物理必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行4 宇宙航行测试题

10 双星（多星）模型

强化训练

一、单选题

1．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（　　）

A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量

B．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力

C．两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越大

D．两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越小

【答案】A

【详解】ABCD．两个黑洞A、B组成双星系统，各自由相互的万有引力提供向心力，所以它们的向心力大小相等，它们的周期T相同，设黑洞A、B的轨道半径分别为、，则 ，联立解得 ，因为>，所以黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量，两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越小，两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越大，A正确，BCD错误。

故选A。

2．“食双星”是一种双星系统、两颗恒星互相绕行的轨道几乎在视线方向，这两颗恒星会交互通过对方，造成双星系统的光度发生周期性的变化。双星的光变周期就是它们的绕转周期。如大熊座UX星，光变周期为4小时43分，该双星由A星和B星组成，A星为2.3个太阳质量，B星为0.98个太阳质量，A星的表面物质开始受B星的引力离开A星表面流向B星表面，短时间内可认为两星之间距离不发生变化，双星系统的质量和也不发生变化，关于该短时间过程描述正确的是（　　）

A．双星之间的万有引力将减小 B．光变周期不变

C．A星的线速度不变 D．B星的线速度将增大

【答案】B

【详解】A．双星之间的引力，因mA+mB一定，根据数学知识可知，两数和一定，两数相等时乘积最大，则当A星的表面物质受B星的引力离开A星表面流向B星表面时，mAmB乘积变大，则万有引力将变大，选项A错误；

B．根据，即，则角速度不变，则周期不变，即光变周期不变，选项B正确；

CD．根据，可得因mA减小，mB变大，可知rA变大，rB减小，因角速度不变，根据v=ωr可知，A星的线速度变大，B星的线速度将减小，选项CD错误。

故选B。

3．在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（　　）

A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关

B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为

C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍

D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍

【答案】B

【详解】A．根据题意可得每颗星轨道半径为，每颗星受到的万有引力的合力为，由万有引力提供向心力得，解得，向心加速度与质量有关，故A错误；

B．由万有引力提供向心力得，解得，则位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为，故B正确；

CD．由万有引力提供向心力得，解得

若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的，若每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的倍，即角速度变为原来的倍，故C、D错误。

故选B。

4．天文观测中观测到有三颗星位于边长为L的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图所示，已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　）

A．它们运行的轨道半径为 B．某颗星的质量为

C．它们的线速度大小均为 D．它们两两之间的万有引力大小为

【答案】D

【详解】A．轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，根据几何关系可得，故A错误；

BD．根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则，解得，它们两两之间的万有引力

D正确，B错误；

C．线速度大小为，C错误。

故选D。

5．如图所示，两颗星组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为，下列说法中正确的是（　　）

A．、做圆周运动的线速度之比为 B．、做圆周运动的角速度之比为3：2

C．做圆周运动的半径为L D．做圆周运动的半径为L

【答案】C

【详解】双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有

则，因为，则，根据知，

故选C。

6．在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，我们称为“模型一”，月球运行的周期记为；但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动，我们称为“模型二”，月球绕地心做圆周运动的的运行周期记为。已知月球和地球的质量分别为m和M，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】根据题意，设地球和月球的距离为，“模型一”时，地球的轨道半径为，月球的轨道半径为，由万有引力提供向心力有，又有，解得

“模型二”时，由万有引力提供向心力有，解得，则有

故选C。

7．科学家发现。距离地球2764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向。假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L，引力常量为G，则（　　）

A．因为OA>OB，所以m>M

B．两恒星做圆周运动的周期为

C．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，恒星A的周期缓慢增大

D．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则恒星A的轨道半径将缓慢增大

【答案】B

【详解】ABC．根据万有引力提供向心力有，因为OA＞OB，所以

m＜M

由于OA+OB=L，解得，当m增大时可知T减小，故AC错误，B正确；

D．根据，且OA+OB=L，解得，若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量m缓慢增大，其他量不变，则恒星A的轨道半径将缓慢减小，故D错误。

故选B。

二、多选题

8．在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统，A、B绕连线上一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，其中一颗恒星做圆周运动的向心加速度是另一颗恒星的2倍，则（　　）

A．恒星B的周期为

B．A、B两颗恒星质量之比为1∶2

C．恒星B的线速度是恒星A的2倍

D．A、B两颗恒星质量之和为

【答案】BD

【详解】A．由于A、B两恒星连线始终过O点，运动周期相同，均为T，A错误；

B．根据①

可知②

又由于③

④

联立可得⑤

B正确；

C．根据⑥

②⑥联立可得，C错误；

D．由③④联立可得，D正确。

故选BD。

9．宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为m的星球A、B、C恰构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量为3m的星球，如图所示。已知引力常量为G，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是（    ）

A．A、B、C三颗星球的线速度大小均为

B．A、B、C三颗星球的加速度大小均为

C．星球A和中心O处的星球表面的重力加速度之比为

D．若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球仍按原轨道运动，则A、B、C三颗星球运动的周期将变大

【答案】AD

【详解】AB. 对三绕一模式，等边三角形边长为L，三颗绕行星轨道半径均为r，由几何关系得三角形的边长为，即有，对顶点的星体受力分析，根据矢量合成的方法可得，解得，，故A正确，B错误；

C. 设它们的密度为，A半径为R，则有，A表面的重力加速度，联立可得

因密度相同，g与R成正比，星球A和中心O处的星球质量之比为，所以两者半径之比为

所以重力加速度之比，故C错误；

D. 由，可得，若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球的质量都是2m；若仍按原轨道运动，则对A有，可得，则A、B、C三颗星球运动的周期将变大，故D正确。

故选AD。

10．宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统，它们以相互间的万有引力为彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T，两星到共同圆心的距离分别为R1和R2，引力常量为G，那么下列说法正确的是（　　）

A．这两颗恒星的质量必定相等

B．这两颗恒星的质量之和为

C．这两颗恒星的质量之比m1∶m2=R2∶R1

D．其中必有一颗恒星的质量为

【答案】BCD

【详解】两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得，所以，，则，

故选BCD。

11．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。 “双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。现有两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为，则可知（　　）

A．、做圆周运动的向心力之比为

B．、做圆周运动的线速度之比为

C．星的运动满足方程

D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大

【答案】BD

【详解】A．“双星系统”做圆周运动的向心力由双星之间的万有引力提供，即，可知，、做圆周运动的向心力之比为，A错误；

B．“双星系统”做圆周运动的角速度大小相等，根据，，解得，B正确；

C．令星圆周运动的半径为，周期为T，则其运动满足方程，C错误；

D．根据，，，解得，可知，双星的总质量一定，双星之间的距离L越大，其转动周期越大，D正确。

故选BD。

12．2016年2月11日，科学家们宣布“激光干涉引力波平台（LIGO）”探测到由两个黑洞合并所产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念后，引力波被首次直接观测到。两个黑洞在合并过程中，由于彼此间强大的吸力作用，会形成短时间的双星系统。在这段时间内，两个星体在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，M1星线速度大小为v1，M2星线速度大小为v2，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的倍，则此时双星系统圆周运动的周期和线速度大小之和是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】两星做圆周运动的周期为T时，对M1星，有，，对M2星，有，，距离关系有，解得 ，

经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的倍后，则有双星系统圆周运动的周期为，线速度之和为，故选AC。

13．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA < RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，万引力常量为G，则以下说法正确的是（   ）

A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量

B．恒星A、B的质量和为

C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径小于C的轨道半径

D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则

【答案】BD

【详解】A．C绕B做匀速圆周运动，满足，故无法求出C的质量，A错误；

B．AB构成双星系统，满足，解得，同理可得，故恒星A、B的质量和为，B正确；

C．AB构成双星系统，满足，因为 < ，所以，若A也有一颗运动周期为的卫星D，根据，可知，而卫星C半径满足

D轨道半径大于C的轨道半径，C错误；

D．如图所示

A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A、B转过的圆心角θ1与C转过的圆心角θ2互补，则有

解得，，D正确。

故选BD。

14．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是（    ）

A．每颗星球做圆周运动的半径都为

B．每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关

C．每颗星球做圆周运动的周期都为

D．若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度变大

【答案】AC

【详解】A．三颗星球均绕中心做圆周运动，由几何关系可知r＝＝R，故A正确；

B．任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供，根据平行四边形定则得F＝2cos 30°＝ma，解得a＝，与三颗星球的质量m成正比，故B错误；

C．合力提供它们的向心力，解得，故C正确；

D．合力提供它们的向心力，解得，距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变，故D错误。

故选AC。

三、解答题

15．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点O点做周期相同的匀速圆周运动．已知两颗星球之间的距离为L，质量m1＝3m，m2＝2m，引力常量为G。请你算出：

（1）m2的轨道半径；

（2）双星运动的周期。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）对m1：，对m2 ：

且 ，解得

（2）由（1）可得，且，则

16．宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为d的星球A和星球B．在星球A上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P由静止向下运动，其加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图（b）中实线所示。在星球B上用完全相同的弹簧和物体P完成同样的过程，其关系如图（b）中虚线所示。已知两星球密度相等，星球A的质量为，引力常量为G。假设两星球均为质量均匀分布的球体。

（1）求星球A和星球B的表面重力加速度的比值。

（2）若将星球A看成是以星球B为中心天体的一颗卫星，求星球A的运行周期。

（3）若将星球A和星球B看成是远离其他星球的双星模型，求两星球做匀速圆周运动的周期为。

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）对物体受力分析，根据牛顿第二定律

  ，可得，结合图像可知，纵截距表示星球表面重力加速度。则有

（2）设星球的质量为，根据黄金替换公式    ，根据质量与体积关系式  

联立得   ，由于星球和星球密度相等，可见

则星球与星球的质量比，联系以上各式可得    

星球以星球为中心天体运行时，受到星球的万有引力作用做匀速圆周运动。

研究星球，根据向心力公式 ，解得  

（3）将星球和星球看成双星模型时，它们在彼此的万有引力作用下做匀速圆周运动。

研究星球：

研究星球：

又，联立可得

17．如图甲所示为北斗七星位置示意图，它们只是宇宙中七颗普通的恒星，而且它们之间没有任何关系。其中天玑星是一个双星系统的天体结构，在天玑星周围还有一颗质量较小的伴星，天玑星和它的伴星绕着它们二者之间连线的某点O做相同周期的匀速圆周运动，如图乙所示。现测得天玑星的质量为M，二者之间连线的间距为L，二者绕O点做匀速圆周运动的周期为T。万有引力常量为G。试求天玑星的伴星的质量。

【答案】

【详解】设伴星的质量为m，天玑星的轨道半径为R，伴星的轨道半径为r，对伴星，有

对天玑星，有，由题意知R+r=L，以上联合求解得

18．我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中，恒星A、B组成的双星系统绕点O顺时针做匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B逆时针做匀速圆周运动，周期为。忽略A与C之间的引力，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力，远大于、万有引力常量为G，求：

（1）恒星A的质量；

（2）A、B、C三星由图示位置到再次共线所用时间t。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力。对B，由牛顿第二定律得对B有，，联立可得

（2）因T1远大于T2，故C以B为参考系，只需要C转半个圆周即可三星再次共线，即