2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值

这是一份2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值，共43页。试卷主要包含了已知函数，若抛物线与直线l等内容，欢迎下载使用。
中考专题训练——二次函数的最值
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连接AC．
(1)填空：该抛物线的函数解析式为 ，其对称轴为直线 ；
(2)若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
(3)在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，顶点D的坐标分别为A（﹣1，0），D（1，m）．
（1）当OB=OC时，直接写出抛物线的解析式；
（2）直线CD必经过某一定点，请你分析理由并求出该定点坐标；
（3）点P为直线CD上一点，当以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求m的值．

3．如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．

4．如图，二次函数 y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝．
(1)则 A、B 两点的坐标分别为 A( ， )； B( ， )；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M 使|MC﹣MB|的值最大，则点M 的坐标为 ．

5．如图，抛物线y=x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=x+b相交于点B，点C，直线y=x+b与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

6．如图，二次函数y=ax2+bx+c与直线相交于A、B两点，A点在y轴上，当x=6时，二次函数有最大值，最大值为10，点C是二次函数图象上一点（点C在AB上方），过C作CD⊥x轴，垂足为点D，交AB于点E，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F．

（1）求二次函数的表达式；
（2）当点C在何位置时，线段CE有最大值？请求出点C的坐标及CE的最大值；
（3）当点C在何位置时，线段BE与线段CF互相平分？请求出点C的坐标．
7．抛物线y=－x2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标及直线BC的解析式；
（3）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，求△BDC的面积的最大值．
8．如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；                                 
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知函数（为常数）．
(1)无论取何值，函数图象都过定点_________．
(2)若对于任意实数，函数的图象始终在轴下方，求的取值范围；
(3)若，设函数（为常数）图象的顶点为，且与经过点的直线相交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．求证：三点共线．
10．若抛物线与直线l：的一个交点为P，M是该抛物线的顶点．
(1)若点P的坐标为，求该抛物线的解析式；
(2)求点M的纵坐标的最大值；
(3)若，点P在y轴上，直线l与抛物线的另一个交点是Q，当时，请直接写出m的值．
11．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．




12．已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出使的值最小时点P的坐标；
(3)在第三象限中的抛物线上是否存在一点Q，使的面积最大？若存在，求出Q点的坐标及面积的最大值；若不存在，说明理由．
13．已知二次函数与的图象开口朝上．
(1)当a＝1时，讨论函数的增减性；
(2)若与的图象有两个交点为A、B．请求出这两个交点的横坐标；
(3)记与的最小值分别为m、n．若m＞0，n＞0，且mn＝4，求的值．
14．如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点．

(1)若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点，点P是二次函数图象上的一点．

(1)求二次函数和直线BC的解析式；
(2)若点P在直线BC的下方，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当时，求点P的横坐标．
16．如图，二次函数经过点，与x轴的负半轴，y轴正半轴交于点B，C，点G为抛物线的顶点．

(1)求b的值和点G的坐标；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值．
17．如图，在在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，点C（0，6）是抛物线与y的交点．
（1）求抛物线与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左边）；
（2）设直线y＝h（h为常数，0＜h＜6）与直线BC交于点D，与y交于点E，与AC交于点F，连AE，定点M的坐标为（﹣2，0）．
①求h为何值时，△AEF的面积S最大；
②问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．


18．如图，抛物线与斜交于点，，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点为该抛物线对称轴上一点，当最小值，求点的坐标．
（3）抛物线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

19．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）是直线右侧的该抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．定义: 在平面直角坐标系中，如果点和都在某函数的图象上，则称点是图象的一对“相关点”．例如，点和点是直线的一对相关点．

请写出反比例函数的图象上的一对相关点的坐标；
如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点．
求抛物线的解析式:
若点是抛物线上的一对相关点，直线与轴交于点，点为抛物线上之间的一点，求面积的最大值．

参考答案：
1．（1）见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）把代入抛物线中列方程组，解出可得b和c的值，可得抛物线的解析式，配方成顶点式可得对称轴；
（2）先利用待定系数法求直线AC的解析式，再设点P的坐标，并表示点Q的坐标，根据铅直高度表示PQ的长，并配方可得PQ的最大值；
（3）分两种情况：①当D在线段OA上时，如图1，根据△AEQ∽△ADC，由EQ=EA，得CD=AD，利用勾股定理解决问题；②当D在点B的左侧时，如图2根据三角形相似，由EQ=EA可得OA=OD，可得D的坐标．
【解析】．解：（1）把代入抛物线中得：

解得：  
∴
∴抛物线的函数解析式为：其对称轴为直线：  
故答案为
(2)∵A(4,0),C(0,3)，
∴直线AC的解析式为：
设,则
∴
∵P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
∴0