2023年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷（含解析)

2023年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  杭州奥体中心体育场俗称“大莲花”，为杭州亚运会主体育场及田径项目比赛场地，总建筑面积约平方米，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，点为直线外一点，，垂足为点，点到直线的距离是线段的长度．(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知，是实数，若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，的直径垂直弦于点，且，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  跳远运动员小李在一次训练中，先跳了次的成绩如下：，，，，，单位：：这六次成绩的平均数为，方差为如果小李再跳一次，成绩为单位：，则小李这次跳远成绩与前次的成绩相比较，其方差(    )

A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定

8.  在真空环境中，电磁波波长单位：、频率单位：满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是(    )

A. 波长是频率的正比例函数
B. 波长为时，频率为
C. 波长大于时，频率大于
D. 波长小于时，频率大于

9.  如图，一只正方体箱子沿着斜面向上运动，，箱高米，当米时，点离地面的距离是米．(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数与自变量的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误其中，，，均为常数．

甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则下列说法正确的是(    )

A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都错 D. 甲乙都对

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ； ______ ．

12.  把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是          ．

13.  如图，点是外一点，切于点已知半径为，，则 ______ ．

14.  已知一次函数的图象经过点和，当函数值时，的取值范围为______ ．

15.  若商品的买入价为，售出价为，则毛利率已知，，则 ______ ．

16.  如图，将矩形沿折叠，点与点重合，连结并延长分别交、于点、，且．
若，则 ______ ；
若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
以下是圆圆解方程的解答过程．
解：两边同乘以，得
移项，合并同类项，得
两边同除以，得
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

18.  本小题分
统计某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图每组含前一个边界值，不含后一个边界值．

组距为多少？
中位数所在组的频数是多少？
若该校七年级总共有同学，那么跳高成绩在含以上的大约有多少人？

19.  本小题分
如图，点是边上一点，且满足．
证明：∽；
若：：，，求的长．

20.  本小题分
已知反比例函数为常数，与正比例函数的图象有一个交点为．
求的值；
将点向下平移个单位，再向左平移个单位后，得点，试判断点是否在函数的图象上，并说明理由；
当时，利用函数图象直接写出自变量的取值范围．

21.  本小题分
如图，以等腰的底边为直径作半圆，交、于点、．
证明：；
若，，求阴影部分面积．

22.  本小题分
已知关于的二次函数为常数．
若二次函数图象经过，两点，求二次函数的表达式；
若，试说明该函数图象与轴必有两个不同的交点；
若时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．

23.  本小题分
点、分别为正方形边、上一点，满足，连结和．
求证：≌；
过点作交于点，垂足为点．
判断的形状，并说明理由；
当在边上时，设，和的面积分别是和，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等得出，进而利用邻补角解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：，垂足为点，点到直线的距离是线段的长度．
故选：．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，则，故A不符合题意；
B、，则，故B不符合题意；
C、，若，则，故C不符合题意；
D、，则，因此，故D符合题意．
故选：．
不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，，
，
，，
，
，
在中，，
故选：．
连接，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

6.【答案】 

【解析】解：用绳子去量长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：小李再跳次，成绩为，
这组数据的平均数是，
这次跳远成绩的方差是：
，
，
方差变小；
故选：．
先由平均数的公式计算出小李第二次的平均数，再根据方差的公式进行计算，然后比较即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

8.【答案】 

【解析】解：、波长是频率的反比例函数，故A不符合题意；
B、波长为时，频率为，故B不符合题意；
C、波长大于时，频率小于，故C不符合题意；
D、波长小于时，频率大于，正确，故D符合题意．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可判定．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作于，，垂足为，

由题意得：，，
，，
，
，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
米，
米，
点离地面的距离是米，
故选：．
过点作，垂足为，过点作于，，垂足为，根据题意可得，，再利用等角的余角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由二次函数与自变量的部分对应值表可知：
当与时，都是，
当时，，
当时，，
，由抛物线的对称性可知：函数图象的对称轴是直线，
即．
由于，故自变量时，随的增大而减小，
由抛物线的对称性可知时，随的增大而增大，
故函数图象开口向上．
，，；
由抛物线的对称性可知：当时，，
即方程的一个根是．
甲对乙错．
故选A．
由已知二次函数与自变量的部分对应值表和抛物线的对称性可得：
、函数图象的对称轴是直线即有，
又因为，可知自变量，随的增大而减小，
由函数图象对称性可知时，随的增大而增大，故函数图象开口向上，进而得到，，
由抛物线的对称性可知是方程 的一个根，从而得出结论．
本题重点考查二次函数的图象和性质，能数形结合从而推出结论是解决此类题型的关键．
 

11.【答案】   

【解析】解：，，
故答案为：，．
根据算术平方根的定义以及合并同类项法则进行计算即可．
本题考查算术平方根以及合并同类项，理解算术平方根的定义，掌握合并同类项法则是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，共种等可能的结果，两次正面都朝上的结果数有种，
所以两次正面朝上的概率是．
故答案为：．

画树状图得所有等可能的结果数，看两次正面都朝上的结果数占总结果数的多少即可．
本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求结果数与总结果数之比．得到所求事件的结果数是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
切于点，
，
在直角中，根据勾股定理可以得到：．
故答案为：．
连接，在直角中，根据勾股定理即可求解．
本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：将，代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为．
当时，，
，
当函数值时，的取值范围为．
故答案为：．
由点，的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再代入，即可求出的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式的性质，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，变形得：，
解得：．
故答案为：．
把，看作已知数求出即可．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：四边形为矩形，
，
，
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
如图，过点作于点，

四边形为矩形，，，
，，，，
，
四边形、均为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：．
根据折叠的性质可得，进而求出，则，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
过点作于点，得到四边形、均为矩形，根据得到，由平行线的性质得，由对顶角相等得，则，进而得到，根据勾股定理求出，设，则，，，再根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，，，于是，，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
 

17.【答案】解：圆圆的解答过程错误，
正确的解答过程如下：
，
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得． 

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

18.【答案】解：，
答：组距为；
参加测试的总人数为人，
把这人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数落在这一组，
故中位数所在组的频数是；
人，
答：跳高成绩在含以上的大约有人． 

【解析】根据每组的前一个边界值和后一个边界值即可得到结论；
根据中位数的定义可得答案；
用乘样本中跳高成绩在含以上的人数比例即可解答．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

19.【答案】证明：，
，
，
∽；
解：由知，∽，
，
：：，，
，，
，，
． 

【解析】根据相似三角形的判定方法，两对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；
根据相似三角形的性质可求出和的长，则．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
 

20.【答案】解：正比例函数的图象过交点为，
，
，
点在反比例函数为常数，的图象上，
；
将点向下平移个单位，再向左平移个单位后，得点，
，
点不在函数的图象上；
由图象可知，当时，自变量的取值范围是或． 

【解析】由正比例函数的解析式求得点的坐标，代入数为常数，即可求得的值；
求得的坐标为，由，即可判断点不在函数的图象上；
利用图象即可求解．
本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接、，
为直径，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，即，
；
解：如图，连接、，
等腰中，
是等边三角形，
，
，
和是等边三角形，
，
，
． 

【解析】根据圆周角定理得出，即可得出，然后通过证得≌，得出，即可证得；
利用求得即可．
本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判断和性质，等边三角形的判断和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：将，代入得，
解得，
二次函数的表达式为：．
若，则，
，
令，
则，
函数图象与轴有两个不同的交点．
，
抛物线开口象限，对称轴为直线，
将代入得，
抛物线的顶点坐标为，
时，函数的最大值为．
当时，时，函数最小值为最小值，
，
．
当时，时，函数最小值，
，
解得舍或．
综上所述，或． 

【解析】通过待定系数法求解．
证明一元二次方程判别式大于．
由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，分类讨论，时函数取最小值求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
解：是等腰三角形，理由如下：
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
证明：≌，
，
，，
∽，
和的面积分别是和，
，
如图，过点作于点，

，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
． 

【解析】利用即可证明≌；
结合证明，进而可得的形状；
证明∽，可得，过点作于点，根据矩形的性质和等腰三角形的性质证明，，可得，进而可以解决问题．
本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识，作辅助线，构建三角形全等是关键，属于中考压轴题．