建筑物 的顶点 的俯角为30°．若已知建筑物 的高度为20米，求两建筑物顶点 、 之间的距离（结果精确到 ，参考数据： ， ） 

23．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的 ， 满足关系式 ．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

（1）求问题中的总体和样本容量;

（2）求 ， 的值（请写出必要的计算过程）；

（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）  

24．如图，在矩形 中， 为对角线 的中点，过点 作直线分别与矩形的边 ， 交于 ， 两点，连接 ， ． 

（1）求证：四边形 为平行四边形；  

（2）若 ， ，且 ，求 的长  

25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？  

（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．  

26．如图，反比例函数 与一次函数 的图象在第二象限的交点为 ，在第四象限的交点为 ，直线 （ 为坐标原点）与函数 的图象交于另一点 ．过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，两直线相交于点 ， 的面积为6． 

（1）求反比例函数 的表达式；  

（2）求点 ， 的坐标和 的面积．  

27．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， 、 的延长线交于点 ．

（1）求证： 是 的切线；

（2）求证： ；

（3）若 ， ，求 的长．

28．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的右侧），且经过点 和点 ．

（1）求抛物线的函数表达式；  

（2）连接 ，经过点 的直线 与线段 交于点 ，与抛物线交于另一点 ．连接 ， ， ， 的面积与 的面积之比为1：7．点 为直线 上方抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ．当 为何值时， 的面积最大？并求出最大值；

（3）在抛物线 上，当 时， 的取值范围是 ，求 的取值范围．（直接写出结果即可）

1．C

2．B

3．A

4．C

5．B

6．B

7．C

8．D

9．A

10．A

11．(﹣2，3)

12．a（a+2）（a-2）

13．8

14．72°

15．

16．440

17．①③④

18．

19．解：原式

20．解：原式

将 代入得：原式

21．解： ，  

去分母得： ，

解得： ．

检验：把 代入 中，得 ，

∴ 是分式方程的根

22．解：如图，过点A作 于点N  

由题意得： ， ， ，

，

，

， 米

是等腰直角三角形

（米）

在 中， ，即

解得 （米）

在 中，

是等腰直角三角形

（米）

答：两建筑物顶点 、 之间的距离为35米．

23．（1）解：总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40 

（2）解：设 ，则 ，

根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，

即a+b=20，

，解得 ，

∴a=12，b=8

（3）解： （人），

答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．

24．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 

∴ ，

∴

在△AOM和△CON中

∴△AOM △CON

∴

又∵

∴四边形 为平行四边形

（2）解：∵四边形 为平行四边形  

∵

∴平行四边形 是菱形

∴

∵

设BN的长度为x

在Rt△ABN中， ，

∴

25．（1）解：设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元， 

由题意得： ，

解得： ，

答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．

（2）解：设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w， 

调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），

乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），

8a+4（35-a）≤250×90%，

解得： ，

至多需要购买21个甲种笔记本，

，

当a=21时，w=224，

答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．

26．（1）解：由题意得：

当

当

经检验：符合题意．

＜

  为 与 的交点，

轴， 轴，

的面积为6．

  反比例函数的解析式为：

（2）解：  

  直线 为 ，

记 与 轴的交点为 ，

令   则

27．（1）证明：如图，连接OD，

∵AB为 的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴BD=CD，点D为BC的中点，

又∵AO=BO，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵ ，

∴OD⊥MN，

故 是 的切线

（2）证明：∵∠ADB=90°，

∠1+∠3=90°，

∵ ，

∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠5，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠4=∠5，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠4，

∵∠N=∠N，

∴△BND∽△DNA，

∴ ，

∵AB=AC，

∴ ，

∴

（3）解：∵ ，

∴BD=CD=3，

∵ ，

∴AC= ，

∴AB=5，

由勾股定理可得AD=4，,

由（2）可得，△BND∽△DNA，

∴

∴ ，

∵ ，

∴ ，即 ，

解得：

28．（1）解：把 和点 代入： ，

解得：

所以：抛物线的解析式为：

（2）解： ,

令 则

解得：

过 作 轴于 过 作 轴于 ，则

   的面积与 的面积之比为1：7，

设 的解析式为：

解得：

为：

解得：

过 作 轴于 ，交 于

设

则

当 最大，则 的面积最大，

所以：当 时，

所以 的最大面积＝

（3）解：

令

记抛物线与 轴的交点为 过 作 轴交抛物线于 ，

令 则

解得：

抛物线的顶点为

当 时，

  当 时， 的取值范围是 ，