湖北省部分名校2023届高三二模数学试题（含解析）

这是一份湖北省部分名校2023届高三二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省部分名校2023届高三二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
2．设，则的值为（    ）
A． B． C． D．
3．从正方体的个顶点和中心中任选个，则这个点恰好构成三棱锥的概率为（    ）
A． B． C． D．
4．过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
5．鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．
6．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），则f（a36）+f（a37）=（　　）
A． B． C．2 D．3
7．已知抛物线，焦点和圆，直线与，依次相交于，，，，（其中），则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．关于函数有下述四个结论，则（    ）
A．是偶函数 B．的最小值为
C．在上有4个零点 D．在区间单调递增
10．如图，在中，，若为外接圆的圆心，且，则以下结论中正确的是（    ）

A． B．
C．外接圆的面积为 D．
11．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与坐标轴交于，，则（    ）

A．双曲线的方程为
B．双曲线与双曲线共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点
D．存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为3
12．已知数列满足，，前n项和为，则下列选项中正确的是（    ）（参考数据：，）
A． B．
C． D．是单调递增数列，是单调递减数列

三、双空题
13．已知直角三角形中，直角边，点是边上一定点，，点是斜边上一动点，，则面积的最大值为________；线段长度的最小值为________．

四、填空题
14．如图，在平面直角坐标系中，已知曲线、、依次为，，的图像，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点、，过点作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是________.

15．已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则________
16．已知不等式在上恒成立，则实数的最小值为___________.

五、解答题
17．设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的最小值．
18．在三棱柱中，，侧面底面，D是棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19．已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.
20．新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）
21．已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数（其中，）.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
(3)求证：对于任意大于的正整数，都有

参考答案：
1．A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
2．C
【分析】令，利用赋值法可得，即可得解.
【详解】令，
则，，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用赋值法求值，考查计算能力，属于基础题.
3．D
【分析】对所选点是否包含正方体中心进行分类讨论，利用组合计数原理计算出满足条件的三棱锥的个数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】从正方体的个顶点和中心中任取个，有个结果，个点恰好构成三棱锥分两种情况：

①从正方体的个顶点中取个点，共有个结果，
其中四点共面有两种情况：一是四点构成侧面或底面，有种情况，
二是四点构成对角面（如平面），有种情况.
在同一个平面的有个，构成三棱锥有个；
②从正方体的个顶点中任取个，共有个结果，
其中所取点与中心共面，则这个点在同一对角面上，共有个结果，
因此，所选点与中心构成三棱锥有个.
故从正方体的个顶点和中心中任选个，
则这个点恰好构成三棱锥的个数为，故所求概率.
故选：D.
4．D
【分析】求导得到导函数，设切点为，得到切线方程，代入点坐标得到，设，计算函数的极值，得到答案.
【详解】，，
设切点为，则切线方程为，
切线过点，，整理得到，
方程有三个不等根.
令，则，令，则或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
极大值，极小值，函数与有三个交点，
则，的取值范围为.
故选：D
5．D
【分析】将鲁班锁补成正方体,建立空间直角坐标系，求出鲁班锁某个顶点到另一个顶点的最大值，即可求解.
【详解】将鲁班锁补成正方体，然后以点A为坐标原点，
AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，


在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点，
观察图形可知，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在
、、、、、、、中取得，
结合图形可知、，，、，，，，
则，
，
，
，，
，
，
，
所以P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值为，
所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），
设该正方体的棱长的最小值为，则，
该正方体的表面积为.
故选：D.
6．A
【分析】根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可．
【详解】∵函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，
∴f（x）=f（3-x）=-f（x-3），
即f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数，
由数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an） （n∈N*），
则an=nan+1-nan，即（1+n）an=nan+1，则 ，
等式两边同时相乘得，
即=n，即an=na1=n，即数列{an}的通项公式为an=n，
则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1），
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
∵f（-1）=3，∴-f（1）=3，即f（1）=-3，
则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1）=0-3=-3，
故选A．
【点睛】本题主要考查函数与数列的综合，求出函数的周期以及数列的通项公式，结合函数的周期性进行转化是解决本题的关键．
7．A
【详解】∵y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=-1．

由定义得：|AF|=xA+1，
又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA，
同理：|CD|=xD，
l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴xAxD=1，则|AB|•|CD|=1．
综上所述，|AB|•|CD|=1，
故选A．
点睛：本题主要考查抛物线的定义应用、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，利用抛物线定义表示出点到焦点的距离是关键.
8．C
【解析】恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.
【详解】由题意知函数的定义域为，
.
因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.
9．ABC
【分析】对A：根据偶函数的定义即可作出判断；对B：由有界性，，且时即可作出判断；对C：当时，，可得函数有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D：当时，，利用三角函数的图象与性质即可作出判断.
【详解】解：对A：因为，所以是偶函数，故选项A正确；
对B：因为，，所以，而时，所以的最小值为，故选项B正确；
对C：当时，，令，可得，，
又由A知函数为偶函数，所以函数在区间上也有两个零点，，所以函数在区间上有4个零点，故选项C正确；
对D：当时，，
因为，所以，而在上单调递增，在上单调递减，故选项D错误.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合三角形外接圆的性质、余弦定理、正弦定理逐一判断即可.
【详解】，
所以A对；
设，垂足为，显然是的中点，
，所以B对；
由余弦定理可知：，
由正弦定理可知：，
，C错.
，
设，垂足为，显然是的中点，
，即，
于是有，所以D对，
故选：ABD

【点睛】关键点睛：根据三角形外心的性质是解题的关键.
11．ABD
【分析】由题意可得，代入双曲线方程可求出，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断
【详解】由题意可得，
所以，即，解得，
所以双曲线方程为，所以A正确，
双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以B正确，
由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误，
由题意得，设为双曲线上任意一点，则，，
所以，
所以双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3，所以D正确，
故选：ABD
12．ACD
【分析】对于A：由已知得，令， 有， ，由，由此可判断；
对于B：由，得，由此可判断；
对于C：由，，得，由此可判断；
对于D：令，则有与异号，与同号，继而得，，再得，得出，，由此可判断.
【详解】解：对于A：由得，令， 即，则，
又，所以，则在上单调递减，所以，
所以，故A正确；
对于B：因为，，故B不正确；
对于C：因为，所以，，所以，即，所以，故C正确；
对于D：因为，，令，所以与异号，与同号，
又，所以，，即，，
又，所以，
所以，，
所以是单调递增数列，是单调递减数列，
所以是单调递增数列，是单调递减数列，故D正确，
故选：ACD.
13． ； .
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，可得，，设，，求得的方程，的斜率和直线的方程，解得的坐标，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；由两点的距离公式和换元法，结合二次函数的最值，可得的最小值．
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，
可得，，设，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线的方程为，
由题得的斜率为，可得直线的方程为，
联立直线和直线，解得，，
面积为，
当且仅当时，的面积为最大值.
，
可设，可得，
可得，
当，即为时，取得最小值，
可得的最小值为．
故答案为：，．
  
14．
【分析】设点，其中，可求出点、的坐标，进一步求出点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式可求出实数的值.
【详解】设点，其中，设点、，则，
解得，所以，点、，则点的坐标为，
将点的坐标代入函数的解析式，得，，解得.
故答案为.
【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点的坐标计算出点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
15．
【解析】由任意，都有，推得的周期为4，结合周期，即可求解.
【详解】因为对任意，都有为常数，可得，
从而，即的周期为4，所以，
又因为当时，，则，即
故答案为：.
16．/
【分析】将不等式变形为，构造函数，可得出，只需考虑的情形，利用导数分析函数的单调性，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可求得实数的最小值.
【详解】因为，可得，
构造函数，则，且，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因为求的最小值，只需考虑的情形，
因为，则，，所以，，可得，则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，故，
所以，，即，解得.
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
17．(1)钝角三角形，理由见解析
(2)

【分析】（1）利用二倍角公式得到，即可得到，即可得到或，从而得到或，再说明，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，再根据（1）中的结论可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）解：为钝角三角形，
证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以，所以，故为钝角三角形．
（2）由（1）知，，
由正弦定理，有




当且仅当时等号成立，由为锐角，
则，所以当时取最小值．
18．（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）取的中点，连接与交于点，连接，根据题意可证四边形是平行四边形，即.根据侧面底面，可得平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证．
（2）分别以分别为轴正方向建系，求出各点坐标及平面和平面的法向量，利用面面角的公式求解即可．
【详解】
解：（1）取的中点，连接与交于点，连接.
则为的中点，
因为三棱柱，
所以，且，
所以四边形是平行四边形.
又是棱的中点，所以.
因为侧面底面，且，
所以平面
所以平面
又平面，
所以平面平面
（2）连接，因为，所以是等边三角形，故底面．
设，可得，
分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则

设平面的一个法向量为
则
所以，取
所以
又平面的一个法向量为
故
因为二面角为钝角，所以其余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角的向量求法，考查学生的逻辑思维和空间想象能力，属中档题．
19．（1），（2）存在满足要求的为，.
【详解】试题分析：（1）由和项与通项关系得,根据等比数列定义及通项公式可得,由叠乘法可得,再由和项与通项关系得,根据等差数列定义及通项公式可得（2）先研究数列增减性: ,再研究确定可能情况:2,3,7,即得满足要求的.
试题解析：解：（1）因为，所以当时，，
两式相减得，即，又，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.
由得，，，…，，
以上个式子相乘得，即①，当时，②，
两式相减得，即（），
所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列， ,,因此数列的通项公式为.
（2）当时，无意义，
设（，），显然.
则，即.
显然，所以，
所以存在，使得，，
下面证明不存在，否则，即，
此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立.
综上，满足要求的为，.
点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
20．(1)
(2)①②

【分析】（1）利用每个人的血样检验结果的独立性解题.
（2）分别计算出总检验次数为1与时的概率，即可列出分布列，进而求得；如果用方案乙能减少总检验次数，则，化简后即可求解.
【详解】（1）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则
（2）①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为：

1
6
P


所以 ．
②当采用混合检验的方案时，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，
即，化简得，
所以当P满足，用混合检验的方案能减少检验次数．
21．(1)
(2)存在定点，

【分析】（1）直接由椭圆C过点和解方程即可；
（2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可.
【详解】（1）由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
（2）
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，∴，

∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴




∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方程解出点P的坐标即可.
22．(1)
(2)
(3)证明见解析

【分析】(1)当时,求出切点的坐标和在切点处的斜率,利用点斜式写出切线方程.
(2)令导函数大于零,得到,分离参数求最值即可
(3) 当时，,利用导数求得函数在上递增,令,得到,利用放缩法和累加法可证得原不等式成立.
【详解】（1）∵，∴（）,
∴,∵,∴在点处的切线方程为.
（2）∵,∴（）,
∵在上为增函数，∴对任意恒成立.
∴对任意恒成立，
即对任意恒成立.∵时，，
∴，即所求正实数的取值范围是.
（3）当时，，
当时，，故在上是增函数.
当时，令，则当时，，所以
所以
因此
所以即
所以即对于任意大于 则正整数 ，都有