2023年山东省德州市夏津县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省德州市夏津县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  夏津县地处鲁西北平原，鲁冀两省交界处，因“齐晋会盟之要津”而得名，具有年历史据我县统计局统计，年我县常住人口为万，将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关、、中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某学校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第一象限作正方形，点在双曲线上．将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值(    )

A.
B.
C.
D.

10.  抛物线过点、、，平行于轴的直线交抛物线于点、，以为直径的圆交直线于点、，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在矩形中，，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点交于点，连接，有下列结论：四边形为平行四边形；；为等边三角形；当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  因式分解：______．

14.  小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点攀爬到点的最短路径为______ 米

15.  已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥侧面展开图的圆心角为______

16.  若，是方程的两个实数根，则的值为        ．

17.  如图，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图所示，线段的长为______．

18.  如图，是等边三角形的外接圆，是上一点，是延长线上的一个点，且，若，，则线段的长是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值，其中从的整数解中任选一值．

20.  本小题分
为了增强西安市民的法律意识，市区组织了一次关于“学法、懂法、用法”的问卷调查，并随机抽取名社区居民在线参与，对他们的得分数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息：
名社区居民得分单位：分的不完整的扇形统计图如图；数据分成组：：，：，：，：，：；
社区居民得分在组的成绩是：，，，，，，，，，，，，，；
名社区居民的年龄和问卷得分情况散点统计图如图；
社区居民甲的问卷得分为分．

根据以上信息，回答下列问题：
扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数等于______ ，组所占百分比为______ ．
社区居民甲的得分在抽取的名社区居民得分中从高到低排名第______ 名；
下列推断合理的是______ 单选
A.相比于图点所代表的社区居民，居民甲的得分略高一些，说明青年人一定比老年人法律知识掌握得更好一些．
B.法律知识得分在分以上的社区居民年龄主要集中在岁到岁之间，说明青年人法律知识掌握更为全面，他们可以向身边的老年人多宣传法律相关内容．

21.  本小题分
如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，、可分别绕点、转动，测量知，当，转动到，时，求点到直线的距离精确到，参考数据：，，
 

22.  本小题分
如图，外有一点．
请利用尺规作图法作出的两条切线，，切点分别为、两点；保留作图痕迹，无需写作法
点是优弧上的一点，若，求的度数；
在的条件下，若的半径长为，求图中线段、和劣弧所围成的封闭图形的面积．

23.  本小题分
某书店为了迎接“读书节”决定购进、两种新书，相关信息如表：

已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本，请求出、两种图书的标价；
经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书按照标价折销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？

24.  本小题分
【问题情境】：
我们知道若一个矩形是的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，它的面积最大反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？
【探究方法】：
用两个直角边分别为，的个全等的直角三角形可以拼成一个正方形若，可以拼成如图所示的正方形，从而得到，即；当时，中间小正方形收缩为个点，此时正方形的面积等于个直角三角形面积的和即于是我们可以得到结论：，为正数，总有，当且仅当时，代数式取得最小值另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：
，，；
对于任意实数，总有，且当时，代数式取最小值．
使得上面的方法，对于正数，，试比较和的大小关系．
【类比应用】：
利用上面所得到的结论完成填空：
当时，代数式有最小值为______ ．
当时，代数式有最值为______ ．
如图，已知是反比例函数图象上任意一动点，，，试求的最小面积．

25.  本小题分
已知点是二次函数图象的顶点．

小明发现，对取不同的值时，点的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请协助小明完成对这个函数表达式的探究：
将下表填写完整：

描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图象上？求出这个图象对应的函数表达式，并加以验证；
若过点，且平行于轴的直线与的图象有两个交点和，与中得到的函数图象有两个交点和，当时，请求出此时的值，写出求解过程；
若，，函数的图象与线段只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在实数，，，中最小的实数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上往下看，左边是一个正方形，右边是一个含内切圆的正方形，
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能计算，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算、积的乘方、单项式乘以单项式可进行求解．
本题主要考查二次根式的运算、积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有种情况，
能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：多边形是正五边形，
正五边形的每一个内角为：，
，
正五边形的个数是．
故选：．
先求出多边形的每一个内角为，可得到，即可求解．
本题主要考查圆的基本性质，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作轴于点，交双曲线于点作轴于点．
在中，令，解得：，
的坐标是．
令，解得：，
的坐标是．
，．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
，
≌，
同理，≌≌，
，，
的坐标是，的坐标是．
点在双曲线上，
，
函数的解析式是：．
把代入得：．
．
故选：．
作轴于点，交双曲线于点作轴于点，易证≌≌，求得、的坐标，根据全等三角形的性质可以求得、的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得平移后的点的坐标，则的值即可求解．
本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
点坐标为，
如图，为直径的中点，连接，过点作于．
则，，
则
．
故选：．
根据题意，为直径的中点，连接，过点作于知，分别求出，即可．
此题首先要正确分析出各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式方程的解为：且，
关于的分式方程的解为正数，
且，
且，
不等式组整理得：，
关于的不等式组的解集为，
，
且，
符合条件的所有整数为：、、、、、、，
它们的和为，
故选：．
根据分式方程的解为正数可得且，再根据不等式组的解集为可得，找出且中所有的整数即可求解．
本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集确定的取值范围是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，故正确，
≌，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，，
，故正确，
若是等边三角形，则，，
这个与题目条件不符合，故错误，
四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；故正确．
故选：．
正确．想办法证明，，可得结论．
正确．证明∽，推出，再证明，，可得结论．
错误．用反证法证明即可．
正确．证明，可得结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
．
此题应先提公因式，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

14.【答案】 

【解析】解：平面展开图为：

米，
故答案为．
利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．
本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．熟悉立体图形中两点间最短路径问题的计算方法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥的底面圆的半径，
根据题意得，
解得，
即圆锥侧面展开图的圆心角为．
故答案为：．
设圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，，



．
故答案为：．
利用根与系数的关系，求出，，，再代入计算即可求解．
此题主要考查了根与系数的关系，解答的关键是由根与系数的关系得出，的值．
 

17.【答案】 

【解析】解：由图象可知，，
如图，

当时，
中，


中，

故答案为：
由图象可知，时，，由勾股定理求出，再求求即可．
本题以动点的函数图象为背景，考查了数形结合思想．解答时，注意利用勾股定理计算相关数据．
 

18.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，
过作于，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，即，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质得到，过作于，解直角三角形得到，，，，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理的应用，能够熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
 

19.【答案】解：




，
的解集为，
其中整数解有，、和，
，，
当时，原式；
当时，原式． 

【解析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，分式乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
 

20.【答案】       

【解析】解：组所对应扇形的圆心角度数为，
组所占百分比为，
组所占百分比为．
故答案为：，．
的人数有人，
根据组的成绩可知只有一个比高的，
分是第名，
故答案为：．
观察图象可知：法律知识得分在分以上的社区居民年龄主要集中在岁到岁之间，说明青年人法律知识掌握更为全面，他们可以向身边的老年人多宣传法律相关内容．
故B正确．
故答案为：．
用乘以即可求出组所对应扇形的圆心角度数，先求组的百分比，即可求出组所占百分比；
根据的人数有人，根据组的成绩可知只有一个比高的，即可判断，
利用图中信息判断即可．
本题考查了扇形图，散点图等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象信息解决问题．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点到的距离为． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，从而可得四边形是矩形，进而可得，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，并且可以求出，从而求出，进而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，直线，即为所作；

解：如图，连接、，
、是切线，
，，
，
，
，
，
，
；

如图，连接，
，是的两条切线，
，，平分，
，，
在中，
，，
，
，
，
阴影部分的面积． 

【解析】连接，以线段为直径作圆，交于点，，作直线，，则直线，即为所求；
根据切线的性质得到，连接、，利用圆周角定理求得，根据四边形内角和定理即可求解；
连接，由切线长定理求得，解直角三角形求得，根据阴影部分的面积计算即可求解．
本题考查了作图复杂作图，掌握圆的切线性质，扇形的面积，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
 

23.【答案】解设类图书的标价为元，则类图书的标价为元，
根据题意可：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则类图书的标价为：元，
答：类图书的标价为元，类图书的标价为元；
设购进类图书本，总利润为元，类图书的售价为元，
由题意得，，
根据题意得：，
解得：，
，
随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为元，
此时购进类图书本，类图书本． 

【解析】先设出两种图书的标价，再根据购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本，建立分式方程，解方程并检验即可；
设购进类图书本，总利润为元，先根据总利润类图书的利润类图书的利润，表示出，再根据备注内容建立一元一次不等式组，求解即可．
本题考查了列分式方程解决问题，求一次函数解析式及列一元一次不等式组解决问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
 

24.【答案】  

【解析】解：探究：，
成立；
由可以得到：，
当时，代数式有最小值为．
故答案为：．
构造已知条件形式：，
当时，代数式有最小值为．
故答案为：．
过做轴于点，过作轴于点，设，由题意得：



，
的最小面积为．

探究方法：仿照给定的方法，即可得出这一结论；
直接利用求解；
变形解答即可；
设，写出面积表达式，利用上面的结论作答即可．
本题是以反比例函数为背景的阅读理解题型，主要考查了矩形的面积公式、矩形的周长公式、完全平方公式的展开式以及反比例函数的性质．本题属于中档题，难度不大，由于本题篇幅较长，孩子们很难耐下心来细读，其实像这样的阅读形题，只要读懂题意仿照例题给定方法，套入数据即可得出结论．
 

25.【答案】     

【解析】解：点是二次函数图象的顶点，
点的坐标表示为，
当时，，，此时点坐标是；
当时，，，此时点坐标是；
当时，，，此时点坐标是；
填写表格如下：

猜想这些点在一个二次函数图象上，设二次函数的表示为，
选择三个点，，分别代入得
，
解得：，
函数表达式为
当时，，
点一定在二次函数的图象上，猜想成立；
过点，且平行于轴的直线为，
联立，
解得，，

联立，解得，，
，


整理得，
解得或；
由、得线段轴，且，
联立，整理得解得，或，
函数的图象与线段只有一个公共点，
交点在线段上，交点情况如图所示：

交点不在线段上，或与交点重合，
又线段：，
或或，
解得 或  或 ．
利用顶点式求出顶点，再利用的值求出对应点坐标即可；
发现三点不共线，且点纵坐标为二次计算式，猜想点在二次函数上，利用三个点坐标求出该函数解析式，代入点坐标验证点一定在该二次函数上即可；
利用直线和二次函数联立方程求出、、、的坐标，再利用求解即可；
利用直线与二次函数联立求出交点坐标，再查看交点是否在线段上，根据只能有一个交点判断两个交点的坐标，得到交点坐标范围后得出的取值范围．
本题为二次函数交点类问题，通常采用直线解析式与二次函数解析式联立求解交点，再根据交点的要求求解，在复杂的计算中坚持并正确的计算和理清题意列式计算是解题的关键．