初中数学北师大版九年级下册第三章 圆2 圆的对称性导学案

专题2 圆相关的概念及性质

（一）圆的定义

1.圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．　　　　

2.圆的集合概念

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

注：

　  ①确定圆需要两个因素，一是圆心，二是半径。圆心确定位置，半径确定其大小。

  　②圆是一条封闭曲线，曲线是圆周，而不能认为是圆面.

③“圆上的点”指圆周上的点。

（二）点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内 d ＜ r ；

点P在圆上 d = r ；

点P在圆外 d ＞r.

    说明：符号“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.

注：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；

（三）与圆有关的概念

1.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

　  　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

　　  半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

　　  优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

　  　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

      注：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

　　      ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.等弧

　　  在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

      注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

          ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

4.同心圆与等圆

　　  圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

　　  圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.

注：同圆或等圆的半径相等.

5.圆心角

顶点在圆心且角的两边与圆相交的角叫做圆心角.

注：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.

6.弧、弦、圆心角的关系

（1）圆心角与弧的关系：

　　 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

    （2）圆心角、弧、弦的关系：

　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

    注：一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

　　    注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

（四）确定圆的条件

（1）经过一个已知点能作无数个圆；

（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；

（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.

（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.           

外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

注：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在且唯一”.

（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.

（五）圆的对称性

圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。圆有无数条对称轴．

圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

注：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。  

（六）垂径定理

1.垂径定理

　　 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

    2.推论

　　 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　　　　

     注：

   (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

　 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

（七）垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

☞ 考点一：圆的相关概念

例1.1下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②直径是弦；③半径相等的两个半圆是等弧；其中正确的是（　 ）

A.①② 　　    　B. ②③ 　　   C. ①③ 　　　    D. ①②③

例1.2过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（   ）条.

A. 1             B. 2            C. 3             D. 4

例1.3如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（   ）

A.点P            B.点Q          C.点R           D.点M

例1.4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（   ）

A．1个           B．2个         C．3个          D．无数个

如图，△ABC中，∠A=50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量∠DOE的度数是（  ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

☞ 考点二：垂径定理

例2.1AB为⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA＝2，OC＝l，则AB的长为(    )．

A．         B．         C．         D．

例2.2如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（    ）

A．2            B．4            C．6            D．8

例2.3已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°角，则弦CD的长为（    ）．

A．  B．  C．  D．

例2.4如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA=30°，OC=3cm，则弦AB的长为（　　）

A．9cm B．3cm C．cm D．cm

例2.5如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）

A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm

例2.6如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA＝30°，求CD的长.

☞ 考点三：弧，弦，圆心角之间的关系

例3.1在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

例3.2下列说法中正确的是（  ）

①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

例3.3如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD=25°，则下列结论错误的是（　　）

A．AE=BE            B．OE=DE           C．∠AOD=50°       D．D是的中点

例3.4如图，以的边为直径的分别交于点，连结，若，则___________.

例3.5如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．

（1）求∠BOC的度数；

（2）求证：四边形AOBC是菱形．

例3.6如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为（　　）

练习

1.下列说法中，错误的是（    ）

经过点p的圆有无数个；以点p为圆心的圆有无数个；

半径为3cm且经过点p的圆有无数个；④以点p为圆心，3cm为半径的圆有无数个.

A.1个         B.2个       C.3个      D.4个

2.以下命题：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；③弦是直径；④直径是圆中最长的弦；⑤直径不是弦；⑥优弧大于劣弧；⑦以○为圆心可以画无数个圆.正确的个数为（    ）

A.1            B、2        C、3          D、4

3.若圆O所在平面内一点P到圆O上的一点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（    ）

A.         B.     C.或      D.或

4.已知圆O的半径为3，一弦长为的一个根，则该弦所对的圆心角的度数为_________.

5.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_____．

6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点B为圆心，BC为半径作圆B，问:点A、C及AB、AC的中点D、E与圆B有怎样的位置关系？

7.如图所示，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点。

  （1）连结AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；

  （2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连结PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系。（不必说明理由）

8.如图，平面直角坐标系中，以点C为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．