2022-2023学年广东省深圳市南山第二外国语学校七年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年广东省深圳市南山第二外国语学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四个图形中，一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  蚕丝是大自然中的天然纤维，是中国古代文明产物之一，也成为散发着现代科学技术魅力的新材料某蚕丝的直径大约是米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中(    )
 

A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列能用平方差公式计算的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在下列条件中，能够证明的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  匀速地向一个容器注水，最后把容器注满在注水的过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中为一折线，那么这个容器的形状可能是下列图中的(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列说法中，正确的是(    )

A. 互为补角的两个角可以都是锐角
B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C. 同一平面内，若且，则
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

9.  如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  蜡烛高，点燃后平均每小时燃掉，则蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间时之间的关系式是______．

12.  如图，将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为______．

13.  任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是______ 最简结果

14.  如果是一个完全平方式，那么的值是______ ．

15.  折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则 ______

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
；
要求简便计算

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
如图，是由四个长为，宽为的小长方形拼成的正方形．
图中的阴影正方形的边长可表示为______ 用含，的代数式表示；
根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系______ ；
根据中的结论，解决下列问题：若，，求阴影正方形的面积．

19.  本小题分
由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：

请回答下列问题：
在这个变化过程中，自变量是______ ，因变量是______ ；
当刹车时车速为时，刹车距离是______ ；
根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：______ ；
该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
相关法规：道路交通安全法第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里

20.  本小题分
探究：如图，，，若，求的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空．
解：因为，
所以____________
因为，
所以____________
所以等量代换．
因为，
所以______
应用：如图，，，若，求的度数．

21.  本小题分
规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么例如：因为，所以，因为，所以．
根据上述规定，填空： ______ ； ______ ．
若，则 ______ ．
在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：．

22.  本小题分
【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
如图所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到请猜想与、之间的数量关系，并证明；
猜想：______ ；
证明：
如图所示，已知，点为，之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系______ ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图，点在上，点在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，但与不一定相等，本选项不符合题意；
B、与不一定相等，本选项不符合题意；
C、与是对顶角，一定相等，本选项符合题意；
D、与不一定相等，本选项不符合题意；
故选：．
根据邻补角、对顶角的性质判断即可．
本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段的长度．
故选：．
利用从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短求解即可．
本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
 

4.【答案】 

【解析】解：、应为，故本选项错误；
B、，正确；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选：．
根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方的性质；多项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，多项式除以单项式的法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：；
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
不是的形式，
选项D不符合题意，
故选：．
根据平方差公式是对结构特点算式进行计算的方法进行逐一辨别即可．
此题考查了平方差公式的应用能力，关键是能正确理解并运用平方差公式．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，则，故选项错误；
B、，则，故选项错误；
C、，即，
，故选项错误；
D、正确．
故选D．
根据平行线的判定定理即可判断．
本题考查了平行线的判定定理，正确理解同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：从图中可以看出，上升最快，上升较慢，上升较快，
所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大，
故选：．
根据题意先比较、、三段的变化快慢，再比较三个容器容积的大小，即可得出图形，再根据图形从而画出图象．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数的图象所表示的意义是解题的关键，注意容器粗细和水面高度变化的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：、互为补角的两个角不可能都是锐角，故A不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故B符合题意；
C、同一平面内，若且，则，故C不符合题意；
D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D不符合题意；
故选：．
根据余角和补角，平行公理和推论，平行线的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了平行线的性质，余角和补角，平行公理和推论，熟练掌这些数学概念是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是一个动点，由向以匀速移动，
，
，
；
故选：．
根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式．
本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
第三项系数为，
故选：．
根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．
此题考查了完全平方公式，探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间时之间的关系式为．
故答案为．
根据蜡烛点燃后剩余的高度蜡烛的高度蜡烛燃烧的高度可列关系式．
本题主要考查函数关系式，找准等量关系是解题的关键，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

，
两直线平行，内错角相等，
对顶角相等，
，
．
故答案为：．
由两直线平行，内错角相等及三角形内角和作答．
本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先平方，再减，所得到的差除以即可．
解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
 

14.【答案】或 

【解析】解：是完全平方式，
，
，
或，
故答案为：或．
根据完全平方公式得出，代入求出即可．
本题主要考查对完全平方公式的理解和掌握，能根据已知得出是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
由题意得：，，，
，
，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质得到，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出．
本题考查轴对称的性质，平行线的性质，关键是掌握轴对称的性质．
 

16.【答案】解：

；
原式
；
原式

． 

【解析】直接根据乘方、零指数幂、绝对值的运算法则进行计算即可；
先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法运算法则计算即可；
利用平方差公式计算即可．
此题考查的是平方差公式、绝对值、积的乘方与幂的乘方、整式的乘法、零指数幂的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
当，时，
原式

． 

【解析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：由拼图可知，
图中的阴影正方形的边长可表示为，
故答案为：；
大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，个小长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
，
，
当，，
原式
．
根据拼图可得答案；
根据图形中各个部分面积之间的和差关系得出答案；
根据，整体代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 

19.【答案】刹车时车速  刹车距离     

【解析】解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
当刹车时车速为时，刹车距离是；
故答案为：；
由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加，
与之间的关系式为：，
故答案为：；
当时，，
，
，
答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
根据函数的定义解答即可；
根据表格数据可得答案；
根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案；
结合的结论得出可得车速为，进而得出答案．
本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
 

20.【答案】  两直线平行，内错角相等    两直线平行，同位角相等   

【解析】解：探究：如图，
因为，
所以两直线平行，内错角相等，
因为，
所以两直线平行，同位角相等，
所以等量代换，
因为，
所以．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；
应用：如图，
，，
，
，
，
．
探究：如图，根据平行线的性质求解即可；
应用：如图，根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：，，
，，
故答案为：；；
，
．
故答案为：；
设，，，
则，，，
，
，即．
根据规定的两数之间的运算法则解答；
根据积的乘方法则，结合定义计算．
本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：，
证明：过点作，

，
，
，，
，
故答案为：；
如图，作，，

，
，
，，，，

，
，
和的角平分线相交于，
，
；
【类比迁移】；
理由：如图，过作，过作，
，
，

，，
由知，
平分与的平分线相交于点，
，，
，，
，
即；
故答案为：；
【变式挑战】，理由如下：
如图，延长，，交于点，

同时平分和，
，，
，
，，
，
四边形中，

，
即．
故答案为：．
过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
如图，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
【类比迁移】如图，过作，过作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
【变式挑战】延长，，交于点，根据角平分线的定义和四边形的内角和定理，平角的定义即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．