四川省成都市玉林中学2022-2023学年高三理科数学高考模拟考试试题（Word版附解析）

成都市玉林中学高2020级高考模拟考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．1<x<3   B．0<x<2

C．x<2   D．0<x≤2

答案　B

解析　由≥1得0<x≤2，

依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.

2.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性

C．甲生产线的产品尺寸均值大于乙生产线的产品尺寸均值

D．甲生产线的产品尺寸均值小于乙生产线的产品尺寸均值

答案　A

解析　由图知甲、乙两条生产线的均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性．

3.设是纯虚数，若是实数，则的虚部为（      ）

A． B． C．1 D．3

【答案】D

【详解】设，

则，

因为是实数，所以，即，所以，故的虚部为3.

故选：D.

4.羽毛球运动是我校春季特色体育运动会的传统项目，深受全校师生喜爱。标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（    ）

A.               B.              C.                 D.

【答案】C

5.如图，的值为（     ）

A．         B． 

C．                     D．

答案　B

6.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示．

一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方中数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方中数的和S3＝45，那么S9等于(　　)

A．3321   B．361

C．99   D．33

答案　A

解析　由题意知，S9＝1＋2＋3＋…＋92＝＝3 321.

7.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)

A.9  B.8  C.7  D.6

答案　B

解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.

8.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（     ）

A．2 B．3 C．或   D．2或4

【答案】C

【分析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点；再根据圆的性质得到为等边三角形，从而求出的值.

【详解】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.

设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.

因为为，所以，即为等边三角形，

所以，即或，解得或.

故选：C.

9.已知函数，，则图象为如图的函数可能是　　

A． B． 

C． D．

【解析】：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，

因为为偶函数，为奇函数，

函数为非奇非偶函数，故选项错误；

函数为非奇非偶函数，故选项错误；

函数，则对恒成立，

则函数在上单调递增，故选项错误．故选：．

10.已知函数在上单调递增，则f(x)在(0,2π)上的零点可能有(　　)

A．2个   B．3个

C．4个   D．5个

答案　A

解析　由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋≤x≤＋，k∈Z，取k＝0，可得－≤x≤.

若f(x)在上单调递增，则解得0<ω≤.

若x∈(0,2π)，则ωx＋∈.设t＝ωx＋，

则t∈，因为2ωπ＋∈，

所以函数y＝sin t在上的零点最多有2个．

11.将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是(　　)

A．P(A)P(B)＝P(AB)                    B．P(A)P(C)＝P(AC)

C．P(B|A)＝                         D．P(C|A)＝

答案　D

解析　将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有CA＝36(个)基本事件，

事件A包含的基本事件数为A＋CA＝12，则P(A)＝＝，

同理，P(B)＝P(C)＝，

事件AB包含的基本事件数为A＝2，则P(AB)＝＝，

事件AC包含的基本事件数为C＋CC＝5，则P(AC)＝，

因为P(A)P(B)＝≠P(AB)，故A错误；

因为P(A)P(C)＝≠P(AC)，故B错误；

因为P(B|A)＝＝，故C错误．

因为P(C|A)＝＝，故D正确；

12.对于非空实数集，记．设非空实数集合，若时，则．现给出以下命题：

①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；

②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；

③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；

④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数，使得对任意的，恒有，

其中正确的命题是(　　)

A．①③            B．①④            C． ②③        D．②④

答案　B

解析　由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合．

     ①因为，设集合M和P中最大值分别为m和p，则，故有；

     ②设，则，故；

     ③设，则，故；

     ④令，则对任意的，，故恒有。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

答案　0

解析　依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.

14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.

①；②

【答案】

【解析】可构造等比数列，，则公比为负数，，

取

15.经过椭圆＋y2＝1中心的直线与椭圆相交于M，N两点(点M在第一象限)，过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则∠NMP的大小为________．

【答案】.

【详解】设M(x1，y1)(x1>0，y1>0)，P(x0，y0)，

则N(－x1，－y1)，E(x1，0)，

所以kMN＝，kPN＝kEN＝＝，kPM＝，

kPN×kPM＝·＝＝－，

所以kPN＝－＝，所以kPM＝－.

所以kMN×kPM＝×＝－1，所以MN⊥MP，所以∠NMP= .

16.已知长方体ABCD－A1B1C1D1的高为，两个底面均为边长为1的正方形，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为________.

答案　

解析　法一　根据题意作图，如图所示，过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.

由题意得BD1＝2.

因为长方体对面平行，

所以截面BFD1E为平行四边形，则S四边形BFD1E＝2S△BFD1＝2×BD1·h＝2h，

当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.

易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.

易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，

hmin＝，(S四边形BFD1E)min＝2×＝.

故四边形BFD1E面积的最小值为.

法二　(射影面积法)设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l.

如图所示，过D1作D1H⊥l于H.

连接DH，则∠D1HD为二面角D1－l－D的平面角，设为θ.

根据射影面积公式S四边形BFD1E·cos θ＝S四边形ABCD，得S四边形BFD1E＝，

则当cos θ最大时，S四边形BFD1E最小.

当cos θ最大时，分析易知DH最长.

又DH最长为DB＝，所以cos θ最大值为，

因为S四边形ABCD＝1，

所以四边形BFD1E面积的最小值为.

点津突破　1.破解本题的关键是探求点F到BD1的距离的最小值，即寻找点F在何处时FH与CC1，BD1同时垂直.

2.如图所示，AD⊥平面α，∠AHD＝θ是二面角A－BC－D的平面角，由cos θ＝，可得△ABC的面积、△ABC在过其底边BC的平面α上的射影△DBC的面积及θ之间的关系：S△DBC＝S△ABC·cos θ，本题用射影面积法找截面与底面所成二面角的最小角是关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．

(1)求证：C1M⊥B1D；

(2)求二面角B－B1E－D的正弦值。

(1)证明　如图，依题意，以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)．

则＝(1,1,0)，＝(2，－2，－2)，

∵·＝2－2＋0＝0，∴C1M⊥B1D.

(2)解　依题意，＝(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，＝(0,2,1)，＝(2,0，－1)．

设n＝(x，y，z)为平面DB1E的法向量，

则即不妨设x＝1，可得n＝(1，－1,2)．

∴cos〈，n〉＝＝，

∴sin〈，n〉＝＝.

∴二面角B－B1E－D的正弦值为.

18.如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；

(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果．

参考数据：＝54， (ti－)(yi－)＝21，≈3.74，

 (yi－i)2＝.

参考公式：线性回归方程＝＋t，＝，＝－ .

相关指数：R2＝1－．

解　(1)由折线图中的数据得

＝54，＝＝＝，

所以＝－ ＝54－×4＝51，

所以y关于t的线性回归方程为＝t＋ ＝t＋51.

将2025年对应的t＝10代入得 ＝×10＋51＝58.5，

所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨．

(2)因为R2＝1－＝1－×＝1－＝＝0.875，

所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的．

19.（本题满分12分）

在△ABC中，D为边BC上一点，，，．

（1）求；

（2）若，求△ABC内切圆的半径.

解：（1）设，∴，，

在△ADC中，由正弦定理可得，

在△ABD中，，又，

所以，∴，

∴，∴．

（2）∵，

∴，又易知为锐角，

∴，∴，，∵，∴，

∴△ABD中，，

又，

在△ABC中，由余弦定理可得，

∴．设△ABD的内切圆半径为r，则

，则

20.（本题满分12分）

已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．

（1）当k变化时，求点M的轨迹方程；

（2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解：（1）（法1）设，，．

联立直线l与双曲线E的方程，得，

消去y，得．

由且，得且．

由韦达定理，得，．

所以，．

由消去k，得．

由且，得或．

所以，点M的轨迹方程为，其中或．

（法2）设，，．

（ⅰ）当时，易得．

（ⅱ）当时，，

由，两式相减，整理得．

而，，，

所以，即．

综上，点M的轨迹方程为（除去的一段）．

（2）（法1）双曲线E的渐近线方程为．

设，，联立得，同理可得，

因为，

所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．

所以，A，B为线段CD的两个三等分点．

即，．

而，．

所以，，解得，

所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．

（法2）双曲线的渐近线方程为．

设，，

联立直线l与双曲线E的渐近线方程，得，消去y，得．

由韦达定理，得线段CD的中点横坐标为．

所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．

所以，A，B为线段CD的两个三等分点．

所以，，

解得，

所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．

21.（本题满分12分）已知函数

（1）若求在区间上的值域；

（2）若有唯一极值点，求实数的取值范围.

（1）当时，                                 ·····2分

在 上单调递增， 上单调递减

                        ·····5分

（2）有唯一极值点有唯一变号零点

有唯一变号零点

有唯一变号零点                                         ·····7分

当时，显然成立；                                                               ·····8分

当且时，

在上单调递增，在上单调递减，不可能仅有一个变号零点；           ·····10分

当时，（）

仅在上有一个变号零点

综上，                                                               ·····12分

22.（本题满分10分）

在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知是曲线上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值.

【详解】（1）由曲线（为参数），

消去参数，得，

所以曲线的直角坐标方程为.

又由，得，

所以曲线的极坐标方程为.

由曲线，得，即，

所以曲线的普通方程为.

（2）由题意，设，则，

又曲线与直线有且仅有一个公共点，故为点到直线的距离，

由曲线的极坐标方程，得，

所以，，

所以，即，所以；

又，

所以，

即所求实数的值为.