2022-2023学年湖北省武汉市武珞路中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市武珞路中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若的三边分别为，，，下列给出的条件不能构成直角三角形的是(    )

A.  B. ，，
C. ：：：： D.

4.  下列各命题的逆命题不成立的是(    )

A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 如果两个角是直角，那么它们相等
C. 全等三角形的对应边相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的立方相等

5.  如图，有一个水池，水面是边长为尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是(    )

A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺

6.  已知，菱形的周长为，一条对角长为，则菱形的面积(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点在矩形边的延长线上，连接，，，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，中，平分，平分的外角，于，交于点，于，交的延长线于点，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，点在边上，点在内部，且是等边三角形，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______ ．

12.  在实数范围内分解因式：______．

13.  勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其弦是______结果用含的式子表示．

14.  在面积为的▱中，，过点分别作边、上的高、，垂足分别为、，则的值为______ ．

15.  如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：，，，其中正确的有______ 只填序号

16.  如图，在中，为上一点，连接，，，，则的面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

19.  本小题分
已知：如图，在▱中，点、在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，作平行四边形；点是边与网格线的交点，过点作直线平分四边形的周长；
在图中，是边上一点，在边上画点，使；
在图中，点在格点上，连接，，在上画点，使平分四边形的面积．
 

22.  本小题分
点是矩形的边上一动点，连接、，将、分别沿、翻折，得到、．
如图，交于点，交于，在的右侧，求证：；
如图，当、、共线时，称点为边上的“叠合点”．
在矩形中，，，点为边上的“叠合点”，求的长；
若在矩形中，，点是边上的“叠合点”，则 ______ ．
 

23.  本小题分
如图，是异于，的一点，在和中，，，，，、、三点不在一条直线上．
如图，连接并延长交于点．

证明：≌；
求证：；
如图，，，，的延长线交于点，则的长是______ ．

24.  本小题分
将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数，使式子成立．
求证：四边形是正方形；
如图，点的坐标是，过点向左侧作，与边交于点，过点作交于点，求线段的长；
如图，点、在对角线上，，点为的中点，直接写出四边形的周长的最小值是______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误；
B、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：．
根据二次根式的加减法法则判断各选项即可．
本题考查二次根式的加减法，属于基础题，比较容易解答，要注意对同类二次根式这一概念的熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、
，
能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、：：：：，，
，
不能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、，
，
能构成直角三角形，
故D不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，进行计算逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；
B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角是直角，那么这两个角相等，不成立，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，成立，不符合题意；
D、如果两个实数相等，那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，成立，不符合题意；
故选：．
根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、实数的立方的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握平行线的性质、全等三角形的判定定理、实数的立方的概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度尺，
答：芦苇长尺．
故选：．
找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，，
菱形的周长为，
，
四边形是菱形，
，
由勾股定理得，则，
所以菱形的面积．
故选B．
画出图形，可得边长，由于，由勾股定理可得及的值，再由菱形的面积等于两对角线的积的一半求得．
本题考查了菱形的性质，需要用到菱形的对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示，
四边形是矩形，
．
，
．
是等腰三角形．
，
，
．
，
故选：．
连接，根据已知条件可知，，则是等腰三角形，再根据，可求得的度数．
本题考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分．
 

8.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
同理≌，
，，
，，
，
，
故选：．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据完全平方公式变形，计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在的延长线上取点，使，
是等边三角形，
，，
，
，
又，
，
≌，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
故选：．
在的延长线上取点，使，由≌得，，，设，则，，由得，，求出，最后利用勾股定理求出．
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：
本题是实数范围内分解因式，把看成再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查实数范围内分解因式，把看成再利用平方差公式进行因式分解是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：为正整数，
为偶数，设其股是，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
弦为；
故答案为：．
根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
如图：

由平行四边形面积公式得：，
，，
，
，，
，
，
在的延长线上，
，，
即；
如图：

，，
，
，，
，
由知：，，
，
故答案为：或．
根据平行四边形面积求出和，有两种情况，求出、的值，求出和的值，相加即可得出答案．
本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，，
，，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
的中位线，
，
故正确；
作于，交延长线于，
，
，
，，
，
，
故错误；
作于，
，
，
，
的面积，
故正确，
故答案为：．
由平行四边形的性质，角平分线定义推出是等边三角形，得到，由，得到，因此，由三角形外角的性质即可求出，得到，由三角形中位线定理即可证明，由直角三角形的性质求出，的长，由勾股定理即可求出的长，由直角三角形的性质求出的长，即可求出的面积．
本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，综合应用以上知识点是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长，作于点，

，
，
，
作于点，
，
作，
，，
：：，
：：，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
延长，作于点，作，证出，根据角分线性质证出，再根据三角形面积比，得出：：，设，表示出和，根据勾股定理求出，再求出三角形面积即可．
本题考查了三角形面积的求法，角平分线及勾股定理的应用是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案；
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
本题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：，，
；
，




；
由知，；
，





． 

【解析】先求出与的值，把原式化为的形式，再代入进行计算即可；
先通分，再把中与的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

19.【答案】证明：连接，交于点．
四边形是平行四边形，是对角线、的交点．
．
又点、在对角线上，且，
，
即
四边形是平行四边形，
，
由得四边形是平行四边形． 

【解析】首先连接，交于点，进而得出，即可得出四边形是平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出，是解题关键．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，

，
，
． 

【解析】根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
关键菱形的性质得到，，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图中，直线即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求；
理由：由作图可知，
的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积四边形的面积．
 

【解析】取的中点，作直线即可；
构造等腰三角形，取的中点，连接，交于点，连接延长交于点，点即为所求；
取的中点，连接，，取格点，作直线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】证明：如图中，

四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
同法可证，
；
四边形是矩形，
，，，
设，则，
在中，，
在中，，
由折叠的性质可知，，，
，
在中，，
，
解得或，
的长为或，
当时，；
当时，；
综上所述，的长为或；
四边形是矩形，，
，，，
设，则，
在中，，
在中，，
由得，，
在中，，
，
解得或，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述，的值为．
故答案为：．
利用平行线的性质翻折变换的性质证明，，可得结论；
由矩形的性质得出，，，设，则，由勾股定理得出，求得或，则可求出答案；
设，则，由矩形的性质及勾股定理得出，求出或，则可求出答案．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】 

【解析】证明：如图，

，
，
，
在和中，
，
≌；
如图，过点作交延长线于点，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

解：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，

，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
由同理可证，≌，≌，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
利用“”即可证明≌；
过点作交延长线于点，利用“”证明≌，即可证明结论；
过点作交延长线于点，过点作交于点，根据等腰三角形的性质，得到，再根据直角三角形的性质，得到，进而得到，利用勾股定理求得，由同理可证，≌，≌，得到，，，然后证明是等边三角形，得到，最后求出，即可求出的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：，
，
，，
，，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；

解：，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；

解：取，的中点，，连接，，交于点，在上截取，连接．

，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，关于对称，
，
，
的最小值为，
四边形都是周长的最小值为．
故答案为：．
利用二次根式的性质判断出，的值，可得结论；
利用相似三角形的性质求出点的坐标，可得结论；
取，的中点，，连接，，交于点，在上截取，连接求出的最小值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．