2022-2023学年浙江省杭州十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州十三中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  若一组数据，，，，的平均数为，那么数据，，，，的平均数为(    )A.  B.  C.  D. 4.  若是关于的一元二次方程，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 或5.  用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设(    )A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角6.  若一个多边形的内角和为其外角和的倍，则这个多边形的边数是(    )A.  B.  C.  D. 7.  为了美化环境，年某市的绿化投资额为万元，年的绿化投资额为万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  若，是方程的两实数根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，在平行四边形中，，，，和，，，分别是和的五等分点，且，和，分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 10.  如图，在平行四边形中，，交于点，平分交于点，连结，，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  若二次根式有意义，则的取值范围是______ ．12.  已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差为______ ．13.  若为方程的一个根，则代数式的值为______ ．14.  如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，交于点，折痕为，若，，则的度数为______ ．
15.  对于实数，，定义新运算为：如果关于的方程有两个相等的实数根，则 ______ ．16.  如图，在中，于点，点，，分别是，，的中点，且点与点不重合，则下列结论正确的为______ ．
图中有个平行四边形；
与全等；
；
当时，四边形的面积为．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：；
．18.  本小题分
解下列方程：
；
．19.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的度数．
20.  本小题分
某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩百分制，进行整理，描述和分析如下：成绩得分用表示为整数，共分成四组：
A.；；；．
七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，．
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
抽取的七、八年级学生成绩统计表： 年级平均数中位数众数方差七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：
这次比赛中______ 年级成绩更平衡，更稳定；
直接写出图表中，的值： ______ ， ______ ；
该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数？21.  本小题分
“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件．
当销售量为件时，产品售价为______ 元件；
直接写出日销售量件与售价元件的函数关系式；
该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利元？22.  本小题分
已知关于的方程．
求证：该方程总有两个实数根；
记该方程的两个实数根为，，若，求值；
若，证明：．23.  本小题分
已知平行四边形，为边上的中点．
如图，若，求证：平分；
若为边上一点，连结，；
如图，若，，求；
如图，若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 3.【答案】 【解析】解：数据，，，，的平均数为，
，
，
数据，，，，的平均数为．
故选：．
根据数据，，，，的平均数为可知，据此可得出的值．
此题主要考查了平均数，熟记平均数是解答此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：是关于的一元二次方程，
，
或，
故选：．
根据一元二次方程的定义可得，进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 6.【答案】 【解析】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是．
故选：．
设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程．
 7.【答案】 【解析】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这两年该市绿化投资额的年平均增长率为．
故选：．
设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，利用年该市的绿化投资额年该市的绿化投资额这两年该市绿化投资额的年平均增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：是方程的根，
，
，

，
，是方程的两实数根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．
 9.【答案】 【解析】解：设平行四边形的面积是，设，，边上的高是，边上的高是，
则，
即，

由题意可知：与全等，，边上的高是，
则与全等的面积是，
同理与的面积是，
则四边形的面积是，
，
解得，
平行四边形的面积为．
故选：．
可以设平行四边形的面积是，根据等分点的定义利用平行四边形的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
本题考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：平分交于点，
，
，
，
，
，
设，
，，
是的中点，
在平行四边形中，，
，
，
 又是的中点，
，
，
如图作于，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
故选：．
根据平分交于点，得，再根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：二次根式有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：数据，，，，的平均数是，
，
，
这组数据的方差，
故答案为：．
先由平均数的公式计算出的值，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 13.【答案】 【解析】解：为方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 14.【答案】 【解析】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
即：．
关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
利用新运算的规定将原方程变形，再利用列出关于的方程解答即可．
本题主要考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，本题是新定义型，理解新定义的规定并正确应用是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
同理得：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
即图中有个平行四边形；
故不正确；
，
，
点，，分别是，，的中点，
，，
，
同理得：，
，
≌，
故正确；
点，，分别是，，的中点，
，，
，，
，，，
≌，
，
；
故正确；
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形的面积．
故正确；
本题正确的结论有：
故答案为：．
根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定可作判断；
根据垂直的定义得到，根据三角形中位线定理和直角三角形的斜边中线的性质即可得到：，，可得≌，作判断；
根据三角形的中位线定理和平行线的性质得：，，根据证明≌，再根据角的和与差可作判断；
根据等腰直角三角形的性质，勾股定理和梯形的面积公式可作判断．
本题考查了平行四边形的判定，梯形的面积公式，三角形的中位线定理，三角形全等的性质和判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 17.【答案】解：

；



． 【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
根据二次根式的除法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
，． 【解析】利用因式分解法求解即可；
利用直接开平方法求解即可．
本题考查的是利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
 19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；

解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
． 【解析】首先证明≌，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论；
根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
 20.【答案】七     【解析】解：因为两个年级的平均数相同，而七年级的方差比八年级小，
所以七年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：七；
把七年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数；
在七年级名学生的成绩中，出现的次数最多，故众数．
故答案为：；；
因为八年级的中位数是，八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，
所以有个学生的成绩比大，所以被抽取的名学生的成绩有人成绩优秀，
人．
答：估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数大约有人．
根据方差的意义解答即可；
根据中位数和众数的定义解答即可；
用乘样本中成绩优秀的学生人数所占比例即可．
本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，掌握相关统计量是解决问题的关键．
 21.【答案】 【解析】解：


元件，
当销售量为件时，产品售价为元件．
故答案为：；
根据题意得：，
该产品的进货价为元件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，
日销售量件与售价元件的函数关系式为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该产品的售价每件应定为元．
利用售价，即可求出结论；
利用日销售量售价，即可找出日销售量件与售价元件的函数关系式；
利用电商每天销售该产品获得的利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 22.【答案】证明：

，
该方程总有两个实数根；
解：，
解得或，
当时，解得，
当时，解得，
综上所述，的值为或；
证明：根据根与系数的关系得，，



，
，
，
即． 【解析】先计算根的判别式的值得到，则根据一元二次方程根的判别式的意义得到结论；
先利用求根公式法解方程得到或，所以或，然后分别解一次方程即可；
先根据根与系数的关系得，，则，然后利用非负数的性质可得到结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 23.【答案】证明：为的中点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
平分；
解：延长，交延长线于点，如图，

四边形为平行四边形，
，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
；
，证明如下：
延长，交延长线于点，如图，

由可知，≌，
，，，
，
，即，
为等腰三角形，，
，
即． 【解析】根据线段中点的定义得，进而得，由等边对等角得，再由平行线的性质得到，则，据此即可证明；
延长，交延长线于点，易通过证明≌，得到，，于是；
延长，交延长线于点，由知≌，则，，，于是得到，根据中线和高合一的三角形为等腰三角形可得为等腰三角形，，以此即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据题意，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键．