九年级下学期第一次月考数学试卷

这是一份九年级下学期第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级下学期第一次月考数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下面各数中最小的数是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．2
2．如图所示图形中，是中心对称图形的是（　　）
A. B． C． D．
3．2021年3月，十三届全国人大四次会议在人民大会堂如期召开，会议上提到2021年预计完成新开工改造城镇老旧小区53000个．其中数据53000用科学记数法表示为（　　）
A．0.53×104 B．5.3×104 C．5.3×103 D．53×103
4．估计的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
5．观察如图的规律，第（1）个图形中有5个小圆圈，第（2）个图形中有8个小圆圈，第（3）个图形中有11个小圆圈，则第（5）个图形中小圆圈的个数是（　　）

A．14个 B．17个 C．18个 D．20个
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（2，3）、C（4，1），以原点为位似中心，在原点同侧画△DEF，使△ABC和△DEF成位似图形，且相似比为1：2，则点E的坐标为（　　）

A．（4，6） B．（2，2）
C．（8，2） D．（4，6）或（﹣4，﹣6）
7．如图，AB是圆O的直径，C、D在圆上，连接AD、CD、AC、BC．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
8．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．周末，小依骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．设他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：
①小依中途休息了2分钟；
②小依休息前骑车的平均速度为每分钟400米；
③小依在上述过程中所走的路程为4400米；
④小依休息前骑车的平均速度小于休息后骑车的平均速度．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（　　）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）

A．1.4米 B．3.9米 C．4.0米 D．16.6米
11．若整数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．4
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，连接对角线AC，AC∥x轴，点F为AD边的中点，点G在对角线AC上，已知点F、G均在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，OB：AG＝1：3，S△ABF＝10，则k的值为（　　）

A．20 B． C．24 D．
二、填空题：（本愿共6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上.
13．计算：（）0+（）﹣1＝　 　．
14．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　 　．
15．重庆一中即将举行90周年校庆文艺汇演，初三（二）班有两名男生一名女生报名参加，初三（五）班有一名男生两名女生报名参加．若分别从这两个班的报名同学中随机地各选一名同学，则选中的两名同学恰好一男一女的概率是　 　．
16．如图，在三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点，以点O为圆心，2为半径画弧分别与AC、BC相切于点D、点E，与AB交于点F．则图中阴影部分面积为　 　．

17．如图，在菱形ABCD中，BC＝5，∠ABC＝120°．点E和点F分别是AD边和BC边上的点，连接EF．将四边形CDEF沿EF折叠，得到四边形CD'EF，点D的对应点D'恰好落在AB边上，连接D'F，若BD'＝3，则△D'EF的面积是　 　．

18．尚依钟妈妈的“陪读面膜淘宝店”于2020年1月正式营业，该店主要销售“补水面膜”、“美白面膜”、“修复面膜”，去年上半年，“美白面膜”和“修复面膜”共销售了300盒，已知“补水面膜”每盒的售价为60元，每盒利润率为50%，且它每盒的成本比“美白面膜”每盒的成本多5元，比“修复面膜”每盒的成本少15元．去年下半年，“补水面膜”的销售量与上半年一样，“美白面膜”销量减少一半，“修复面膜”的销量是上半年的3倍，但三种面膜的总销售量下半年比上半年多100盒．“补水面膜”的成本没变，售价减少了2元，“美白面膜”售价、成本均未改变，“修复面膜”的售价增加8元、成本增加1元．发现上半年“补水面膜”的销售额占上半年三种面膜总销售额的，同时，“美白面膜”全年的总利润是“补水面膜”全年总利润的．那么，在去年上半年的销售中10盒“美白面膜”的销售额比1盒“修复面膜”的销售额多　 　元．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19计算：
（1）（3+x）（3﹣x）﹣x（2﹣x）；
（2）（﹣a﹣3）÷．
20如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．
（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；
（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．


21每年3.12是我国植树节，为了解学生对环保知识的掌握情况，增强学生环保意识，某学校举行了环保知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下而给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，6，10，7，6，5，9，10，9，9，5，8，8，6，7，9，8，8，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.55
a
8
八年级
7.55
7
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b的值：
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握环保知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级分别有900名、600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的学生约有多少名？
22多肉植物是指一种在根、茎、叶三种营养器官中，叶肥厚多汁并且具备储藏大最水分功能的植物，也称“多浆植物”．因其外形可爱、品种繁多受到很多人的喜爱．芬多多因为对多肉植物的喜爱，大学毕业后便回到家乡开始了多肉植物种植．她主要种植“黑法师”和“桃蛋”两种多肉植物，已知两种多肉植物共种植了3000颗．为了提高销量，芬多多计划将4颗“黑法师”装到一盆，8颗“桃蛋”装到一盆进行销售，这样恰好共装满625盆．
（1）芬多多种植“黑法师”多少颗？
（2）在分装过程中，芬多多突然决定拿出部分“黑法师”和“桃蛋”配成混合多肉植物组合，已知每盆混合多肉植物组合中，“黑法师”数量是“桃蛋”的a倍，恰好组合完成，两种多肉植物共用了1400颗，其中“桃蛋”用了450a颗，则组合多肉植物中用了多少颗“黑法师”？
23学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合己有的学习经验，下面我们对函数y1＝的图象和性质进行探究，请将以下探究过程补充完整：

x
…
﹣4
0
2

3

4
5
6
…
y
…
﹣6
2
m

n




…
（1）根据表格中的数据直接写出：a＝　　，b＝　　，m＝　　，n＝　　．
（2）请描点、连线，并在所给的平面直角坐标系中画出上述函数的图象（图中已经描出部分点）；
（3）结合图象，写出该函数的一条性质：　　；
（4）已知直线y2＝x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程y1＝y2的解（保留1位小数，误差不超过0.2）．
24对任意一个三位数m，将m的各个数位上的数字分别加2得到一个新的三位数m′，并且在这一过程中各个数位均不产生进位，则称m为“真牛数”，m'为m的“猛牛数”．把“真牛数”m与“猛牛数”m'的和与37的商记为F（m）．例如：n＝315是一个“真牛数”，理由如下：3+2＝5＜9，1+2＝3＜9，5+2＝7＜9．∴315是一个“真牛数”，它F（n）＝＝＝；
（1）判断678 　　（填“是”或者“不是”“真牛数”：计算F（370）＝　　；
（2）若s、t都是“真牛数”，s的百位数字为1，t的百位数字为3，t的个位数字是s个位数字的3倍，则F（s）+F（t）＝36，求s的值．
25如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣交x轴于A、B两点（点A在点B左侧）．一次函数y＝x+b与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）点E是线段CD上任意一点，过点E作EF⊥y轴于点F，过点E作EP⊥AD交抛物线于点P．点P位于直线AD下方，求PE+EF的最大值及相应的P点坐标；
（3）将抛物线沿射线AD方向平移个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线与原抛物线交于点K．M、N是直线AD上两动点（M在N的左侧），满足MN＝3．是否存在以M、N、K为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上）
26在平行四边形ABCD中，AE⊥EC于点E，AE＝EC．
（1）如图1，连接BD，若tan∠ADC＝3，BE＝1，求BD的值；
（2）如图2，连接AC，F是AC的中点，过点E作EG⊥AB于点G，延长GE交DC的延长线于点H，连接FH．请猜想CH、AG、FH的关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（1）的条件下，将△ABE绕点E顺时针旋转一定的角度α（0°＜a＜90°），得到△A'B'E，当∠A'＝∠A'EA时，停止旋转，此时边A'B'与边AE交于点P．点M是边BC上一动点，点N是平面内一点，△DMN是等边三角形，直接写出PN的最小值．


参考答案
一．选择题（共12小题）
1． A．
2． D．
3． B．
4． B．
5． B．
6． A．
7． C．
8．A．
9． B．
10． B．
11． B．
12． C．
二．填空题（共6小题）
13． 3．
14．八．
15．．
16． +2．
17． ．
18． 420．
三．解答题
19
解：（1）原式＝9﹣x2﹣2x+x2
＝9﹣2x；

（2）原式＝•
＝•
＝•
＝﹣．
20
解：（1）如图所示；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，∠BED＝90°，
∵BA⊥AC，
∴∠CAB＝90°，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝31°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠B）＝118°，
∴∠AED＝∠QEB﹣∠BED＝118°﹣90°＝28°．

21
解：（1）七年级20名学生测试成绩出现次数最多的是8分，共出现5次，因此众数是8，即a＝8，
将八年级20名学生的测试成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是7分，因此中位数是7，即b＝7，
答：a＝8，b＝7；
（2）由于七、八年级学生的测试成绩的平均数相同，但七年级学生测试成绩的众数、中位数均比八年级高，因此七年级学生测试成绩较好；
（3）900×+600×＝765（人），
答：该校参加测试的七年级900名、八年级600名学生中成绩为优秀的学生约有765名．
22
解：（1）设芬多多种植“黑法师”x颗，
则+＝625，
解得，x＝2000，
∴芬多多种植“黑法师”2000颗．
（2）450a＝
解得，a＝或﹣，a＝﹣（舍），
∴a＝，
设桃蛋有y颗，
y+y＝1400，
解得，y＝420，
∴黑法师有：1400﹣420＝980（颗）．
23
解：（1）∵x＝﹣4时y＝6，
∴6＝﹣4a+2，解得a＝﹣1，
∴x＜2时，y1＝﹣x+2，
∵x＝时y＝，
∴＝，解得b＝6，
∴x≥2时，y1＝，
将x＝2代入y1＝得y1＝＝6，
∴m＝6，
将x＝3代入y1＝得y1＝＝，
∴n＝，
故答案为：﹣1，6，6，；
（2）函数图象如图所示：

（3）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小．
（4）观察图象可知，方程y1＝y2的解约为x1＝﹣1.5，x2＝3.3．
24
解：（1）∵6+2＝8＜10，7+2＝9＜10，8+2＝10，
∴678的个位数加2会产生进位，故678不是“真牛数”，
∵3+2＝5＜10，7+2＝9＜0，0+2＝2＜0，
∴370是“真牛数”，
∴F（370）＝＝26，
故答案为：不是，26；
（2）根据题意，设s的个位数为x，则t的个位数为3x，s的十位数为y，t的十位数为z．
此时s表示为：100+10y+x，t表示为 300+10z+3x．
∵“真牛数”中各个位要小于8，且全部为整数．
3x＜8，x＝0或1或2．
+＝36．
将实数与实数相加，x与x相加，y与y相加，z与z相加．化简得到
8x+20y+20z＝88．
由于x，y，z全部是整数，且y＜8，z＜8，因此x＝1．（若x＝0或者2，则y和z无论如何也无法取整数），
将x代入上式化简可得，y+z＝4．
因此y可能为0，1，2，3，4．
所有s可能为101，111，121，131，141．
25
解：（1）令y＝0得：x2﹣x﹣＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
将A（﹣1，0）代入y＝x+b得：0＝﹣+b，
∴b＝，
∴AD的解析式为y＝x+，
联立，解得x＝﹣1（舍），x＝4，
∴；
（2）过P作PG∥y轴，交FE延长线于G，如图：

∵E在线段CD上，
∴设E（m，m+），0≤m≤4，
∴EF＝m，
∵PE⊥AD，
∴∠GEP＝90°﹣∠CEF＝∠ECF＝∠ACO，
且∠G＝∠AOC＝90°，
∴△AOC∽△PGE，
∴＝，
由AD的解析式为y＝x+知OC＝，OA＝1，
∴OA＝2OC，
∴PG＝2EG，PE＝EG，
设EG＝a，则PG＝2a，
∴P（m+a，m+﹣2a），
代入y＝x2﹣x﹣得：m+﹣2a＝（m+a）2﹣（m+a）﹣，
解得：a＝﹣m﹣1﹣或a＝﹣m﹣1+，
∵点P在AD下方，
∴a＝﹣m﹣1+，
∴P（﹣1+，+﹣2）
∴PE＝a＝﹣m﹣+5，
∴PE+EF＝﹣5m﹣5+5+m＝﹣m﹣5+5，
设＝t，则m＝﹣1，
∴PE+EF＝﹣（﹣1）﹣5+5t＝﹣t2+5t﹣＝﹣（t﹣）2+，
∴t＝即m＝时，PE+EF的最大值为，
此时P（，﹣）；
（3）存在，理由如下：
∵OA＝2OC，
∴抛物线沿射线AD方向平移个单位长度得到新抛物线y'，相当于向右平移1个单位，再向上平移个单位，
∴y'＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣+＝x2﹣2x+，
由得，
∴K（2，﹣），
设M（a，a+），则N（a+6，a+），
∴KM2＝（a﹣2）2+（a++）2＝a2﹣2a+8，KN2＝（a+4）2+（a+5）2＝a2+13a+41，
①当∠NMK＝90°时，如图：

∵KM2+MN2＝KN2，
∴a2﹣2a+8+（3）2＝a2+13a+41，
解得a＝，
∴M（，）；
②当∠MNK＝90°时，如图：

∵KN2+MN2＝KM2，
∴a2+13a+41+45＝a2﹣2a+8，
解得a＝﹣，
∴M（﹣，﹣）；
③当∠MKN＝90°时，如图：

∵KM2+KN2＝MN2，
∴a2﹣2a+8+a2+13a+41＝45，
解得a＝﹣或a＝﹣4，
∴M（﹣，）或M（﹣4，﹣），
综上所述，M坐标为（，）或（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣4，﹣）．
26
解：（1）如图1，过点D作DF⊥BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABE＝∠ADC，
∴∠DCF＝∠ABE，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°，
在△DFC和△AEB中，
，
∴△DFC≌△AEB（AAS），
∴CF＝BE＝1，DF＝AE，
又∵∠ABE＝∠ADC，tan∠ADC＝3，
∴tan∠ABE＝＝tan∠ADC＝3，
∴AE＝3，
∴DF＝AE＝3，
又∵AE＝EC，
∴EC＝3，
∴BF＝BE+EC+CF＝5，
在Rt△BDF中，BD＝＝；
（2）猜想：FH＝CH+AG．理由如下：
如图2，连结GF、EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵EG⊥AB，
∴EG⊥DH，
∴∠BGH＝∠AGH＝∠GHD＝90°，
∵AE⊥EC，AE＝EC，
∴△AEC是等腰直角三角形，
又∵F是AC的中点，即AF＝CF，
∴EF⊥AC，∠EAF＝∠ECF＝∠AEF＝∠CEF＝45°，AF＝EF＝CF，
∵∠AGH＝∠GHD＝90°，AE⊥EC，延长GE交DC的延长线于点H，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠CEH＝90°，
∴∠GAE＝∠CEH，而∠EAF＝∠CEF＝45°，
∴∠GAE+∠EAF＝∠CEH+∠CEF，
即∠GAF＝∠HEF，
在△AGE和△EHC中，
，
∴△AGE≌△EHC（AAS），
∴AG＝EH，GE＝HC，
在△AGF和△EHF中，
，
∴△AGF≌△EHF（SAS），
∴FG＝FH，∠AFG＝∠EFH，
∵∠AFG+∠GFE＝∠AFE＝90°，
∴∠EFH+∠GFE＝90°，即∠GFH＝90°，
∴△GFH为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：GH＝FH，
又∵GH＝GE+EH，AG＝EH，GE＝HC，
∴FH＝CH+AG；
（3）如图3，过点D作DR⊥BC于点R，在直线BC上R两侧各取一点M′、N′，使∠RM′D＝∠RN′D＝60°，
∴△DM′N′是等边三角形性质，
∴DM′＝DN′，∠M′DN′＝60°，∠DM′M＝180°﹣∠RM′D＝120°，
由（1）知，BE＝1，AE＝EC＝3，
∴AB＝CD＝＝，
∵∠A'＝∠A'EA，A′E＝AE＝3，B′E＝BE＝1，
∴A′E∥AB，tan∠A′＝＝，
∴tan∠A'EA＝tan∠A′＝，
作PH⊥A′E，则EH＝A′E＝，
∴PH＝EH•tan∠A'EA＝×＝，
∴PE＝＝＝，
∵△DMN是等边三角形，
∴DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴∠MDM′+∠M′DN＝60°，
又∵∠NDN′+∠M′DN＝60°，
∴∠MDM＝∠NDN′，
∴△MDM′≌△NDN′（SAS），
∴∠DMM′＝∠DNN′＝60°，∠DM′M＝∠DN′N＝120°，
∴∠BN′N＝∠DN′N﹣∠DN′M′＝120°﹣60°＝60°，
∴点N始终在直线N′N上，PN的最小值为P到直线N′N的距离，
过点P作PN″⊥N′N于N″，
则∠PN″N′＝90°，
∵∠AER＝∠DRN′＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCR＝∠ABE，
∴△DCR≌△ABE（AAS），
∴CR＝BE＝1，DR＝AE＝3，
在Rt△DRN′中，RN′＝＝＝，
∴EN′＝EC+CR+RN′＝4+，
设PN″交BC于点T，则∠PTE＝∠N′TN″＝90°﹣60°＝30°，
∴ET＝＝＝，PT＝2PE＝，
∴TN′＝EN′﹣ET＝4+﹣，
∴TN″＝TN′•cos∠N′TN″＝（4+﹣）×cos30°＝2+﹣，
∴PN″＝PT+TN″＝+2+﹣＝．