山东师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月学业水平测试数学试卷（含答案）

山东师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月学业水平测试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知向量，，则向量的坐标为(   )

A. B. C. D.

2、等于(   )

A. B.1 C.0 D.

3、若,,则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4、下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是(   )

A. B. C. D.

5、已知向量,,若,则锐角α为(   )

A.30° B.60° C.45° D.75°

6、如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点.若,则的值为(   )

A. B. C. D.2

7、已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,若它的终边经过点,则(   )

A. B. C. D.

8、在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知向量,,,则的值可以是(   )

A. B. C.2 D.

10、将函数的图象向左平移个单位后得到的图象,则(   )

A.为偶函数  B.最小正周期为

C.在上单调递减 D.图象关于直线对称

11、下图是函数的部分图象,则(   )

A. B. C. D.

12、在中,D,E,F分别是边,,中点,下列说法正确的是(   )

A.

B.

C.若,则是在的投影向量

D.若点P是线段上的动点,且满足,则的最大值为

三、填空题

13、已知,,则线段的中点坐标为___________.

14、若，，与的夹角为60°，若，则m的值为________.

15、将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到的图象,则__________.

16、已知,,且在区间上有最小值,无最大值,则______.

四、解答题

17、已知两个非零向量,不共线.

(1)若,,,求证：A,B,D三点共线；

(2)若与共线,求实数k的值.

18、已知,向量.

(1)若向量,求向量的坐标；

(2)若向量与向量的夹角为120°,求.

19、已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）若α∈,且f(α)=,求

20、在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,,(且),D为AB的中点,E为的重心,F为的外心.

(1)求重心E的坐标；

(2)用向量法证明：.

21、如图,某公园摩天轮的半径为40m,圆心距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.

(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中,,,求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；

(2)当点P距离地面m及以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？

22、设,函数在上单调递减.

(1)求；

(2)若函数在区间上有且只有一个零点,求实数k的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：依题意得.

故选：D.

2、答案：C

解析：由两角和的余弦公式得：故选：C

3、答案：C

解析：因为,所以,,即.

故选：C.

4、答案：A

解析：A选项,的最小正周期为,

且当时,,故图象关于直线对称,A正确；

B选项,的最小正周期为,B错误；

C选项,当时,,故图象不关于直线对称,C错误；

D选项,当时,,故图象不关于直线对称,D错误.

故选：A.

5、答案：A

解析：因为,所以,.

又α为锐角,所以.

故选：A

6、答案：B

解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则,,,故,,解得,,所以.故选B.

7、答案：D

解析：依题意,角α的终边经过点,则,

于是,

所以.

故选：D.

8、答案：D

解析：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

9、答案：ABC

解析：解：因为,,所以,

则.

因为,所以,

故.结合选项可知选ABC.

故选：ABC.

10、答案：BC

解析：将函数的图象向左平移个单位后得到的图象,

则,

所以,函数是非奇非偶函数,该函数的最小正周期为,A错B对,

当时,,所以,函数在上单调递减,C对,

因为,所以,函数的图象不关于直线对称,D错.

故选：BC.

11、答案：AC

解析：由函数图像可知：,,则,

不妨令,当时,,

,解得：,

即函数的解析式为：,故A正确；

又,故B错误；

又,故C正确；

而,故D错误；

故选：AC.

12、答案：BCD

解析：如图所示：

对选项A,,故A错误.

对选项B,

,故B正确.

对选项C,,,分别表示平行于,,的单位向量,

由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.

因为,所以为的平分线,

又因为为的中线,所以,如图所示：

在的投影为,

所以是在的投影向量,故选项C正确.

对选项D,如图所示：

因为在上,即A,P,D三点共线,

设,.

又因为,所以.

因为,则,.

令,

当时,取得最大值为.故选项D正确.

故选：BCD

13、答案：

解析：设

因为,,

所以,即,

所以,所以,

∵,,则线段的中点坐标为,

故答案为：.

14、答案：

解析：，，与的夹角为60°，，

，

，

，

故答案为：.

15、答案：；

解析：函数图象上各点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,可得函数的图象,

再向右平移个单位长度得到,

,且

,,

.

故答案为：.

16、答案：

解析：依题意,当时,y有最小值,即,

则,所以.

因为在区间上有最小值,无最大值,所以,

即,令,得.

故答案为：

17、答案： （1）答案见解析

（2）

解析：（1）证明：根据条件可知,,所以,共线,

又因为,有公共点B,所以A,B,D三点共线.

（2）因为与共线,

所以存在,使得,

所以,解得或,

即.

18、答案：（1）或.

（2）

解析：（1）由,设,∴,

∵,∴,解得或

所以或.

（2）∵,,,

∴,

∴,∴.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）函数f(x)=

,

最小正周期为；

（2）α∈,,

由f(α)=,得,所以,

所以.

所以.

20、答案：（1）

（2）答案见解析

解析：（1）如图,

∵,,,

∴,则由重心坐标公式,得；

（2）.

易知的外心F在y轴上,可设为.

由,得,

∴,即.

∴.

∴,

∴,即.

21、答案： （1）70

（2）0.5

解析：（1）依题意,,,,则,

所以,

由可得,,,

因为,所以.

故在时刻t时点P距离地面的离度.

因此,

故2023min时点P距离地面的高度为70m.

（2）由（1）知,其中.

依题意,令,

即,所以,

解得,

则,

由,

可知转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌.

22、答案： （1）2

（2）

解析：（1）解：因为,在上单调递减,

所以,解得.

又,且,

解得.

综上,.

（2）解：由（1）知,所以.

由于函数在区间上有且只有一个零点,等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点.

①当即时,函数单调递增,,于是有,

解得；

②当即时,函数先增后减有最大值,

于是有即,解得.

故k的取值范围为.