内蒙古赤峰市桥北四中2023届高三下学期模拟考试理科数学试题(含解析)
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这是一份内蒙古赤峰市桥北四中2023届高三下学期模拟考试理科数学试题(含解析),共24页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
内蒙古赤峰市桥北四中2023届高三下学期模拟考试理科数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.设,为纯虚数,则( )A. B. C. D.2.已知集合,,则( )A. B. C. D.3.某学校共1000人参加数学测验,考试成绩近似服从正态分布,若,则估计成绩在120分以上的学生人数为( )A.25 B.50 C.75 D.1004.已知x,y满足约束条件,则的最小值为( )A.1 B. C.-2 D.5.如图1,水平放置的直三棱柱容器中,,,现往内灌进一些水,水深为2.将容器底面的一边AB固定于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面形状恰好为三角形,如图2,则容器的高h为( )A.3 B.4 C. D.66.已知双曲线的渐近线与抛物线交于O、A(O是坐标原点)两点,F是抛物线的焦点,已知,则( )A.2 B.3 C.7 D.67.如图,在四边形ABCD中,,,,,,,则( )A. B.2 C.3 D.68.定义运算如果,,满足等式,函数在单调递增,则取最大值时,函数的最小正周期为( )A. B. C. D.9.已知函数,若方程有解,则实数b的取值范围是( )A. B. C. D.10.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,且.若四棱锥的五个顶点在同一球面上,已知棱最大值为,则四棱锥的外接球体积为( )A. B. C. D.11.下列结论:①若方程表示椭圆,则实数k的取值范围是;②双曲线与椭圆的焦点相同.③M是双曲线上一点,点,分别是双曲线左右焦点,若,则或1.④直线与椭圆C:交于P,Q两点,A是椭圆上任一点(与P,Q不重合),已知直线AP与直线AQ的斜率之积为,则椭圆C的离心率为.错误的个数是( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个12.已知函数的一条对称轴是,若存在使直线与函数的图像相切,则当取最小正数时,实数m的取值范围是( )A. B.C. D. 二、填空题13.若,则二项式的展开式中,常数项是______.14.函数的极大值点为______.15.“康威圆定理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一,定理的内容是:如图,的三条边长分别为a,b,c(即,,).延长线段SR至点A,使得,以此类推得到如图所示的点B,C,D,E,F,那么这六点共圆,此圆称为康威圆.若,,,往此康威圆内投掷一点,该点落在内的概率为______. 16.已知不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是______. 三、解答题17.设各项都为正数的数列的前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设函数,且,求数列的前n项和.18.如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,四边形是圆的内接四边形,为底面圆的直径,在母线上,且,,. (1)求证:平面平面;(2)设点为线段上动点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.19.中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛,因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入400万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率;(2)设总决赛中获得门票总收入为,求的数学期望.20.已知,为双曲线E:(,)的左、右焦点,E的离心率为,M为E上一点,且.(1)求E的方程;(2)设点M在坐标轴上,直线l与E交于异于M的A,B两点,且点M在以线段AB为直径的圆上,过M作,垂足为C,是否存在点D,使得为定值?若存在,求出点D的坐标以及的长度;若不存在,请说明理由.21.已知函数在处的切线方程为.(1)若a;(2)证明有两个零点.22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为:,已知直线l与曲线C相交于M,N两点.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)记线段MN的中点为P,若恒成立,求实数的取值范围23.已知函数.(1)若(m,)对恒成立,求的最小值;(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:1.B【分析】为纯虚数,根据复数的乘法法则,标准代数形式下实部为0,即可求出,然后即可求.【详解】=,所以,所以,所以,所以.故选:B.2.C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合,然后利用交集和补集的运算即可求解.【详解】因为集合,集合,由补集的定义可得:,结合交集的运算可得,故选:C.3.B【分析】由已知可得,根据正态分布的对称性可推得,即可得出答案.【详解】由已知可得,,所以.又,根据正态分布的对称性可得,所以.所以,可估计成绩在120分以上的学生人数为.故选:B.4.D【分析】由约束条件作出可行域,数形结合求出的最小值.【详解】 由约束条件作出可行域如图,表示可行域内的点与点连线的斜率,联立方程,得交点坐标,由图得,当过点时,斜率最小为,所以的最小值为.故选:D.5.A【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.【详解】在图1中,在图2中,,.故选:A.6.D【分析】易得双曲线的一条渐近线方程为:,与双曲线方程联立,求得点A的坐标,再根据,利用抛物线的定义求解.【详解】解:双曲线的一条渐近线方程为:,联立,解得或,因为,所以由抛物线的定义得,解得,故选:D7.A【分析】建立平面直角坐标系,求得相关点坐标,求得相关向量的坐标,根据,结合向量的坐标运算,即可求得答案.【详解】以A为坐标原点,以为x轴,过点A作的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则,故,则由可得,即,故,故选:A8.A【分析】求出函数的解析式,根据已知条件求出的值,利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组,解出的取值范围,可得出的最大值,利用正弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】,因为,所以,,而,所以,即,当时,,因为在上单调递增,所以,,解得,当取最大值时,的最小正周期,故选:A.9.C【分析】利用对数的运算性质和基本不等式即可求解.【详解】(当且仅当,也即时取等号)∴,故选:C.10.B【分析】根据题意易知平面,点在与垂直的圆面内运动,显然是圆的直径时,达到最长,然后得到平面ABCD,将四棱锥补形为长方体,进而求解外接球半径,即可求出结果.【详解】如图,由,则,因为,,平面,所以平面,即点在与垂直的圆面内运动,由题意知,当P、、A三点共线时,达到最长,此时,是圆的直径,则,所以,又,,平面,所以平面,此时可将四棱锥补形为长方体,则P与重合,且面对角线,所以长方体的体对角线,∴.故选:B11.B【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组,解得k的范围,从而判断①;直接求出双曲线和椭圆的焦点坐标可判断②;由双曲线的定义可判断③;设出点A,P,Q的坐标,用坐标表示出直线AP与直线AQ的斜率之积,然后根据点在椭圆上化简,进而可求出椭圆C的离心率,可判断④.【详解】①若方程表示椭圆,则,解得或,故①错误;②双曲线化成标准方程为,焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为,不相同,故②错误;③双曲线中,因为M是双曲线上一点,点,分别是双曲线左右焦点,所以由双曲线的定义得,若,则或1,而双曲线上的点到焦点距离的最小值为,所以舍去,所以,故③错误;④设,因为A是椭圆上任一点,所以,所以,又因为直线与椭圆C:交于P,Q两点,所以设,,所以,因为直线AP与直线AQ的斜率之积为,所以,所以,所以,又,所以,故④正确;综上,错误的有3个.故选:B.12.D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式,结合正弦函数的对称性求,再由导数的几何意义求m的取值范围.【详解】,∵是的一条对称轴,∴,,∴,又,∴的最小正整数值为2.∴,∴,若使与相切,则,且,解得或故选:D.13./【分析】先由求出的值,再用二项式的展开式的通项可求解.【详解】因为,所以,解得,则二项式的展开式的通项公式为,令,解得,所以常数项是,故答案为:14.【分析】利用函数的极大值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.【详解】因为,所以,令则,解得或,当或时,当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减.当时,取得极大值,所以函数的极大值点为.故答案为:.15.【分析】根据已知及余弦定理求得,易知为直角三角形,利用几何概型的面积比求点落在内的概率.【详解】由中,,,则,由余弦定理得,得,所以,故为直角三角形,其面积为6,设的内切圆半径为r,圆心为O,则,即,由已知,所以O也为此康威圆的圆心,设康威圆半径为R,结合图及圆的性质知:,故此康威圆面积为故往此康威圆内投掷一点,该点落在内的概率为. 故答案为:16.【分析】将原不等式化为并构造,依据单调性知恒成立,再构造,利用导数研究单调性求最值,即可求范围.【详解】由得,即:令,则.∵为R上的单调递增函数,∴,即恒成立.令,则,故在上,在上,∴在上单调递增,在上单调递减.∴,故,即.故答案为:17.(1),;(2). 【分析】(1)由递推关系,根据累加法求数列的通项公式;(2)由条件可得,利用错位相减法求数列的前n项和.【详解】(1)由,可得,当时,,以上各式分别相加得,又,所以当时,,经检验符合,所以,;(2),,,两式相减得:,所以,故,所以.18.(1)证明见解析(2)1 【分析】(1)设交于点,证明,,根据线面垂直判定定理证明平面,再由面面垂直判定定理证明平面平面.(2)先证明平面,建立空间直角坐标系,求直线的方向向量与平面的法向量,利用向量夹角公式求线面角的正弦,利用导数求其最大值.另解:求得直线的方向向量与平面的法向量后,证明存在,使得两向量平行,由此确定直线与平面所成角的正弦值的最大值.【详解】(1)如图,设交于点,连接,由已知可得,又,所以四边形为菱形,所以,∵,,,∴,∴,∴,又,所以,因为为的中点,∴,.由余弦定理可得,∴,所以,即,又平面,,∴平面.又平面,∴平面平面. (2)由已知平面,平面,所以,又,,平面,∴平面,又平面,∴.由(1)知,,平面,所以平面,∴,又点为的中点,所以.以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系 则,,,,,,设,则,∴,,设平面的法向量为,则,即,令,则,所以为平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为,则,构建,则,当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减, ∴时,取到最大值4.此时,取到最大值1.另解:由,知,当时,,此时平面,设直线与平面所成的角为,因为,当时,取到最大值1.19.(1)(2) 【分析】(1)构造等差数列,求得比赛场次,再利用概率公式即可求得结果;(2)由已知可得,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.【详解】(1)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为400,公差为100的等差数列.设此数列为,则易知,,所以.解得或(舍去),所以此决赛共比赛了5场.则前4场比赛的比分必为,且第5场比赛为领先的球队获胜,其概率为.所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为.(2)随机变量可取的值为,,,,即2200,3000,3900,4900,,,,,所以的分布列为2200300039004900所以.20.(1)(2)存在;点,为定值 【分析】(1)根据双曲线的离心率和双曲线的定义求出和c,即可求出双曲线的方程;(2)分类讨论的斜率存在与不存在两种情况,使直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理和求出直线方程,进而得出所过定点以及的长度.【详解】(1)由题意,双曲线E的离心率为得,根据双曲线的定义可知,,所以,则,所以,所以E:.(2)由题意及(1)得,在E:中,,所以点M在双曲线E的左支上,点M在坐标轴上,则点M的坐标为,设,,当AB的斜率存在时,设AB的方程为,联立,整理得,,则,则,,因为M在以AB为直径的圆上,所以,则,所以,整理得,解得或,验证均满足.当时,直线AB的方程为,则直线AB过点M,不合题意,舍去;当时,直线AB的方程为,则直线AB过定点,符合题意.当直线AB的斜率不存在时,由,可设直线AM的方程为,联立,解得,,所以直线AB的方程为:,则直线AB过定点.因为,所以是以MQ为斜边的直角三角形,所以点C在以MQ为直径的圆上,则当D为该圆的圆心时,为该圆的半径,即,故存在点,使得为定值. 21.(1)(2)证明见解析 【分析】(1)对函数求导,利用导数的几何意义即可求解;(2)根据题意将问题等价转化为函数与有两个交点,令,对函数求导,判断函数的单调性,然后利用的最值即可证明.【详解】(1)对函数求导可得,则,因为在处的切线方程为∴,∴(2)由(1)知,要证有两个零点,即证方程有两个不等实根,即证函数与有两个交点令,,∴单调递增,又,∴当时,,∴,函数与无交点.当时,,当时,,令,当时,.当时,当时,,单调递增;当时,,单调递减;又∵,,∴,,即当时,,当时,,综上,当时,,,单调递增,当时,,,单调递减.又时,且当时,,∵,,∴函数与有两个交点,即函数有两个零点.【点睛】研究函数的性质是高考压轴题的核心思想,但是直接构造函数或者简单的拆分函数依然复杂,这时需要依赖对函数变形,通过恒等变形发现简单函数再进行构造研究,会起到事半功倍的效果.22.(1)(2) 【分析】(1)利用可得曲线C的直角坐标方程,再由可得曲线C的极坐标方程;(2)联立和得,设、,由得,利用的范围可得答案.【详解】(1)∵曲线C的参数方程为(为参数),∴曲线C的直角坐标方程为,化为一般式得:,设,∴,∴曲线C的极坐标方程为:;(2)联立和,得,设、,则,由,得,当时,取最大值,故实数的取值范围为.23.(1)(2) 【分析】(1)去掉绝对值符号,画出函数的图像,可知函数的最小值为,利用函数的最小值转化,再结合基本不等式求解即可;(2)由不等式构造新函数,可知函数恒过定点,再利用函数的图像求解即可.【详解】(1)由题可得,,函数的图像如下如图所示,,则,即,,可得,于是,当且仅当时,等号成立,故的最小值为.(2)令,则是恒过点,斜率为的直线,由恒成立,则表示函数图像恒在函数图像上方,当过点时,,结合图像分析可得,,故.
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