北京市人大附中朝阳分校东坝校区2022-2023学年八年级下学期限时作业数学试卷（3月份+）（含答案）

这是一份北京市人大附中朝阳分校东坝校区2022-2023学年八年级下学期限时作业数学试卷（3月份+）（含答案），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市人大附中朝阳分校东坝校区八年级（下）限时作业数学试卷（3月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到斜边AB的距离是（　　）
A． B． C．9 D．6
2．最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（　　）
A． B． C．a＝1 D．a＝﹣1
3．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A、B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴的正半轴上的点D处，则点C的对应点C'的坐标为（　　）

A． B．（2，1） C． D．（2，5）
4．在二次根式，，，中，最简二次根式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB＝6，AD＝8，∠BEF＝90°，且BE＝EF，点M为BF的中点，则ME的长为（　　）

A． B． C． D．
6．若，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．一切实数
7．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．2
8．估计的值在（　　）
A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间
9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（　　）

A． B．3 C．2 D．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别为AD，BC上一点，且AE＝BF＝7，连接EF交对角线BD于点G，点P，Q分别为CE，BG的中点，则PQ的长为（　　）

A．6 B．4 C． D．
二、填空题（每题2分，共20分）
11．在平行四边形ABCD中，如果∠A＝57°，那么∠C的度数是 　 　．
12．要使代数式有意义，则x的取值范围为 　 　．
13．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，E为BC上一点，ED平分∠AEC，，则AD的长为 　 　．

14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝　 　．

15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　 　．

16．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　 　．

17．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　 　．

18．已知，且0＜x＜1，则＝　 　．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 　．

20．四个全等的直角三角形按图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为9的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 　 　．

三、解答题（21题每题4分，22-24每题4分，25-26每题5分，27题6分，28-29每题7分，共50分）
21．计算：
（1）；
（2）．
22．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE＝BF，连接AE，CF，若四边形AECF是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．

23．已知：如图1，△ABC，求作：平行四边形ABCD作法：
①在AC边上任取点E，连接BE，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交线段AC于点F；
②分别以点F，C为圆心，BE，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，使点B和点D在AC的两旁；
③连接AD，DC．
四边形ABCD即为所求．
（1）根据题意，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接DF，
∵AE＝CF，AB＝CD，EB＝FD，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
∴　 　．
∴AB∥CD（ 　 　）（填推理的依据）．
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形（ 　 　）（填推理的依据）．

24．先化简，再求值：，其中，．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，CF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）求DE的长．

26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求四边形DBCF的面积．

27．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|．如何将双重二次根式化简？我们可以把5±2转化为（）2±2＝（）2完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（）的“横负纵变点”为 　 　，点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为 　 　；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（﹣，m）且m＝（），点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
28．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点．过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．

（1）如图1，连AO、MO，试证明∠AOM＝90°；
（2）如图2，连接AM、AO，并延长AO交对角线BD于点N，试探究线段DM、MN、NB之间的数量关系并证明；
（3）如图3，延长对角线BD至Q延长DB至P，连CP，CQ．若PB＝2，PQ＝9，且∠PCQ＝135°，则PC＝　 　．（直接写出结果）
29．对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作d（M，N）．
在▱ABCD中，点A（4，8），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣8），D（4，0），如图1．
（1）直接写出d（点O，▱ABCD）＝　 　；
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点P，▱ABCD）＝4，求点P坐标；
（3）已知点E（a，﹣a），F（a+2，﹣a），G（a+1，﹣a﹣1），H（a+3，﹣a﹣1），顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W（包括边界）．
①当a＝﹣1时，在图2中画出图形W，直接写出d（W，▱ABCD）的值；
②若0≤d（W，▱ABCD）＜1，直接写出a的取值范围．



参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到斜边AB的距离是（　　）
A． B． C．9 D．6
【分析】利用勾股定理求出AB的长，等积法求出点C到斜边AB的距离即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
设点C到斜边AB的距离是h，
则：，即：3×4＝5h，
∴；
∴点C到斜边AB的距离是；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，等积法求线段的长度．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
2．最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（　　）
A． B． C．a＝1 D．a＝﹣1
【分析】最简二次根式是被开方数中不含开得尽方的因数或因式，被开方数相同，令被开方数相等，列方程求a．
解：∵最简二次根式的被开方数相同，
∴1+a＝4﹣2a，
解得a＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查最简二次根式的知识点，关键是理解概念，比较简单．
3．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A、B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴的正半轴上的点D处，则点C的对应点C'的坐标为（　　）

A． B．（2，1） C． D．（2，5）
【分析】由题意得：AD＝AD'＝2，AO＝1，AB＝2，根据勾股定理得到，即可得到结果．
解：∵AD＝AD'＝2，AO＝1，AB＝2，
∴，
∴，
∵CD∥C'D'，CD＝C'D'＝2，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，涉及到正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
4．在二次根式，，，中，最简二次根式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5．如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB＝6，AD＝8，∠BEF＝90°，且BE＝EF，点M为BF的中点，则ME的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】证明△ABE≌△DEF，得出CF＝4，勾股定理得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
又∠BEF＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BEA＝∠FED，
又BE＝EF，
∴△ABE≌△DEF（AAS），
∴ED＝AB＝6，
∵AD＝8，
∴DF＝AE＝2，
∴CF＝4，
在Rt△BCF中，，
∵点M为BF的中点，∠BEF＝90°，
∴ME＝，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出是解题的关键．
6．若，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．一切实数
【分析】直接利用二次根式的性质得出的符号，进而得出答案．
解：若，
则，
解得：．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式化简结果的符号是解题的关键．
7．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．2
【分析】过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，由△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，可得EM＝BE，当AE+BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+BE的最小值为AH的长度，在Rt△ABH中，有AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°＝，故AE+BE最小值为．
解：过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，如图：

∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠EBM＝30°，
∴EM＝BE，
∴AE+BE＝AE+EM，
当AE+BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+BE的最小值为AH的长度，
在Rt△ABH中，
AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°＝，
∴AE+BE最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．
8．估计的值在（　　）
A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间
【分析】先运用二次根式混合运算法则计算，得，再根据，得出，即可得出答案．
解：＝＝，
∵，
∴，
即，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（　　）

A． B．3 C．2 D．
【分析】过点A作AG⊥BC,垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H,根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案．
解：过点A作AG⊥BC,垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H,
∵AB＝BC＝5,
∴AH＝CH＝＝,
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2,
BH2+()2＝52,
解得BH＝，
S△ABC＝,
,
解得：AG＝3,
在Rt△ACG中，
CG2+AG2＝AC2,
CG2+33＝(2,
解得:CG＝1,
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG,
∵DE⊥AB,
∴∠AGD＝∠AFD＝90°,
∴△AGD≌△AFD(AAS),
∴AF＝AG＝3,BF＝AB﹣AF＝2,
设GD＝x，
则DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2,
x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝CD＝,BD＝BC﹣CD＝,
设点E到BC的距离为d，
S，
，
解得d＝2．
所以点E到BC的距离为2．
故选：C．

【点评】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别为AD，BC上一点，且AE＝BF＝7，连接EF交对角线BD于点G，点P，Q分别为CE，BG的中点，则PQ的长为（　　）

A．6 B．4 C． D．
【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，根据正方形ABCD中，AB＝12，AE＝BF＝7，可得E（0，7），D（0，12），C（12，12），F（12，7），B（12，0），即得直线BD解析式为y＝﹣x+12，求出G（5，7），Q（，），P（6，），由两点间距离公式可得答案．
解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：

∵正方形ABCD中，AB＝12，AE＝BF＝7，
∴E（0，7），D（0，12），C（12，12），F（12，7），B（12，0），
由D（0，12），B（12，0）得直线BD解析式为y＝﹣x+12，
在y＝﹣x+12中，令y＝7得x＝5，
∴G（5，7），
∵Q为BG的中点，
∴Q（，），
∵P为CE的中点，
∴P（6，），
∴PQ＝＝，
故选：D．

【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点的坐标．
二、填空题（每题2分，共20分）
11．在平行四边形ABCD中，如果∠A＝57°，那么∠C的度数是 　57°　．
【分析】根据平行四边形的性质直接解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝57°，
故答案为：57°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
12．要使代数式有意义，则x的取值范围为 　x＞4　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x﹣4＞0，
解得：x＞4，
故答案为：x＞4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
13．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，E为BC上一点，ED平分∠AEC，，则AD的长为 　5　．

【分析】根据勾股定理求出EC＝1，再证明AD＝AE，根据勾股定理列出方程求解即可．
解：∵矩形纸片ABCD，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD∥CB，
∵，
∴，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∵∠ADE＝∠CED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AD2＝AB2+BE2，
∴AD2＝32+（AD﹣1）2，
∴AD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据题意得出AD＝AE，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝　2a+2　．

【分析】依据数轴即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a+b＞0，即可化简|a+1|﹣+．
解：由题可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a+b＞0，
∴|a+1|﹣+
＝|a+1|﹣|b﹣1|+|a+b|
＝a+1﹣（b﹣1）+（a+b）
＝a+1﹣b+1+a+b
＝2a+2，
故答案为：2a+2．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　　．

【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据等面积法即可求得OE的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
16．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　5+5　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FD，根据直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝5，
∴AE＝＝＝5，
∴△DEF周长＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+5，
故答案为：5+5．
【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
17．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　12　．

【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
解：如图，延长BE交AD于点F，

∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，
∵∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
18．已知，且0＜x＜1，则＝　　．
【分析】先把已知条件两边平方，再利用完全平方公式计算出（x﹣）2＝45，由于0＜x＜1，所以x﹣＝﹣3，利用倒数法，计算＝（x+9﹣）＝，则原式＝，然后化简二次根式．
解：∵，
∴，
∴，
∴（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝49﹣4＝45，
∵0＜x＜1，
∴x﹣＝﹣＝﹣3，
∴＝（x+9﹣）＝（9﹣3）＝，
∴原式＝＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　　．

【分析】解法一：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，由已知可得E（4，﹣2），F（2，3），又G为EF的中点，得G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，可得y＝﹣x，从而H（2，﹣1），GH＝＝．
解法二：连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，易证△OHM≌△EHC，然后结合三角形中位线定理和勾股定理求解．
解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，
∴E（4，﹣2），F（2，3），
∵G为EF的中点，
∴G（3，），
设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：
﹣2＝4k，解得k＝﹣，
∴直线OE解析式为y＝﹣x，
令x＝2得y＝﹣1，
∴H（2，﹣1），
∴GH＝＝，
方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，

∵O为正方形对角线AC和BD的交点，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，
∴点H、点G分别为OE、FE的中点，
∴GH为△OEF的中位线，
∴GH＝OF，
在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，
∴GH＝OF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出G和H的坐标．
20．四个全等的直角三角形按图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为9的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 　81　．

【分析】设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．
解：设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积为：4a2+b2，
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2EF，
∴2a＝2b
∴a＝b，
∵正方形EFGH的面积为9，
∴b2＝9，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝81，
故答案为：81．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（21题每题4分，22-24每题4分，25-26每题5分，27题6分，28-29每题7分，共50分）
21．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
22．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE＝BF，连接AE，CF，若四边形AECF是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】由平行四边形的性质得AF∥CE，AF＝CE，则AB∥CD，再证AB＝CD，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，AF＝CE，
∴AB∥CD，
∵DE＝BF，
∴AF+BF＝CE+DE，
即AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出AB＝CD是解题的关键．
23．已知：如图1，△ABC，求作：平行四边形ABCD作法：
①在AC边上任取点E，连接BE，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交线段AC于点F；
②分别以点F，C为圆心，BE，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，使点B和点D在AC的两旁；
③连接AD，DC．
四边形ABCD即为所求．
（1）根据题意，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接DF，
∵AE＝CF，AB＝CD，EB＝FD，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
∴　∠BAE＝∠CDF　．
∴AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　）（填推理的依据）．
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形（ 　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）．

【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法即可完成证明．
解：（1）如图2，即为补全的图形；

（2）证明：连接DF，
∵AE＝CF，AB＝CD，EB＝FD，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
∴∠BAE＝∠CDF．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：∠BAE＝∠CDF；内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24．先化简，再求值：，其中，．
【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出xy＝4，代入求解即可．
解：
＝
＝，
∵，y＝，
∴，
∴原式＝．
【点评】本题考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，CF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）求DE的长．

【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC＝∠FEC＝90°，根据全等三角形的性质得到CF＝CD，推出四边形ABFC是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据全等三角形的性质得到AH＝DE，根据三角形的面积公式得到AH＝＝＝4.8．于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠FEC＝90°，
在△DEC与△FEC中，
，
∴△DEC≌△FEC（SAS），
∴CF＝CD，
∵AB＝CD，
∴CF＝AB，
同理，BF＝AC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AB＝6，BC＝10，AC＝8，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝∠DEC＝90°，
在△ABH与△DCE中，
，
∴△ABH≌△DCE（AAS），
∴AH＝DE，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AH，
∴AH＝＝＝4.8．
∴DE＝AH＝4.8．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得△ABH≌△DCE是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求四边形DBCF的面积．

【分析】（1）根据“AAS”证明△CEF≌△DEB，得出CF＝BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据直角三角形中30°角作对的直角边等于斜边的一半，求出AB＝8，根据勾股定理求出，再求出，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
【解答】（1）证明：∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
∵CF∥BD，
∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，
∴△CEF≌△DEB（ASA），
∴CF＝BD，
∵CF∥BD，
∴四边形DBCF为平行四边形；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8，
∴，
∵∠AHC＝90°，∠A＝30°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
27．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|．如何将双重二次根式化简？我们可以把5±2转化为（）2±2＝（）2完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（）的“横负纵变点”为 　（，﹣）　，点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为 　（﹣3，2）　；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（﹣，m）且m＝（），点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
（2）模仿例题解决问题即可．
（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．
解：（1）∵0，
∴点（，﹣）的“横负纵变点”为（，﹣），
∵﹣3＜0，
∴点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为（﹣3，2）．
故答案为：（，﹣），（﹣3，2）；
（2）原式＝
＝
＝+；
（3）∵1≤a≤2，
∴0≤a﹣1≤1，
∴0≤≤1，
∴﹣1≤0．
∴m＝（+）
＝（||+||）
＝（）
＝×2
＝，
∴M（﹣，），
∵﹣＜0，
∴M′（﹣，﹣）．
【点评】本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
28．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点．过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．

（1）如图1，连AO、MO，试证明∠AOM＝90°；
（2）如图2，连接AM、AO，并延长AO交对角线BD于点N，试探究线段DM、MN、NB之间的数量关系并证明；
（3）如图3，延长对角线BD至Q延长DB至P，连CP，CQ．若PB＝2，PQ＝9，且∠PCQ＝135°，则PC＝　3　．（直接写出结果）
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形及ME⊥BD得∠BAE＝∠BME＝90°，点O是BE的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OA＝OB，OM＝OB，可得∠AOE＝2∠OBA，∠MOE＝2∠OBM，则∠AOM＝2∠ABD＝90°；
（2）过点E作EF∥BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，先证明EM＝DM，MF＝MN，FE＝NB，再证明EM2+FE2＝MF2，通过等量代换证得结论；
（3）作点P关于直线CQ的对称点E，连结EQ、EC、EB、EP，将PQ转化为EQ，再证明△ECB≌△PCD，这样又将PD转化为EB，可证明∠QBE＝90°，根据勾股定理求出EB的长即为PD的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°；
∵ME⊥BD，
∴∠BME＝90°；
∵点O是BE中点，
∴AO＝BE＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA；
同理，∠MOE＝2∠OBM，
∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2（∠OBA+∠OBM）＝2∠ABD＝90°；

（2）解：结论：DM2+NB2＝MN2，理由如下：
如图2，作EF∥BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，
∵∠OEF＝∠OBN，OE＝OB，∠EOF＝∠BON，
∴△EOF≌△BON（ASA），
∴FE＝NB，OF＝ON，
∵OM⊥FN，
∴MF＝MN；
∵∠DME＝90°，∠MDE＝45°，
∴∠MED＝45°，
∴∠MDE＝∠MED，
∴EM＝DM；
∵∠MEF＝∠DME＝90°，
∴EM2+FE2＝MF2，
∴DM2+NB2＝MN2；

（3）解：如图3，作点P关于直线CQ的对称点E，连结EQ、EC、EB、EP，
∵CQ垂直平分PE，
∴EQ＝PQ＝9，EC＝PC，
∵CQ＝CQ，
∴△ECQ≌△PC（SSS），
∴∠ECQ＝∠PCQ＝135°，
∴∠PCE＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠ECB＝∠PCE＝90°+∠PCB，
∵BC＝DC，
∴△ECB≌△PCD（SAS），
∴EB＝PD，∠BEC＝∠DPC，
∴∠BPE+∠PEB＝∠DPC+∠PEB+∠CPE＝∠BEC+∠PEB+∠CPE＝∠CEP+∠CPE＝90°，
∴∠PBE＝90°，
∴∠QBE＝180°﹣∠PBE＝90°，
∵PB＝2，PQ＝9，
∴BQ＝9﹣2＝7，
∴PD＝EB＝＝＝4，
∴PE＝＝＝6，
∴PC＝PE＝3．
故答案为：3．



【点评】此题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的性质以及勾股定理、轴对称的特征等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，用好转化思想，此题难度较大，属于考试压轴题．
29．对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作d（M，N）．
在▱ABCD中，点A（4，8），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣8），D（4，0），如图1．
（1）直接写出d（点O，▱ABCD）＝　2　；
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点P，▱ABCD）＝4，求点P坐标；
（3）已知点E（a，﹣a），F（a+2，﹣a），G（a+1，﹣a﹣1），H（a+3，﹣a﹣1），顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W（包括边界）．
①当a＝﹣1时，在图2中画出图形W，直接写出d（W，▱ABCD）的值；
②若0≤d（W，▱ABCD）＜1，直接写出a的取值范围．

【分析】（1）如图1中，过点O作OT⊥AB于点T，求出OT的值，可得结论；
（2）如图1中，过点P作PH⊥AB于点H，设AB交y轴于点Q．求出PQ，可得结论；
（3）①如图2中，过点H作HJ⊥CD于点J，延长OE交AB于点K．求出EK，HJ的值，可得结论；
②如图2﹣1中，由题意点E，G值直线y＝﹣x上运动，点FH，在直线y＝﹣x+2上运动，求出四种特殊情形a的值，可得结论．
解：（1）如图1中，过点O作OT⊥AB于点T，

∵A（4，8），B（﹣4，0），
∴OB＝OD＝4，AD＝8，
∴AD＝DB＝8，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∵OT⊥BT，
∴OT＝BT＝2，
∴d（点O，▱ABCD）＝2，
故答案为：2；

（2）如图1中，过点P作PH⊥AB于点H，设AB交y轴于点Q．
∵d（点P，▱ABCD）＝4，
∴PH＝4，
∵∠PQH＝∠BQO＝45°，
∴PH＝HQ＝4，
∴PQ＝＝4，
∵OB＝OQ＝4，
∴OP＝OQ+QP＝4+4，
∴P（0，4+4）；

（3）①如图2中，过点H作HJ⊥CD于点J，延长OE交AB于点K．

∵E（﹣1，1），
∴∠EOB＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BKO＝90°，
∵OK＝2，OE＝，
∴EK＝OK﹣OE＝，
在Rt△DJH中，DH＝2，∠JDH＝45°，
∴HJ＝DJ＝，
∴EK＝HJ＝，
∴d（W，▱ABCD）＝；
②如图2﹣1中，由题意点E，G值直线y＝﹣x上运动，点FH，在直线y＝﹣x+2上运动，

当点H在AB的上方且到直线AB的距离为1时，H（﹣﹣1，3+），此时a＝﹣4，
当点E在直线AB的下方，且到直线AB 距离为1时，E（﹣2，2﹣），此时a＝﹣2，
当点H在CD的上方且到直线CD的距离为1时，H（2+，﹣1），此时a＝﹣1，
当点E在直线CD的下方，且到直线CD距离为1时，E（+2，﹣2﹣），此时a＝+2，
观察图象可知，满足条件的a的值为：﹣4＜a＜﹣2或﹣1＜a＜+2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．