2022-2023学年人教版八年级数学期末模拟题（一）

这是一份2022-2023学年人教版八年级数学期末模拟题（一），共28页。试卷主要包含了下列计算，结果正确的是，下列性质中，矩形不一定具有的是，若一次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版八年级数学期末模拟题（一）
一．选择题（共10小题）
1．下列计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　）

A． B．2 C． D．3
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．20 B．21 C．22 D．23
4．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（　　）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
5．下列性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直
6．若一次函数y＝（m﹣2）x﹣2的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜2 D．m＞2
7．如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，且直线l过点（﹣2，0），则下列结论错误的是（　　）

A．kb＞0
B．直线l过坐标为（1，3k）的点
C．若点（﹣16，m），（﹣18，n）在直线l上，则n＞m
D．
8．古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记p＝，三角形的面积为s＝，如图，请你利用海伦公式计算△ABC的面积为（　　）

A． B．5 C． D．3
9．已知A，B两地间有汽车站C，客车由A地驶向C站，货车由B地经过C站去A地（客货车在A，C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶（中间不停留），货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系图象，小明由图象信息得出如下结论：
①货车速度为60千米/时；
②B、C两地相距120千米；
③货车由B地到A地用12小时；
④客车行驶240千米时与货车相遇．
你认为正确的结论有（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF； ③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二．填空题（共5小题）
11．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25cm，底边BC的长48cm，那么衣架的高AD＝　 　cm．

12．甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是112分，方差＝2.2，＝6.6，＝7.4，＝10.8，则这四名学生的数学成绩最稳定的是 　 　．
13．如图，在正方形ABCD的外面分别作Rt△ABE和Rt△BEF，其中∠AEB＝∠EFB＝90°，∠BEF＝∠BAE＝30°，BF＝3，则正方形ABCD的面积是 　 　．

14．点P1（3，y1），P2（4，y2）在一次函数y＝8x﹣1的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
15．如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4，BF＝10，则下列结论：
①△AFD≌△AEB；
②EB⊥ED；
③点B到直线AE的距离为3；
④S△ABF+S△ADF＝40．
其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号）

三．解答题（共8小题）
16．（1）；
（2）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；
（2）当∠ABC＝　 　°时，四边形ADCE为正方形．

18．数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．

19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的长．

20．为了加强心理健康教育，某校组织八年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）请确定下表中a，b，c的值：
统计量
平均数
众数
中位数
（1）班
8
8
c
（2）班
a
b
8
a＝　 　分，b＝　 　分，c＝　 　分；
（2）根据上表中各种统计量，说明哪个班的成绩更突出一些．

21．如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）求x≥4时，y与x之间的函数关系；
（2）请你帮欣欣妈妈计算：一次性购买6千克这种水果比平均分2次购买可节省多少元？

22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．
（1）求证：CE＝DF；
（2）连接DE、EF，求证：四边形CDEF为矩形；
（3）△ABC满足什么条件时，四边形CDEF为正方形，并证明．

23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△ACD的面积为3.6，求直线CD的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年人教版八年级数学期末模拟题（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式相关运算的法则是关键．
2．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×10＝5，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣20＝5，
∵a﹣b＞0，
∴a﹣b＝．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．20 B．21 C．22 D．23
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，AC＝12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，
∵AB⊥AC，AB＝8，
∴OB＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．
4．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（　　）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．
【解答】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，
故应该关注该校所有女生身高的众数，
故选：B．
【点评】本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量．
5．下列性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直
【分析】根据矩形的性质判断即可．
【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，邻边互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴矩形不一定具有的是对角线互相垂直，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解题的关键．
6．若一次函数y＝（m﹣2）x﹣2的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜2 D．m＞2
【分析】要使函数值y随x的增大而增大可以得到m﹣2＞0，由此可以求出m的取值范围．
【解答】解：要使函数值y随x的增大而增大，
则m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，且直线l过点（﹣2，0），则下列结论错误的是（　　）

A．kb＞0
B．直线l过坐标为（1，3k）的点
C．若点（﹣16，m），（﹣18，n）在直线l上，则n＞m
D．
【分析】根据函数图象可知k＜0，b＜0，即得出kb＞0，可判断A；将点（﹣2，0）代入y＝kx+b，即得出b＝2k，即直线l的解析式为y＝kx+2k，由当x＝1时，y＝k+2k＝3k，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出n＞m，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当x＝﹣2时，y＝0，即得出当时，y＞0，从而可判断D．
【解答】解：∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0，故A正确，不符合题意；
将点（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：0＝﹣2k+b，
∴b＝2k，
∴直线l的解析式为y＝kx+2k，
当x＝1时，y＝k+2k＝3k，
∴直线l过坐标为（1，3k）的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵﹣16＞﹣18，
∴n＞m，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当x＝﹣2时，y＝0，
∴当时，y＞0，即，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出k＜0，b＜0，y的值随x的增大而减小是解题关键．
8．古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记p＝，三角形的面积为s＝，如图，请你利用海伦公式计算△ABC的面积为（　　）

A． B．5 C． D．3
【分析】根据题中的公式，代入计算求值．
【解答】解：p＝＝7.5，
△ABC的面积为：＝，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的计算是解题的关键．
9．已知A，B两地间有汽车站C，客车由A地驶向C站，货车由B地经过C站去A地（客货车在A，C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶（中间不停留），货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系图象，小明由图象信息得出如下结论：
①货车速度为60千米/时；
②B、C两地相距120千米；
③货车由B地到A地用12小时；
④客车行驶240千米时与货车相遇．
你认为正确的结论有（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据客车和货车的行驶方向判断出它们分别对应的函数图象，由速度＝路程÷时间，再结合货车的速度是客车速度的即可判断①；根据路程＝速度×时间求出B、C两地间的距离，可判断②；先求出A、B两地之间的距离，再由时间＝路程÷速度即可判断③；设两车a小时后相遇，根据货车行驶的路程+客车行驶的路程＝A、B两地之间的距离列出方程，求解即可判断④．
【解答】解：由题意得，客车由A地驶向C站共需9小时，行驶路程为720千米，
∴客车的速度为＝80（千米/小时），
∵货车的速度是客车速度的，
∴货车的速度为＝60（千米/小时），故①正确；
由图象可知，货车由B地驶向C站花费了2小时，
∴B、C两地间的距离为60×2＝120（千米），故②正确；
由题意可知，A、C两地之间的距离为720千米，
∴A、B两地之间的距离为720+120＝840千米，
∴货车由B地驶向A地所需时间为＝14（小时），故③错误；
设两车a小时后相遇，
由题意得：（80+60）x＝840，
解得：x＝6，
此时，客车行驶的路程为80×6＝480（千米），故④错误．
综上，正确的结论有①②，共2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，主要利用路程、速度和时间三者之间的关系，从图象上准确获取信息，并判断出客车、货车分别对应的函数图象是解题关键．
10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF； ③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】根据正方形的性质可得∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，然后求出AF＝DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF＝∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO＝90°，再得到∠AOB＝90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO＝OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB＝BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE＞BC，即BE＞AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF＝S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，如图，连接BE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．

【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．
二．填空题（共5小题）
11．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25cm，底边BC的长48cm，那么衣架的高AD＝　7　cm．

【分析】由等腰三角形的性质知：BD＝CD＝BC．所以在直角△ABD中，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝25cm，底边BC的长48cm，
∴BD＝CD＝BC＝24cm．
在直角△ABD中，由勾股定理知：AD＝＝＝7（cm）．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
12．甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是112分，方差＝2.2，＝6.6，＝7.4，＝10.8，则这四名学生的数学成绩最稳定的是 　甲　．
【分析】根据方差的定义求解可得．
【解答】解：甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是112分，方差＝2.2，＝6.6，＝7.4，＝10.8，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．如图，在正方形ABCD的外面分别作Rt△ABE和Rt△BEF，其中∠AEB＝∠EFB＝90°，∠BEF＝∠BAE＝30°，BF＝3，则正方形ABCD的面积是 　144　．

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得AB＝2BE＝12，进而可以解决问题．
【解答】解：∵∠EFB＝90°，∠BEF＝30°，BF＝3，
∴BE＝2BF＝6，
∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE＝12，
∴正方形ABCD的面积＝122＝144．
故答案为：144．
【点评】本题考查了正方形的性质，含30度角的直角三角形，掌握正方形的性质是解决本题的关键．
14．点P1（3，y1），P2（4，y2）在一次函数y＝8x﹣1的图象上，则y1　＜　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】判断出一次函数的增减性即可得到答案．
【解答】解：∵一次函数解析式为y＝8x﹣1，k＝8＞0，
∴对于一次函数y＝8x﹣1而言，y随x增大而增大，
∵P1（3，y1），P2（4，y2）在一次函数y＝8x﹣1的图象上，3＜4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．
15．如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4，BF＝10，则下列结论：
①△AFD≌△AEB；
②EB⊥ED；
③点B到直线AE的距离为3；
④S△ABF+S△ADF＝40．
其中正确的结论是 　①②③④　．（填写所有正确结论的序号）

【分析】利用正方形和AF⊥AE，证得∠BAE＝∠DAF，利用SAS即可证△AFD≌△AEB，得到∠AFD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，即可证得EB⊥ED，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用勾股定理求得FE、BE，结合△AEP是等腰直角三角形，得到BF＝EF，再利用勾股定理可求BF，连接BD，求出△BDF的面积，即可求得S△ABF+S△ADF面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝∠BAE+∠BAF＝90°，
∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
又∵AE＝AF，
∴△AFD≌△AEB（SAS），故①正确；
∴∠AFD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEF+∠BEF，∠AFD＝∠AEF+∠FAE，
∴∠BEF＝∠FAE＝90°，即EB⊥ED，故②正确；
过点B作BP⊥AE，交AE的延长线于P，则BF的长即点B到直线AE的距离，
∵AE＝AF＝4，∠FAE＝90°，
∴FE＝8，∠AEF＝∠AFE＝45°，
在Rt△BEF中，FB＝10，FE＝8，
∴BE＝6，
∵EB⊥ED，BP⊥AP，
∴∠EPB＝∠PBE＝45°，
∴BP＝EP＝3，
故③正确；
连接BD，
S△AFD+S△AFB＝S△AEB+S△AFB＝S△AEF+S△BEF＝×4×4+×6×8＝40，
故④正确；
综上，正确结论的序号是①②③④，
故答案为：①②③④．



【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
三．解答题（共8小题）
16．（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）先把每一个二根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝2﹣﹣
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；
（2）当∠ABC＝　45　°时，四边形ADCE为正方形．

【分析】（1）根据平行可以证明四边形ADCE是平行四边形，由直角三角形的性质可求得AE＝EC，进而得出四边形ADCE为菱形；
（2）根据题意可知当四边形ADCE为正方形时，等腰直角三角形的三线合一性即可求得∠ABC．
【解答】解：（1）四边形ADCE为菱形，理由如下：
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ADCE为菱形；
（2）若四边形ADCE为正方形，
∴CD⊥AB，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴Rt△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了菱形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．
18．数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．

【分析】设旗杆AB的长为xm，根据∠ABD＝90°，BD＝6，AD＝x+2，运用勾股定理得到x2+62＝（x+2）2，解方程即得．
【解答】解：设旗杆AB的长为xm．
根据题意，得∠ABD＝90°，BD＝6m，AD＝（x+2）m．
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2．
∴x2+62＝（x+2）2．
解方程，得x＝8．
答：旗杆AB的长为8m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的长．

【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）由（1）知OD＝CE＝BD＝3，然后由矩形的性质得∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
DO＝OB＝BD＝3，
由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝3，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝，
即AE的长为．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．
20．为了加强心理健康教育，某校组织八年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）请确定下表中a，b，c的值：
统计量
平均数
众数
中位数
（1）班
8
8
c
（2）班
a
b
8
a＝　8　分，b＝　9　分，c＝　8　分；
（2）根据上表中各种统计量，说明哪个班的成绩更突出一些．

【分析】（1）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（2）根据平均数、中位数及众数进行判断即可．
【解答】解：（1）由题意知，（2）班（10分）的人数为50×（1﹣14%﹣24%﹣22%﹣28%）＝6（人），
∴；
（2）班（9分）出现的最多，则（2）班的众数是（9分），即b＝9，
把（1）班的成绩从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则（1）的中位数是（分），即c＝8．
故答案为：8，9，8；
（2）根据表格可知，两个班级平均数与中位数相等，但（2）班的众数比（1）班大，所以（2）班的成绩更突出一些．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
21．如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）求x≥4时，y与x之间的函数关系；
（2）请你帮欣欣妈妈计算：一次性购买6千克这种水果比平均分2次购买可节省多少元？

【分析】（1）根据图象可知，图象经过（4，20），（10，44）两点，设函数解析式为：y＝kx+b，将两点代入函数解析式中求解即可；
（2）计算出当0＜x＜4时，函数的关系式，将x＝3代入函数关系式，x＝6，代入y＝4x+4中分别计算出一次性购买6千克这种水果和平均分2次购买的费用，在计算费用之差即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将（4，20），（10，44）代入关系式中得：，
由②﹣①得：24＝6k，
解得：k＝4，
将k＝4代入①中得：20＝16+b，则b＝4，
故当x≥4时，y与x之间的函数关系为：y＝4x+4；
（2）解：由图象可知：当0＜x＜4时，函数关系为：y＝5x，
当x＝3时，y＝15，
故平均分2次购买所需总费用为：15×2＝30（元），
将x＝6，代入y＝4x+4中得：y＝4×6+4＝28（元），30﹣28＝2（元），
故一次性购买6千克这种水果比平均分2次购买可节省2元．
【点评】本题考查运用一次函数解决实际问题，能够根据图象得到函数关系式是解决本题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．
（1）求证：CE＝DF；
（2）连接DE、EF，求证：四边形CDEF为矩形；
（3）△ABC满足什么条件时，四边形CDEF为正方形，并证明．

【分析】（1）证明DF是△BAC的中位线，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明CE＝DF；
（2）先证明DE是△BAC的中位线，得到，再由线段中点的定义得到CF＝DE，进而证明四边形DCFE是平行四边形，由∠DCF＝90°，即可证明四边形DCFE是矩形；
（3）当AC＝BC时，四边形CDEF是正方形，利用三角形中位线定理证明EF＝DE，即可证明矩形CDEF是正方形．
【解答】（1）证明：∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△BAC的中位线，
∴，
∵点E时AB的中点，∠ACB＝90°，
∴，
∴CE＝DF；
（2）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△BAC的中位线，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
∴四边形DCFE是平行四边形，
又∵∠DCF＝90°，
∴四边形DCFE是矩形；
（3）解：当AC＝BC时，四边形CDEF是正方形，证明如下：
同理可证EF是△ABC的中位线，
∴，
当AC＝BC时，则，
∴矩形CDEF是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△ACD的面积为3.6，求直线CD的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）对于直线l1解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出C与B的坐标，联立两直线解析式求出A的坐标即可；
（2）由三角形的面积公式可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分OC为边和OC为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x+4分别与x轴、y轴交于点B、C，
∴点C坐标为（0，4），点B坐标为（8，0），
∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝x交于点A．
∴﹣x+4＝x，
∴x＝，
∴点A坐标为（，）；

（2）设点D坐标为（x，x），
∵△COD的面积为6，
∴×4×|x|＝3.6，
∴x＝±3，
∵D是线段OA上的点，
∴x＝3，
∴点D（3，1），
设直线CD解析式为：y＝kx+4，
∴1＝3k+4，
∴k＝﹣1，
∴直线CD解析式为：y＝﹣x+4；
（3）若以OC为边，设点P（a，﹣a+4）（a≥0），
如图

当四边形OCPQ是菱形，
∴OC＝CP＝4，PQ∥OC，PQ＝OC＝4，
∴4＝，
∴a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
∴点P（2，4﹣2），
∴点Q（2，﹣2）；
当四边形OCQ'P'是菱形，
∴OC＝OP'＝4，PQ'＝OC＝4，PQ'∥OC，
∴4＝，
∴a1＝0（舍去），a2＝4，
∴点P'（4，0），
∴点Q'（4，4）；
若OC为对角线，
∵以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴CO与PQ互相垂直平分，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P（2，2），
∴点Q坐标为（﹣2，2）；
综上所述：点Q的坐标为（﹣2，2）或（4，4）或（2，﹣2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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