贵州省2023届高三下学期3+3+3高考备考诊断性联考（三）数学（理）试卷（含答案）

贵州省2023届高三下学期3+3+3高考备考诊断性联考（三）数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、在复平面内, 敀数 z对应的点的坐标为, 则 (   )

A. B. C. D.

2、,, 则 (   )

A.   B.

C.   D.

3、2023 年 “三月三”期间, 广西交通部门统计了 2023 年 4 月 19 日至 4 月 25 日的高速公路车 流量 (单位：万车次), 并与 2022 年比较, 得到同比增长率（同比增长率）数据, 绘制了如图 所示的统计图, 则下列结论错误 去年同期车流是的是(   )

A. 2023 年 4 月 19 日至 4 月 25 日的高速公路车流量的极差为 23

B. 2023 年 4 月 19 日至 4 月 25 日的高速公路车流量的中位数为 17

C. 2023 年 4 月 19 日至 4 月 21 日的高速公路车流量的标准差小于 2023 年 4 月 23 日至 4月 25 日的高速公路车流量的标准差

D. 2022 年 4 月 23 日的离速公路车流量为 20 万车次

4、榫卯, 是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式, 是 在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 春秋时期著名 的工匠碍班运用津卯结构制作出了砶班锁, 且鲁班锁可拆解, 但是 要将它们拼接起来则需要较啇的空间思维能力和足㿟的耐心. 如图  甲, 六通鲁班锁是由六块长度大小一样, 中间各有着不同镂空的 长条形木块组装而成. 其主视图如图乙所示, 则其侧视图为(   )

A. B. C. D.

5、函数 在区间 的部分图象大致为(   )

A.  B.

C.  D.

6、若 在 和 处有极值, 则函数 的单调递增区间是(   )

A. B. C. D.

7、如图 , 在直三棱柱 中, , 则 ,与平面 所成 角的正弦值等于(   )

A. B. C. D.

8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 其中《方田》章给出 计算弧田面积所用的经验公式为: 弧田面积 (弦×矢＋矢2), 弧田 (如图 ）由圆弧和其所对弦所围成, 公式中 “弦”指圆弧所对弦长, “矢” 等于 半径长与圆心到弦的距离之差. 现已知弧田面积为, 且弦是矢的 倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是(   )

A. B. C. D.

9、已知椭圆, 直线 与椭圆交于A,B 两点, ,分别为椭圆的左、右 两个焦点, 直线 与椭圆交于另一个点D, 则直线AD 与BD 的斜率乘积为(   )

A. B. C. D.

10、已知一圆锥内接于球, 圆雉的表面积是其底面面积的 3 倍, 则圆雉与球的体积之比是(   )

A. B. C. D.

11、已知函数 若 在区间 内恰好有 4 个零点, 则a 的取值范围是(   )

A. B. C. D.

12、已知正实数a,b,c 分别满足,,, 其中 e是自然常数, 则 a,b,c的大 小关系为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、已知平面向量,, 若, 则实数m 的值为______.

14、从-3,-1,1,3  这四个数中随机选取两个数分别记为k,b, 则直线 不经过第二象 限的概率为_______.

15、已知圆C 的圆心为双曲线 T的一个焦点F, 半径为双曲线T 的实半轴长. 若圆 C与双曲线T 的一条渐近线l 交于点M,N, 且, 则双曲线T 的离心率为________.

16、已知 的三边长分别为a,b,c, 若, 则 的取值范围是_______.

三、解答题

17、设数列 的前n 项和为, 当 时, 有.

(1)求证: 数列 是等差数列;

(2)若,, 求 的最大值.

18、如图所示, 在四棱锥 中, 底面ABCD 为直角梯形,,,,,,.

(1) 求证: 平面 平面ABCD;

(2) 求平面ADE 与平面BCE 所成二面角的余弦值.

19、为了 “让广大青少年充分认识到烁品的危害性, 切实提升青少年识毒防霉拒毒意识”, 我市 组织开展青少年禁拝知识竞赛，团员小明每天自觉登录 “禁毒知识竟赛 APP”, 参加各种学 习活动, 同时热衷于参与四人赛. 每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛, 每题回答正 确得 20 分, 第 1 个达到 100 分的比赛者获得第 1 名, 赢得该局比赛, 该局比赛结束. 每天的 四人赛共有 20 局, 前 2 局是有效局, 根据得分情况获得相应名次, 从而得到相应的学习积 分, 第 1 局获得第 1 名的得 3 分, 获得第 2 、3 名的得 2 分, 获得第 4 名的得 1 分; 第 2 局获 得第 1 名的得 2 分, 获得第 2、3、4 名的得 1 分; 后 18 局是无效局, 无论获得什么名次, 均不能获得学习积分. 经统计, 小明每天在第 1 局四人赛中获得 3 分、2 分、1 分的概率分 别为,,, 在第 2 局四人赛中获得 2 分、 1 分的概率分别为,.

(1) 设小明每天获得的得分为X, 求X 的分布列和数学期望;

(2) 若小明每天赛完 20 局, 设小明在每局四人赛中获得第 1 名从而勍得该局比赛的概率为,每局是否赢得比赛相互独立、请问在每天的20局四人比赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

20、实数，，.

(1)讨论 的单调性并写出过程;

(2)求证:.

21、椭圆 的左、右焦点分别为 ，，P是 C上的一个动点 (不在 x轴上), 射线 ,分别与C 交于点A,B, 记 ,的周长分别为,, 已 知.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)记 ,,的面积分别为,,, 求证: 是定值.

22、在平面直角坐标系 xOy中, 曲线 的参数方程为 (为参数), 以坐标原点O 为 极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为, 其 中.

(1)求曲线 与曲线 的交点的极坐标;

(2)直线 与曲线 , 分别交于 M,N两点 (异于极点O),P 为 上的动 点, 求 面积的最大值.

23、已知关于x 的不等式 对任意实数x 恒成立.

(1) 求实数m 的取值范围;

(2)记实数 m的最小值为M, 若a,b 均为正实数, 且, 求证:.

参考答案

1、答案：B

解析：，故，故选B.

2、答案：D

解析：，故故选D.

3、答案：C

解析：对于A：由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为，故A正确；对于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，故B正确；对于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；对于D：2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得，故D正确，故选C.

4、答案：A

解析：观察主视图中的木条位置和木条的层次位置，分析可知侧视图是A，故选A.

5、答案：A

解析：因为，所以，即函数为偶函数，排除C，D；因为，所以排除B，故选A.

6、答案：C

解析：，由已知得

解得

由，得

故选C.

7、答案： C

解析：如图，

取的中点D，连接，AD，在正三棱柱中，底面是正三角形，.又底面，.又，平面，为与平面所成角.由题意，

设，，，

在中，，

故选C.

8、答案：D

解析：如图，

由题意可得， 弧田面积(弦×矢＋矢2)

，所以.

设圆半径为r，则有，即，

解得，故，在中，，所以，

所求弧长为，

故选D.

9、答案：B

解析：椭圆的方程为，直线过原点，

设，，，

又①，②，  

①−②得，，

，

故选B.

10、答案：B

解析：如图所示，

设圆锥的底面圆圆心为点D，延长AD与球面交于B.

设圆锥底面半径为r，母线为l，则，得，

圆锥的高,设求半径为R,则中，，

有，即，

故，

故选B.

11、答案：C

解析：当时，对任意，在内最多有1个零点，不符题意；所以，当时，由可得或，则在上，有一个零点，所以在内有3个零点，即在内有3个零点，因为，所以，，所以，解得，

综上所述，a的取值范围为，

故选C.

12、答案：A

解析：由题意得，而，，，

则,,构造函数,,

可知当时，单调递增；当时，单调递减，

故，，由于在处取得最大值，故不等关系显然成立，故选A.

13、答案：

解析：由题意，向量与垂直，则，解得.

14、答案：

解析：设为“的所有组合”，则，设事件A为“直线不经过第二象限”，则要求，所以，从而.

15、答案：

解析：依题意可设圆与双曲线的一条渐近线交于点M，N，由可知为直角三角形，所以圆C与渐近线相交所得弦长，由题可得双曲线的一条渐近线为，所以焦点F到渐近线l的距离为，所以，得，所以双曲线C的离心率.

16、答案：

解析：依正弦定理，由知角A是钝角，则，当时，令，

，当且仅当时，取“=”，

即，当时，；

当时，令，，

令，，，所以在上单调递增，所以，即，综上得，所以的取值范围是.

17、答案：(1)见解析

(2) 60

解析：（1）证明：因为当时，有①，

所以当时，②，

由①−②，整理可得，

所以数列是等差数列.  

（2）由（1）可知是等差数列，所以

可得 

所以数列的公差，

所以，

所以.

又，所以当或时，Sn取到最大值为60. 

18、答案： (1) 见解析

(2)

解析：（1）证明：为直角梯形，，.

又，，

平面

又平面，.

又，，

如图，作，，.

又，.

又，由勾股定理可知.

，平面ABCD.

平面ABE,平面平面ABCD.

（2）由（1）知平面BCE，，

平面BCE.

又，以为原点建立空间直角坐标系，

，，，

平面BCE，是平面BCE的一个法向量.

设为平面ADE的法向量，，,

令，.

设平面ADE与平面BCE所成的二面角为，且为锐角，

所以.

19、答案：(1)

(2) 小明赢得5局的比赛概率最大

解析：（1）记事件表示第一局获得i分，事件表示第二局获得i分，

这些事件相互独立，由条件知的可能值为5，4，3，2.

；

；

；

.

其分布列为

.

（2）设小明每天赢得的局数为，则，

于是.

根据条件得

由①得，得，

同理由②得，所以，

又因为，所以，

因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.

20、答案：(1)见解析

(2) 见解析

解析：（1）令，的定义域为.

.

①当时，时，，在上是增函数；

时，，在上是减函数；

时，，在上是增函数；

②当时，，

时，,在上是减函数；

时，在上是增函数；

③当时，,单调递增；

④当时，时，，在上是增函数，

时，，在上是减函数，

时，，是增函数.

（2）证明：由（1）得时，，在上是减函数，

即当时，，即，

即.令，，

求和即得.

21、答案：(1)

(2)见解析

解析：（1），

，

则，得，与联立解得，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）证明：设， ，，则，

可设直线PA的方程为，其中，

联立得，

则，

同理可得，.

因为

，

所以

所以是定值.

22、答案：(1) 和

(2)

解析：（1）的参数方程为（为参数），消去可得，

，所以曲线的直角坐标方程为.

将，代入得，曲线的极坐标方程为

的极坐标方程为，联立可得，

所以曲线和曲线的交点极坐标为和.

（2）当时，，，.

显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大，

直线MN的方程为，圆心到直线MN的距离为，

所以点P到直线MN的最大距离，

所以.

23、答案：(1)

(2)见解析

解析：（1）原不等式等价于，

解得  

（2）证明：由（1）知

当且仅当时等号成立.