【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第4讲 有理数的乘除法（含解析）

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第4讲 有理数的乘除法

1. 掌握有理数乘除法法则；
2. 掌握倒数的定义；
3. 会进行有理数乘除的混合运算。

知识点01 有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三)
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

1．﹣2×3＝(　　)
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣23
2．计算﹣4×(﹣2)的结果等于(　　)
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
3．若abc＞0，其a、b、c(　　)
A．都大于0 B．都小于0
C．至少有一个大于0或三个大于0 D．至少有一个小于0
4．已知|a|＝4，|b|＝2，那么ab＝　 　．
5．用“＞”，“＜”或“＝”号填空：若a＜c＜0＜b，则abc　 　0；若a＜b＜c＜0，则abc　 　0．
6．计算：
(1)(﹣)×(﹣)×(﹣)； (2)(﹣5)×(﹣)××0×(﹣325)．





7．简便方法计算：
①(﹣﹣)×(﹣27)； ②﹣6×+4×﹣5×．



知识点02 倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1(a≠0)，就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1Û a、b互为倒数；若ab=-1Û a、b互为负倒数.
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。(求一个数的倒数，不改变这个数的性质)；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

8．﹣的倒数是(　　)
A．﹣2 B． C．﹣ D．±
9．2021的相反数的倒数是(　　)
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
10．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为(　　)
A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
11．﹣1的倒数是 　 　，﹣8的倒数是 　 　，的倒数是 　 　，的倒数是 　 　，﹣1的倒数是 　 　，　 　的倒数是﹣2．
12．若a，b互为倒数，则a×b﹣5＝　 　．
13．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．
(1)直接写出a+b，cd，m的值；
(2)求m+cd+的值．




知识点03 有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.
(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

14．计算：(﹣8)÷2的结果是(　　)
A．﹣16 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣12
15．计算(﹣10)÷(﹣5)的结果等于(　　)
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
16．若ab＜0，则的值是(　　)
A．大于0 B．小于0
C．大于或等于0 D．小于或等于0
17．计算：＝　 　．
18．计算：＝　 　．
19．计算：3÷1÷2．



20．计算：．



知识点04 有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

21．计算(﹣9)÷×的结果是　 　．
22．计算(﹣48)÷÷(﹣12)×的结果是　 　．
23．计算：．




24．计算：(﹣)÷(﹣2)×．





一．选择题
1．﹣2021的倒数为(　　)
A． B． C．﹣2021 D．2021
2．计算(﹣3)×(﹣2)的结果等于(　　)
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
3．若ab＜0，则的值(　　)
A．是正数 B．是负数 C．是非正数 D．是非负数
4．在①任何两个互为相反数的数的商为﹣1；②任何一个不是1的正数都大于它的倒数；③若a＞b＞0，则；④若，则﹣1＜a＜0中，正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知|x|＝5，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值是(　　)
A．7 B．﹣3 C．7或﹣3 D．7或﹣7
6．下列说法：
①如果两个数的和为1，则这两个数互为倒数；
②如果两个数积为0，则至少有一个数为0；
③绝对值是本身的有理数只有0；
④倒数是本身的数是﹣1，0，1．
其中错误的个数是(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题
7．计算：﹣0.125÷＝　 　．
8．计算：﹣100÷10×＝　 　．
9．如果a的倒数为﹣1，那么a2019等于 　 　．
10．两个非零的有理数的和是0，则它们的商是　 　．
11．已知有4个有理数相乘，积的符号是负号，那么这4个有理数中正数有　 　个．
12．若有理数x，y的乘积xy为正，则的值为　 　．
三．解答题
13．做一做：
①5的倒数是 　 　；
②2的倒数是 　 　；
③0.1的倒数是 　 　；
④﹣3.75的倒数是 　 　；
⑤﹣3的倒数是 　 　；
⑥﹣0.15的倒数是 　 　．
14．计算：(﹣0.25)×(﹣25)×(﹣4)．



15．计算：2÷1×0.875




16．下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷(﹣)×(﹣3)
＝[2÷(﹣)+2]×(﹣3)，①
＝2×(﹣3)×(﹣3)+2×4×(﹣3)，②
＝18﹣24，③
＝6，④
(1)佳佳同学开始出现错误的步骤是　 　；
(2)请给出正确的解题过程．




17．计算：
(1)(﹣85)×(﹣25)×(﹣4)；




(2)﹣；



第4讲 有理数的乘除法

4. 掌握有理数乘除法法则；
5. 掌握倒数的定义；
6. 会进行有理数乘除的混合运算。

知识点01 有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三)
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

1．﹣2×3＝(　　)
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣23
【解答】解：﹣2×3＝﹣6．
故选：A．
2．计算﹣4×(﹣2)的结果等于(　　)
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
【解答】解：原式＝4×2＝8．
故选：C．
3．若abc＞0，其a、b、c(　　)
A．都大于0
B．都小于0
C．至少有一个大于0或三个大于0
D．至少有一个小于0
【解答】解：∵abc＞0，
∴a、b、c有一个大于0，另外两个小于0或三个大于0．
故选：C．
4．已知|a|＝4，|b|＝2，那么ab＝　8或﹣8　．
【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2，
∴a＝±4，b＝±2，
∴a＝4，b＝2时，ab＝4×2＝8；
当a＝4，b＝﹣2时，ab＝4×(﹣2)＝﹣8．
当a＝﹣4，b＝2时，ab＝(﹣4)×2＝﹣8．
当a＝﹣4，b＝﹣2时，ab＝(﹣4)×(﹣2)＝8．
∴ab的值为8或﹣8．
故答案为：8或﹣8．
5．用“＞”，“＜”或“＝”号填空：若a＜c＜0＜b，则abc　＞　0；若a＜b＜c＜0，则abc　＜　0．
【解答】解：若a＜c＜0＜b，则abc＞0；若a＜b＜c＜0，则abc＜0，
故答案为：＞，＜．
6．计算：
(1)(﹣)×(﹣)×(﹣)；
(2)(﹣5)×(﹣)××0×(﹣325)．
【解答】解：(1)(﹣)×(﹣)×(﹣)
＝﹣××
＝﹣；
(2)(﹣5)×(﹣)××0×(﹣325)
＝0．
7．简便方法计算：
①(﹣﹣)×(﹣27)；
②﹣6×+4×﹣5×．
【解答】解：①原式＝
＝﹣6+9+2
＝5．
②原式＝×(﹣6+4﹣5)
＝(﹣7)
＝﹣3．
知识点02 倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1(a≠0)，就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1Û a、b互为倒数；若ab=-1Û a、b互为负倒数.
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。(求一个数的倒数，不改变这个数的性质)；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

8．﹣的倒数是(　　)
A．﹣2 B． C．﹣ D．±
【解答】解：﹣的倒数是：﹣2．
故选：A．
9．2021的相反数的倒数是(　　)
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021，
﹣2021的倒数是﹣，
故选：C．
10．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为(　　)
A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
【解答】解：根据题意得：ab＝1，
则2ab﹣5＝2﹣5＝﹣3．
故选：C．
11．﹣1的倒数是 　﹣1　，﹣8的倒数是 　﹣　，的倒数是 　﹣7　，的倒数是 　　，﹣1的倒数是 　﹣　，　﹣　的倒数是﹣2．
【解答】解：由乘积为1的两个数互为倒数得，
∵﹣1×(﹣1)＝1，
∴﹣1的倒数是﹣1；
∵﹣8×(﹣)＝1，
∴﹣8的倒数是﹣；
∵﹣×(﹣7)＝1，
∴﹣的倒数是﹣7；
∵×＝1，
∴的倒数是；
∵﹣1×(﹣)＝1，
∴﹣1的倒数是﹣；
∵﹣×(﹣2)＝1，
∴﹣2的倒数是﹣，
故答案为：﹣1，﹣，﹣7，，﹣，﹣．
12．若a，b互为倒数，则a×b﹣5＝　﹣4　．
【解答】解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∴a×b﹣5＝1﹣5＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．
(1)直接写出a+b，cd，m的值；
(2)求m+cd+的值．
【解答】解：(1)∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4；
(2)由(1)得：
原式＝±4+1＝5或﹣3．
知识点03 有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.
(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

14．计算：(﹣8)÷2的结果是(　　)
A．﹣16 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣12
【解答】解：(﹣8)÷2
＝﹣(8÷2)
＝﹣4，
故选：B．
15．计算(﹣10)÷(﹣5)的结果等于(　　)
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：(﹣10)÷(﹣5)
＝+(10÷5)
＝2．
故选：D．
16．若ab＜0，则的值是(　　)
A．大于0 B．小于0
C．大于或等于0 D．小于或等于0
【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号，
∴＜0，
故选：B．
17．计算：＝　　．
【解答】解：原式＝﹣3×(﹣)＝，
故答案为：．
18．计算：＝　　．
【解答】解：原式＝，
故答案为：﹣．
19．计算：3÷1÷2．
【解答】解：原式＝
＝．
20．计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝2．
知识点04 有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

21．计算(﹣9)÷×的结果是　﹣4　．
【解答】解：(﹣9)÷×＝(﹣9)××＝﹣6×＝﹣4，
故答案为：﹣4．
22．计算(﹣48)÷÷(﹣12)×的结果是　4　．
【解答】解：原式＝(﹣48)×
＝4．
故答案为：4．
23．计算：．
【解答】解：原式＝﹣÷(﹣)×
＝﹣×(﹣)×
＝．
24．计算：(﹣)÷(﹣2)×．
【解答】解：原式＝××
＝．

一．选择题
1．﹣2021的倒数为(　　)
A． B． C．﹣2021 D．2021
【解答】解：﹣2021的倒数为：﹣．
故选：A．
2．计算(﹣3)×(﹣2)的结果等于(　　)
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【解答】解：(﹣3)×(﹣2)
＝+(3×2)
＝6．
故选：B．
3．若ab＜0，则的值(　　)
A．是正数 B．是负数 C．是非正数 D．是非负数
【解答】解：∵ab＜0，
∴a与b异号，
∴的值是负数．
故选：B．
4．在①任何两个互为相反数的数的商为﹣1；②任何一个不是1的正数都大于它的倒数；③若a＞b＞0，则；④若，则﹣1＜a＜0中，正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：0的相反数是0，但是0不能当除数，故①错误；
的倒数是，但＜，故②错误；
∵a＞b＞0，
∴ab＞0，b﹣a＜0，
∴﹣＝＜0
∴，故③正确；
∵＜﹣1＜0，a＜0，
∴1＞﹣a，
∴a＞﹣1，
∴﹣1＜a＜0，故④正确；
故选：B．
5．已知|x|＝5，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值是(　　)
A．7 B．﹣3 C．7或﹣3 D．7或﹣7
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5，y＝±2．
又xy＜0，
∴x＝5，y＝﹣2或x＝﹣5，y＝2．
当x＝5，y＝﹣2时，
x﹣y＝5﹣(﹣2)＝7，
当x＝﹣5，y＝2时，
x﹣y＝﹣5﹣2＝﹣7．
∴x﹣y的值是7或﹣7．．
故选：D．
6．下列说法：
①如果两个数的和为1，则这两个数互为倒数；
②如果两个数积为0，则至少有一个数为0；
③绝对值是本身的有理数只有0；
④倒数是本身的数是﹣1，0，1．
其中错误的个数是(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①如果两个数的积为1，则这两个数互为倒数，故本项错误；
②相如果两个数积为0，则至少有一个数为0，正确；
③绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故本项错误；
④倒数等于其本身的有理数是1和﹣1，故本项错误；
错误的有①③④，共3个．
故选：D．
二．填空题
7．计算：﹣0.125÷＝　﹣　．
【解答】解：原式＝﹣×＝﹣，
故答案为：﹣．
8．计算：﹣100÷10×＝　﹣1　．
【解答】解：原式＝﹣10×＝﹣1，
故答案为：﹣1
9．如果a的倒数为﹣1，那么a2019等于 　﹣1　．
【解答】解：因为a的倒数为﹣1，
所以a＝﹣1，
所以a2019＝(﹣1)2019＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10．两个非零的有理数的和是0，则它们的商是　﹣1　．
【解答】解：根据题意，两个非零的有理数的和是0，
则这两个数互为相反数，且不为0，
则它们的商是﹣1，
故答案为﹣1．
11．已知有4个有理数相乘，积的符号是负号，那么这4个有理数中正数有　3或1　个．
【解答】解：∵4个有理数相乘，积的符号是负号，
∴这4个有理数中，负数有1个或3个．
∴正数的个数为3个或1个．
故答案为：3或1个．
12．若有理数x，y的乘积xy为正，则的值为　3或﹣1　．
【解答】解：∵有理数x，y的乘积xy为正，
∴x，y同时为正数或同时为负数，
当x，y同时为正数时，＝1+1+1＝3，；
当x，y同时为负数时，＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
故答案为：3或﹣1．
三．解答题
13．做一做：
①5的倒数是 　　；
②2的倒数是 　　；
③0.1的倒数是 　10　；
④﹣3.75的倒数是 　﹣　；
⑤﹣3的倒数是 　﹣　；
⑥﹣0.15的倒数是 　﹣　．
【解答】解：①∵5×＝1，
∴5的倒数是，
故答案为：；
②∵×＝1，
∴的倒数是，
故答案为：；
③∵0.1×10＝1，
∴0.1的倒数是10，
故答案为：10；
④∵﹣3.75×(﹣)＝1，
∴﹣3.75的倒数是﹣，
故答案为：﹣；
⑤∵﹣3×(﹣)＝1，
∴﹣3的倒数是﹣，
故答案为：﹣；
⑥∵﹣0.15×(﹣)＝1，
∴﹣0.15的倒数是﹣，
故答案为：﹣．
14．计算：(﹣0.25)×(﹣25)×(﹣4)．
【解答】解：原式＝﹣0.25×25×4
＝﹣0.25×100
＝﹣25．
15．计算：2÷1×0.875
【解答】解：原式＝÷×
＝××
＝．
16．下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷(﹣)×(﹣3)
＝[2÷(﹣)+2]×(﹣3)，①
＝2×(﹣3)×(﹣3)+2×4×(﹣3)，②
＝18﹣24，③
＝6，④
(1)佳佳同学开始出现错误的步骤是　①　；
(2)请给出正确的解题过程．
【解答】解：(1)佳佳同学开始出现错误的步骤是①．
故答案为：①．
(2)2÷(﹣)×(﹣3)
＝
＝2×(﹣12)×(﹣3)
＝72．
17．计算：
(1)(﹣85)×(﹣25)×(﹣4)；
(2)﹣；
(3)；
(4)．
【解答】解：(1)(﹣85)×(﹣25)×(﹣4)，
＝(﹣85)×[(﹣25)×(﹣4)]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；
(2)﹣2×2÷(﹣2)，
＝﹣××(﹣)，
＝2；
(3)(﹣)÷(1﹣+)，
＝(﹣)÷(﹣+)，
＝(﹣)÷，
＝(﹣)×，
＝﹣；