2022-2023学年广东省韶关市仁化县八年级（下）期中数学试卷（含解析)

2022-2023学年广东省韶关市仁化县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为平方米．(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

5.  如图，直角三角形三边向外作正方形，字母所代表的正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  中，斜边，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法计算

7.  在下列给出的条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  如图，在▱中，已知，，平分交边于点，点、分别是、的中点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列说法中错误的是(    )

A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 两条对角线相等的菱形是正方形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  当 ______ 时，最简二次根式与能够合并．

12.  命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是______．

13.  如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为        ．

14.  某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里它们离开港口小时后两船相距______ 海里．

15.  如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连结交的延长线于点，连结交于点，连结则以下四个结论中：，，，正确结论的结论有______填序号．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

16.  有一道练习题是：对于式子先化简，后求值．其中．
小明的解法如下：
．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
计算：；
计算：．

18.  本小题分
已知平行四边形，对角线、交于点，线段过点交于点，交于点求证：．
 

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，▱的三个顶点分别是，，，第四个顶点的坐标可以是什么？在平面直角坐标系中标出点并写出坐标不需要写过程，并画出相应的平行四边形．

20.  本小题分
如图，平行四边形的两条对角线、相交于点，，，．
试判断四边形的形状，并加以证明；
求四边形是的周长和面积．

21.  本小题分
小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长．

22.  本小题分
如图，在中，，、、分别是、、的中点．
求证：；
连接、，求证：四边形为矩形；
满足什么条件时，四边形为正方形，并证明．

23.  本小题分
如图，是正方形对角线上一点，，垂足分别是点、
求证：；
若，，求正方形的边长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，解得，．
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项正确；
C、，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：．
直接利用最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：长方形田地的长为米，宽为米，
该长方形田地的面积为平方米，
故选：．
根据长方形面积公式结合二次根式的乘法计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式乘法，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，、、不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以．
故选D．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，为斜边，
，
．
故选：．
利用勾股定理将转化为，再求值．
本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、根据，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、根据，不能推出四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、根据，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、，，
又，
，，
，，
四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选：．

根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
点，点分别是、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
先根据平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则，再证明是的中位线，则．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中位线定理，由角平分线和平行得出是等腰三角形再求出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在矩形中，对角线、相交于点，
，
，
．
故选：．
根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解．
本题考查了矩形的性质，熟知矩形的对角线相等，且互相平分是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定的有关知识，根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等、平分进行判定即可得出结论．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：四边形的两组对边分别平行；一组对边平行且相等；两组对边分别相等；对角线互相平分；两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
【解答】

解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确；
B.对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误；
C.对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确；
D.两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确，
综上所述，符合题意，
故选B．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为最简二次根式与能够合并，
所以可得：，
解得：，
故答案为：．
根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

12.【答案】菱形的四条边相等 

【解析】

【分析】
本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】
解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为菱形的四条边相等．  

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，，
，
点在原点左边，
的值为．
如图所示：先求出的长，再表示长，进而求出的值．
本题考查数轴，掌握数轴表示的对应数，勾股定理得应用是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
，
，
“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里，航行时间为小时，
海里，海里，
由勾股定理得海里，
它们离开港口小时后两船相距海里，
故答案为：．
先求出，再求出海里，海里，然后利用勾股定理求出的长即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
是的中位线
；
故正确；
，，
是的中位线，
，，
，

，
，故错误．
由知：≌，
，
，
故正确；
四边形是正方形，是的平分线，
，，，
，
≌，
，
，
中，

，
，故正确；
故答案为：．
只要证明是的中位线即可得出结论；
根据是的中位线，得出，由，可得出结论；
由中的全等和中点的定义证得；
根据四边形是正方形，是的平分线可求出≌，再由即可求出结论．
此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．证明三角形全等是关键，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．
 

16.【答案】解：小明的解法不对．改正如下：
，
，
，
原式，
把代入得原式． 

【解析】根据二次根式的性质得到原式，由于，即，则原式，然后把的值代入计算．
本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和已知条件把所求的式子进行化简，然后把满足条件的字母的值代入计算．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先化简二次根式和去绝对值，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
根据二次根式的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由四边形是平行四边形，可得，，继而可利用判定≌，继而证得．
 

19.【答案】解：如图所示，
设点的坐标为，
平行四边形对角线中点坐标相同，
，
，
，
同理可求得剩下图，图，图，图，图中点的坐标分别为，，，，，
综上所述，或或．














 

【解析】根据平行四边形对角线中点坐标相同，求出点的坐标，再画出对应的图形即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟知平行四边形对角线中点坐标相同是解题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是菱形，证明如下：
平行四边形的两条对角线、相交于点，，，
，
，
，
是直角三角形，即，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，，，，
四边形的周长为，面积为 

【解析】先利用平行四边形的性质得到，，进而证明是直角三角形，即，则由菱形的判定定理可得四边形是菱形；
根据菱形的面积公式和周长公式进行求解即可．
本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
设，则，
，
，
，
，
，
． 

【解析】在直角中根据勾股定理得到的长，进而在直角中，根据勾股定理，求出的长．
本题解决的关键是利用勾股定理，先求出两个直角三角形的公共边．
 

22.【答案】证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
点时的中点，，
，
；
证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
解：当时，四边形是正方形，证明如下：
同理可证是的中位线，
，
当时，则，
矩形是正方形． 

【解析】证明是的中位线，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明；
先证明是的中位线，得到，再由线段中点的定义得到，进而证明四边形是平行四边形，由，即可证明四边形是矩形；
当时，四边形是正方形，利用三角形中位线定理证明，即可证明矩形是正方形．
本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接．
四边形是正方形，，，
，
四边形为矩形．
．
又为正方形的对角线，
．
在和中
，
≌．
．
．

解：过点作于点，
，，
，．
是正方形的对角线，
，
，
，即正方形的边长为． 

【解析】连接，根据题意可得出四边形为矩形，故，再由定理得出≌，进而可得出结论；
过点作，由直角三角形的性质可得出及的长，再由等腰直角三角形的性质得出的长，进而可得出结论．
本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角是解答此题的关键．