海南省2023届高三学业水平诊断（五）数学试题（含解析）

这是一份海南省2023届高三学业水平诊断（五）数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
海南省2023届高三学业水平诊断（五）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集，集合，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（    ）．  A． B． C． D．2．已知复数，则（    ）．A．i B． C． D．3．已知为幂函数，则（    ）．A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减4．庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（    ）．     A． B．C． D．5．从5对夫妻中任选4人，这4人恰好是2对夫妻的概率为（    ）．A． B． C． D．6．若两条直线和均与圆相交，且依次连接四个交点得到一个矩形，则（    ）．A．4 B．2 C． D．7．若函数与的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形，则正实数的取值范围是（    ）．A． B． C． D．8．设函数在R上的导函数为，在上，且，有，则（    ）．A． B．C． D． 二、多选题9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）．A．若，则 B．的取值范围为C．满足的的值有2个 D．存在，使得10．已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一个动点，点，则下列说法正确的是（    ）．A．若，则B．过点A且与C有唯一公共点的直线仅有1条C．的最小值为2D．点M到直线的最短距离为11．已知实数x，y满足，则（    ）．A． B．C． D．12．如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是（    ）．  A．当时，直线与平面所成角的正弦值为B．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则二面角的余弦值为D．若，则四面体的外接球的体积为 三、填空题13．已知的展开式中的系数为21，则正整数__________．14．从甲、乙两班各随机抽取5名同学，他们最近一次语文考试中作文得分如下：甲班：45，45，46，47，48乙班：47，48，49，50，a若两组样本数据的方差相等，则a的值可以是__________．（写出1个a的可能取值即可）15．在等比数列中，，函数，则__________．16．已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，右焦点为，直线与交于点，若，则__________．（S表示面积）． 四、解答题17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，求的值．18．如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，．  (1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．19．已知数列和满足：，，（为常数，且）．(1)证明：数列是等比数列；(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．20．某汽车4S店的销售员的月工资由基础工资和绩效工资两部分组成，基础工资为t（单位：元），绩效工资如下表：月售车台数01234绩效工资0根据以往销售统计，该4S店平均一名销售员月售车台数的概率分布如下表：月售车台数01234概率0.320.280.130.120.090.06(1)求该4S店一名销售员的绩效工资大于的概率；(2)若已知该4S店一名销售员上个月工资大于，求该销售员上个月卖出去3台车的概率；(3)根据调查，同行业内销售员月平均工资为8000元，要使该4S店销售员的月工资的期望不低于行业平均水平，基础工资至少应定为多少？（精确到百位）21．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设函数的极小值为M，证明：．22．已知双曲线的渐近线方程为，过其右焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，且．(1)求C的方程．(2)设为C上的动点，直线与直线交于点M，与直线（与直线不重合）交于点N．是否存在t，使得为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
参考答案：1．C【分析】先通过Venn图可得到所求的是，然后化简集合，最后利用补集，交集的定义进行计算即可【详解】Venn图中阴影部分表示，因为或，所以，，于是．故选：C2．D【分析】利用共轭复数的意义、复数的乘法及加减法运算求解作答.【详解】因为，则，所以.故选：D3．B【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，所以或，对于，函数在上单调递增，在上单调递减；对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B4．A【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可.【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，．则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角，设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，  又为公共边，所以，即，整理得．故选：A5．C【分析】先求出所有的基本事件，再求出恰好是2对夫妻的基本事件，可得概率.【详解】从5对夫妻中任选4人，则不同的选法有种，这4人恰好是2对夫妻的选法有种，故所求概率为．故选：C.6．C【分析】根据两直线平行、直线与圆的位置关系即可判断．【详解】由已知可得圆的圆心到两条直线的距离相等，过点且斜率为2的直线方程为，则关于对称，故．故选：C.7．B【分析】首先确定组成的三角形为等腰三角形，结合钝角三角形的限制条件可得答案.【详解】如图，作出函数和的图象，  不妨以图中为研究对象，由对称性可得是以C为顶角的等腰三角形，过C点作于M，则，得，由，得，则，所以，要使为钝角三角形，只需即可，由，整理得．故选：B.8．A【分析】设，确定函数的奇偶性与单调性，逐项判断即可得答案.【详解】由，可得．设，则，所以是R上的奇函数，又在上，即，所以在上单调递减，又是R上的奇函数，所以在(-∞,0)上单调递减，所以，即，因此，故，故A正确；所以，即，因此，故B不正确；所以，即，则，所以与的大小不能确定，故C不正确；所以，即，则，所以与的大小不确定，故D不正确.故选：A.9．BC【分析】根据向量平行的坐标表示，列式求解，即可判断A；根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的值域，即可判断B；根据向量夹角公式，结合B选项的过程，即可求解角的值，判断C；根据等式判断向量反向，结合C的过程，即可判断D.【详解】对于A，由得，即，故A错误；对于B，，因为，所以，，，故B正确；对于C，因为，所以，所以或，得或，故C正确；对于D，等价于，的方向相反，而，结合C的分析可知，不存在满足的条件，故D错误．故选：BC10．BD【分析】对于AC：根据抛物线的定义分析运算；对于B：根据题意分类讨论，通过联立方程结合判别式分析判断；对于D：根据点到直线的距离分析运算.【详解】由已知得，C的准线为．对于选项A：根据抛物线的定义可知，所以，则，故A错误；对于选项B：若过点A的直线为x轴，显然与C有唯一公共点，符合题意；若过点A的直线不为x轴，设为，联立方程，消去x得，则，所以直线与C有两个不同交点，不合题意；综上所述：过点A且与C有唯一公共点的直线只有x轴，故B正确；对于选项C：设点到准线的距离为，因为点在抛物线C上，则，则，所以当M为坐标原点时，取得最小值，此时，故C错误；对于选项D：因为点在抛物线C上，则，即，点M到直线的距离为，故当时，d0取最小值，故D正确．故选：BD.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和性质．11．ACD【分析】利用基本不等式求解判断ABD；利用配方法结合解不等式判断C.【详解】由，得，对于A，，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，，得，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C，，得，所以，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：ACD.12．ABD【分析】由面面垂直的性质得线面垂直，即可求直线与平面所成角的正弦值即可判断A；根据二面角判断B，C即可；由四面体外接球的几何性质确定外接球半径，即可判断D.【详解】对于A，当时，因为，，所以直线与平面所成角为，则，故A正确；对于B，如图，过A作，且，连接，，  则为正方形，即为直线与所成角，为二面角的平面角，当时，易得，又，，故面，即面，故，故B正确；对于C，如图，作，则二面角的平面角为，  又，在中，易得，在．中，由余弦定理得，，过C点作交线段的延长线于点O，则平面，过O点作，交线段的延长线于点H，连接，则为二面角的平面角，易得，，，所以，故C错误；对于D，同选项C可知，如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，  则球心O必在该垂线上，设球的半径为R，则，又的外接圆半径，则，所以四面体的外接球的体积为，故D正确．故选：ABD.13．7【分析】利用二项展开式的通项即可.【详解】的展开式通项为，由已知得，当时，，解得或（负值舍去）．故答案为：7.14．47（或50）【分析】根据样本数据的数字特征判断即可．【详解】观察两组数据的特征，甲班的数据都是连续的整数，且最小的数有两个，乙班的数据除了a之外也都是连续的整数，要使两组样本数据的方差相等，只需两组数据的分布也相同即可，则a可以是重复的最小值或最大值．故答案为：47（或50）.15．【分析】先求函数的导数，代入0，再利用等比数列的性质可求答案.【详解】因为，所以．因为数列为等比数列，所以，于是．故答案为：16．4【分析】，根据直线与交于点，求出点纵坐标即可.【详解】  设，由已知得直线的方程为，直线的方程为，两直线方程联立，可解得P点的坐标为．由，可得，整理得，即，解得．所以P点的纵坐标为，得，所以．故答案为：417．(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据题意将等式先化切为弦，以及二倍角化一倍角，化简后再利用正弦定理即可证出；（2）利用余弦定理推论以及第一问结论，可得，即可解出．【详解】（1）由条件可得，整理得，再由正弦定理可得．（2）由余弦定理可得，再由（1）可得，整理得．令，则，即，解得，即的值为．18．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明线面垂直，平面，根据平面与平面垂直的判定可证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用线面角的公式求解.【详解】（1）设的中点为O，连接，．因为为等腰直角三角形，且，所以，，且．因为S在以为直径的圆上，所以．故，故．又因为，直线平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．  （2）以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，．由得，所以，从而得，所以．所以，，，设平面的法向量为，则，，不妨取，则．因为，故直线与平面所成角的正弦值为．19．(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据题意消元可得，，即可根据定义证出；（2）由（1）知，从而得出，根据邻项变号法可知，，进而求出，得到的表达式，求出．【详解】（1）因为，即，所以，而，所以，即，即数列是以为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，所以．因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，即，解得．所以．经检验，当时，，当时，，所以先增后减，在和时取得最大值，符合题意．此时．20．(1)(2)(3)6300元 【分析】（1）由概率加法公式计算即可；（2）由条件概率的计算公式计算即可；（3）先计算数学期望，然后解不等式即可.【详解】（1）设事件“该4S店一名销售员的绩效工资大于”为A，则事件A等价于“该销售员月售车台数不小于3”，．（2）设事件“该4S店一名销售员上个月工资大于”为B，事件“该销售员上个月卖出去3台车”为C，则，，故．（3）该4S店一名销售员月工资X的分布列为XtP0.320.280.130.120.090.06所以，由，得，即基础工资至少应定为6300元．21．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可；（2）利用导数研究的单调性与极值，根据单调性判定极值的范围即可.【详解】（1）由已知得，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由题意知，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．因为，，，所以有两个零点，且，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即是唯一极小值点，所以．由得，所以，设函数，易知在上单调递减，所以．综上，．22．(1)(2)存在； 【分析】（1）根据双曲线的渐近线以及，列出关于的方程，即可求得答案；（2）由题意可求得点的坐标，进而表示出的表达式，利用其表达式分子分母系数成比例，可求得定值，进而可得结论.【详解】（1）因为C的渐近线方程为，所以,①设，直线的方程为，将其代入C的方程得，所以,②由①②可解得，，所以C的方程为．（2）由（1）知，，所以l的方程为，因为l与直线相交，故，方程整理为．直线的方程为，所以l与直线的交点为，l与直线的交点为，则．因为在C上，所以，即，所以,由题意知：假设当变化时上式为定值，则分子、分母中对应项的系数成比例，则，解得（舍去），此时，即，因此，存在符合条件．【点睛】难点点睛：探求直线和双曲线的位置关系中的定值问题，要结合直线方程求出点的坐标，从而表示出的表达式，难点在于如何确定该式的定值，因此要结合其表达式，利用系数对应成比例，求解答案.