2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中七年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．下列运算结果正确的是（　　）
A．a2⋅a3＝a6 B．a3÷a＝a3
C．2a2⋅3a2＝6a2 D．（a2b）2＝a4b2
2．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　）

A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约7°（∠α≈7°），由此他得出∠α＝∠β，那么∠β的度数也就是360°的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“∠α＝∠β”所依据的数学定理是（　　）

A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．内错角相等，两直线平行
4．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条中线交于一点
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
5．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠A＝∠DCE B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠D+∠ABD＝180°
6．如图，已知BF＝DE，AB∥CD，要使△ABF≌△CDF，添加的条件可以是（　　）

A．BE＝DF B．AF＝CE C．AF∥CE D．∠B＝∠D
7．若等式（x﹣5）（x﹣7）＝x2+mx﹣n成立，则m﹣n的值是（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
8．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（　　）
A．11 B．10 C．9 D．7
9．已知﹣x（3x2﹣2ax﹣1）﹣2x3+3x2+1中不含x2项，则a的值为（　　）
A．﹣3 B． C．﹣2 D．
10．我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释了（a+b）n展开式的系数规律，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如：此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数，…，下列说法：①（a+b）5展开式各项系数之和为32；②（a+b）15展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项；③（a+b）20展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190；④（x+1）2023展开式中含x2022的项的系数是2022．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号“经过470000000公里旅程成功着陆在火星上．从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为 　 　．
12．一个角的余角是37°，那么这个角的补角是 　 　．
13．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　 　．

14．2m＝a，2n＝b，则22m+3n＝　 　（用a、b的代数式表示）．
15．已知ab＝a+b+2023，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 　 　．
16．已知x﹣y＝4，，（x+y）2＝　 　．
17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3﹣∠2＝　 　．

18．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACF，使AE＝AB，AF＝AC，∠EAB＝∠FAC＝90°，连接EF，AD为BC边上的高线，延长DA交EF于点N，下列结论：（1）△FNA≌△ADC；（2）∠FAN＝∠ACD；（3）EN＝FN；（4）S△ABC＝S△EAF，其中正确的结论有 　 　（填序号）．

三、解答题（共6小题，计46分）
19．计算：
（1）；
（2）20232﹣4046×2022+20222；
（3）（3m﹣n+t）（3m+n﹣t）．
20．先化简再求值：（x+4y）（x﹣4y）+（x﹣4y）2﹣（8x2y﹣2xy2）÷2y，其中x＝﹣2，．
21．如图．已知∠AED＝∠ACB，∠3＝∠B．试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由．

22．如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB；④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个作为条件，余下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的组合方式（只写序号）．
（2）从（1）中选择一个组合方式进行证明．
已知：　 　．
求证：　 　．

23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　 　（只填序号）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③a（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
24．【发现问题】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB，他用到的判定定理是 　 　（用字母表示）．
【解决问题】
小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：MN﹣CN＜BM．
【拓展应用】
如图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠EAB＝∠DAC＝90°，点M是BC的中点，连接AM，DE，当AM＝11时，求DE的长．



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．下列运算结果正确的是（　　）
A．a2⋅a3＝a6 B．a3÷a＝a3
C．2a2⋅3a2＝6a2 D．（a2b）2＝a4b2
【分析】根据同底数幂的乘除法、单项式乘单项式、积的乘方运算，进行运算，即可一一判定．
解：A．a2⋅a3＝a5，故该选项错误，不符合题意；
B．a3÷a＝a2，故该选项错误，不符合题意；
C.2a2⋅3a2＝6a4，故该选项错误，不符合题意；
D．（a2b）2＝a4b2，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、单项式乘单项式、积的乘方运算，熟练掌握和运用同底数幂的乘除法、单项式乘单项式、积的乘方运算是解决本题的关键．
2．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　）

A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据垂线的性质进行解答即可．
解：A、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故A符合题意；
B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、平行线的一条性质，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
3．古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约7°（∠α≈7°），由此他得出∠α＝∠β，那么∠β的度数也就是360°的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“∠α＝∠β”所依据的数学定理是（　　）

A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行投影的定义以及平行线的性质解答即可．
解：由题意可知，“∠α＝∠β”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及平行投影，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
4．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条中线交于一点
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
【分析】根据锐角三角形的高的交点在三角形的内部，直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部．以及三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断．
解：A、直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误；
B、三角形的角平分线是线段，故选项错误；
C、正确；
D、三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容．
5．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠A＝∠DCE B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠D+∠ABD＝180°
【分析】利用同位角相等，两直线平行对A、B、C进行判断；内错角相等，两直线平行对B、C进行判断；根据同旁内角互补，两直线平行对D进行判断．
解：A、当∠A＝∠DCE时，AB∥CD，不符合题意；
B、当∠1＝∠2时，AB∥CD，不符合题意；
C、当∠3＝∠4时，BD∥AC，符合题意；
D、当∠D+∠ABD＝180°时，AB∥CD，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
6．如图，已知BF＝DE，AB∥CD，要使△ABF≌△CDF，添加的条件可以是（　　）

A．BE＝DF B．AF＝CE C．AF∥CE D．∠B＝∠D
【分析】根据AB∥CD，可得∠B＝∠D，然后根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D．
A．若BE＝DF，则BF＝DE，
∴不能使△ABF≌△CDF，故不符合题意；
B．若AF＝CE，∵BF＝DE，∠B＝∠D，此时符合SSA，不能使△ABF≌△CDF，故不符合题意；
C．若AF∥CE，则∠AFE＝∠CEF，
∴∠AFB＝∠CED，
∵BF＝DE，∠B＝∠D，
∴△ABF≌△CDF（ASA），故符合题意；
D．若∠B＝∠D，不能使△ABF≌△CDF，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
7．若等式（x﹣5）（x﹣7）＝x2+mx﹣n成立，则m﹣n的值是（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
【分析】先运用多项式乘多项式法则计算等式左边．再根据两多项式相等，对应项系数相等，求出m、n值，代入计算即可．
解：∵（x﹣5）（x﹣7）＝x2+mx﹣nx2﹣12x+35＝x2+mx﹣n，
∴m＝﹣12，﹣n＝35，
∴m﹣n＝﹣12+35＝23，
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
8．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（　　）
A．11 B．10 C．9 D．7
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
解：∵三条线段的长分别是3，7，m，它们能构成三角形，
∴7﹣3＜m＜7+3，
∴4＜m＜10，
∴整数m的最大值是9．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
9．已知﹣x（3x2﹣2ax﹣1）﹣2x3+3x2+1中不含x2项，则a的值为（　　）
A．﹣3 B． C．﹣2 D．
【分析】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣5x3+（2a+3）x2﹣x+1，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．
解：﹣x（3x2﹣2ax﹣1）﹣2x3+3x2+1＝﹣3x3+2ax2﹣x﹣2x3+3x2+1＝﹣5x3+（2a+3）x2﹣x+1，
∵多项式不含x2项，
∴2a+3＝0，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了单项式乘多项式：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．
10．我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释了（a+b）n展开式的系数规律，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如：此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数，…，下列说法：①（a+b）5展开式各项系数之和为32；②（a+b）15展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项；③（a+b）20展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190；④（x+1）2023展开式中含x2022的项的系数是2022．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据（a+b）n展开式的系数规律进行判断即可．
解：由（a+b）n展开式的系数规律可知，（a+b）5展开式的系数依次为1，5，10，10，5，1，因此各项系数的和为32，所以①正确；
由（a+b）n展开式的系数规律可知，（a+b）15展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项，因此②正确；
（a+b）20展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190，故③正确；
（x+1）2023展开式中含x2022的项，即展开式中的第2项，由（a+b）n展开式的系数规律可知，第2项的系数是2023．因此④不正确；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，数字的变化类，掌握（a+b）n展开式的系数规律是正确判断的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号“经过470000000公里旅程成功着陆在火星上．从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为 　4.7×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：470000000＝4.7×108．
故答案为：4.7×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．一个角的余角是37°，那么这个角的补角是 　127°　．
【分析】首先根据这个角的余角求出这个角大小，再求它的补角．
解：若一个角的余角是37°，则这个角为90°﹣37°＝53°，
则它的补角为180°﹣53°＝127°，
故答案为：127°．
【点评】本题考查补角、余角的定义，掌握如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角，如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角是解题的关键．
13．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　SSS　．

【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′＝∠AOB．
解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
14．2m＝a，2n＝b，则22m+3n＝　a2b3　（用a、b的代数式表示）．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．
解：∵2m＝a，2n＝b，
∴22m+3n＝（2m）2×（2n）3＝a2b3．
故答案为：a2b3．
【点评】此题主要考查了幂的乘法运算以及同底数幂的乘法等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
15．已知ab＝a+b+2023，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 　2024　．
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则把（a﹣1）（b﹣1）化简后把ab＝a+b+2023代入计算即可．
解：∵ab＝a+b+2023，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝a+b+2023﹣a﹣b+1
＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
16．已知x﹣y＝4，，（x+y）2＝　17　．
【分析】根据完全平方公式进行运算，即可求解．
解：∵x﹣y＝4，，
∴（x+y）2
＝（x﹣y）2+4xy
＝
＝16+1
＝17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键．
17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3﹣∠2＝　45°　．

【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
解：如图：

在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠3﹣∠2＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACF，使AE＝AB，AF＝AC，∠EAB＝∠FAC＝90°，连接EF，AD为BC边上的高线，延长DA交EF于点N，下列结论：（1）△FNA≌△ADC；（2）∠FAN＝∠ACD；（3）EN＝FN；（4）S△ABC＝S△EAF，其中正确的结论有 　②③④　（填序号）．

【分析】由△FNA不一定是直角三角形可判断（1）；由余角的性质可判断（2）；作EH⊥AN，交AN于点H，FG⊥AN，交AN延长线于点G，构造三对全等三角形，利用全等三角形的判定与性质可判断（3）和（4）．
解：∵AD为BC边上的高线，
∴△ACD是直角三角形，
∵△FNA不一定是直角三角形，
∴△FNA与△ADC不一定全等，故①错误；
∵∠CAF＝90°，AD⊥BC，
∴∠FAN+∠CAD＝90°＝∠ACD+∠CAD，
∴∠FAN＝∠ACD，故②正确；
作EH⊥AN，交AN于点H，FG⊥AN，交AN延长线于点G，

∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∵∠EAB＝90°，
∴∠EAH+∠BAD＝90°，
∴∠AEH＝∠BAD，
在△AEH和△BAD中，
，
∴△AEH≌△BAD（AAS），
∴EH＝AD，
同理可得：△AFG≌△CAD，
∴FG＝AD，
∴FG＝EH，
在△FGN和△EHN中，
，
∴△FGN≌△EHN（AAS），
∴EN＝FN，故③正确．
∵S△ABD＝S△EAH，S△FGA＝S△ADC，S△ENH＝S△FNG，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝S△AEH+S△AFG＝（S△EAN﹣S△ENH）+（S△△FNA+S△FNG）＝S△EAN+S△FNA＝S△EAF，
即S△ABC＝S△EAF，故④正确；
其中正确的结论有 ②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
三、解答题（共6小题，计46分）
19．计算：
（1）；
（2）20232﹣4046×2022+20222；
（3）（3m﹣n+t）（3m+n﹣t）．
【分析】（1）根据积的乘方的逆运算，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）先变换成平方差公式的形式，再计算即可．
解：（1）
＝
＝1×4+（﹣8）+1
＝﹣3；
（2）20232﹣4046×2022+20222
＝20232﹣2×2023×2022+20222
＝（2023﹣2022）2
＝1；
（3）（3m﹣n+t）（3m+n﹣t）
＝[3m﹣（n﹣t）][3m+（n﹣t）]
＝（3m）2﹣（n﹣t）2
＝9m2﹣（n2﹣2nt+t2）
＝9m2﹣n2+2nt﹣t2．
【点评】本题考查积的乘方的逆运算，零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式，正确计算是解题的关键．
20．先化简再求值：（x+4y）（x﹣4y）+（x﹣4y）2﹣（8x2y﹣2xy2）÷2y，其中x＝﹣2，．
【分析】先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把x＝﹣2，代入计算即可．
解：（x+4y）（x﹣4y）+（x﹣4y）2﹣（8x2y﹣2xy2）÷2y
＝x2﹣16y2+x2﹣8xy+16y2﹣（4x2﹣xy）
＝x2﹣16y2+x2﹣8xy+16y2﹣4x2+xy
＝﹣2x2﹣7xy，
当x＝﹣2，时，
原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．
21．如图．已知∠AED＝∠ACB，∠3＝∠B．试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由．

【分析】由∠AED＝∠ACB，根据同位角相等，两直线平行得DE∥BC，则根据平行线的性质得∠B＝∠ADE，再利用等量代换得到∠3＝∠ADE，于是可根据平行线的判定得AB∥EF，所以∠2＝∠4，由于∠1+∠4＝180°，所以∠1+∠2＝180°．
解：∠1+∠2＝180°．理由如下：
∵∠AED＝∠ACB，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠3＝∠B，
∴∠3＝∠ADE，
∴AB∥EF，
∴∠2＝∠4，
而∠1+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
22．如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB；④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个作为条件，余下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的组合方式（只写序号）．
（2）从（1）中选择一个组合方式进行证明．
已知：　AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB　．
求证：　AB＝DE　．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可以推出①②③为条件，④为结论，依据是“SAS”；①②④为条件，③为结论，依据是“SSS”；
（2）根据（1）写出已知和结论，再证明即可．
解：（1）当①②③为条件，④为结论时：
∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE，即∠DCE＝∠ACB，
∵AC＝DC，BC＝EC，
∴△DCE≌△ACB，
∴AB＝DE，
当①②④为条件，③为结论时：
∵AC＝DC，BC＝EC，AB＝DE，
∴△DCE≌△ACB，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE，
∴∠DCA＝∠ECB．
∴使结论成立的组合方式有：①②③为条件，④为结论；①②④为条件，③为结论；
（2）解：已知：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB，
求证：AB＝DE．
证明：∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE，即∠DCE＝∠ACB，
∵AC＝DC，BC＝EC，
∴△DCE≌△ACB，
∴AB＝DE．
故答案为：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB；
AB＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　②　（只填序号）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③a（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可；
（2）根据平方差公式即可求出答案．
解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1 的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：②；
（2）①，是（1）得x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝18，
∵x+2y＝4，
∴4（x﹣2y）＝18，
∴；
②原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，灵活运用平方差公式是解题的关键．
24．【发现问题】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB，他用到的判定定理是 　SAS　（用字母表示）．
【解决问题】
小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：MN﹣CN＜BM．
【拓展应用】
如图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠EAB＝∠DAC＝90°，点M是BC的中点，连接AM，DE，当AM＝11时，求DE的长．

【分析】[发现问题]：延长AD到E，使得ED＝AD，连接BE，先判断出BD＝CD，由SAS可证△EDB≌△ADC，据此即可解答；
[解决问题]：延长MD到E，使ED＝MD，连接CE，NE，首先根据全等三角形的判定和性质，可得BM＝CE，再根据线段垂直平分线的性质，可得MN＝NE，最后根据三角形三边的关系，即可证得；
[拓展应用]：延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，同上的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则BN＝AC，进而判断出∠ABN＝∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出AN＝ED，即可求解．
【解答】[发现问题]解：如图1，延长AD到E，使得ED＝AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
[解决问题]证明：延长MD到E，使ED＝MD，连接CE，NE，如图，

∵AD是BC中点，
∴BD＝DC，
∵在△BDM和△CDE中，
，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴BM＝CE，
∵ED＝MD，DM⊥DN，
∴MN＝NE，
在△NEC中，NE﹣NC＜CE，
∴MN﹣CN＜BM；
[拓展应用]解：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，

由（1）知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝CA，∠BNM＝∠CAM，
∴AC∥BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC∥BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝11，
∴DE＝2AM＝22．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．