【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第5讲 1.5.1乘方（含解析）

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第5讲小节 1.5.1乘方掌握乘方的相关概念；能够熟练地进行有理数混合运算.知识点 乘方1.5.1乘方 1.定义：一般地，个相同的因数相乘，记作，读作“的次幂(或的次方)”，即2.求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂3.当底数是负数或分数时,底数一定要加上括号(1)注意与的区别和的区别4.5.(1)正数的任何次幂都是正数；(2)负数的奇次幂是负数；(3)负数的偶次幂是正数；6.做有理数的混合运算时，应注意以下运算步骤：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行;(3)如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。一、选择题1．表示( )A．6乘以 B．6个连加 C．6个连乘 D．5个连乘2．＝(　　)A． B． C． D．3．下列运算正确的是( )A． B． C． D．4．下列各式中，计算正确的是( )A． B．C． D．5．下列各组数中：①，，②，，③，，④，，⑤，中，相等的共有( )对．A．1 B．2 C．4 D．56．计算(－3)3＋52－(－2)2=( )A．2 B．5 C．－3 D．－67．下列说法正确的是( )A．－23的底数是－2B．的底数是C．－62的底数是6D．(－3)2的底数是38．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次，每次由一个分裂为两个．若这种细菌由个分裂到个，这个过程要经过( )A．小时 B．小时 C．小时 D．小时二、填空题9．计算：________．10．求______________数的_______的运算，叫乘方；乘方的结果叫做_______；在式子中，a叫做_______，n叫做________．一个数可以看作这个数本身的_______次方．11．算式用幂的形式可表示为________，其值为________．12．在0，﹣(﹣1)，(﹣3)2，﹣32，﹣|﹣3|，﹣，a2中，正数的个数为_____个．13．计算：结果为_____．三、解答题14．计算：．15．计算：÷()-()÷16．已知且，试求的值17．已知a、b为有理数，且|a＋2|＋(b－3)2＝0，求ab＋a(3－b)的值．18．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方. 如：2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)等. 类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3 次方”. (-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)记作(-3)④，读作“-3 的圈 4 次方”.一般地，把(a≠0)记作，记作“a 的圈 n 次方”.(1)直接写出计算结果：2③= ，(-3)⑤ = ， ⑤= (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈 n 次方等于 .(3)计算 24÷23+ (-8)×2③.一、选择题1．表示的意义是( )A． B． C． D．2．计算( )A．8 B． C．16 D．3．计算的结果是( )A． B．2 C． D．64．下列各组算式中，其值最小的是( )A． B． C． D．5．下列各数互为相反数的是( )A．与 B．与 C．与 D．与6．在数中，负数有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．计算的结果是( )A．27 B． C． D．8．若，则的值为( )A． B．1 C．2 D．二、填空题9．有理数混合运算的顺序是先_______，再_______，后_______，_______优先．要注意，如果能运用_______时，可改变_______，达到简化远算的目的．10．的底数是___，指数是__；的底数是____，指数是____，读作____，它的含义是___．11．比较大小_____ (填“>”或“<”或“=")12．计算：______．13．若，则______．三、解答题14．计算：(1)与； (2)与．15．计算：(1) (2)16．计算(1) (2)17．计算…．18．定义新运算：，求下列各式的值．(1)；(2)．第5讲小节 1.5.1乘方掌握乘方的相关概念；能够熟练地进行有理数混合运算.知识点 乘方1.5.1乘方 1.定义：一般地，个相同的因数相乘，记作，读作“的次幂(或的次方)”，即2.求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂3.当底数是负数或分数时,底数一定要加上括号(1)注意与的区别和的区别4.5.(1)正数的任何次幂都是正数；(2)负数的奇次幂是负数；(3)负数的偶次幂是正数；6.做有理数的混合运算时，应注意以下运算步骤：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行;(3)如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。一、选择题1．表示( )A．6乘以 B．6个连加 C．6个连乘 D．5个连乘【答案】C【分析】根据幂指数代表底数相乘的次数可得出答案．【详解】代表b个a相乘，表示6个-5相乘，故选：C．【点睛】本题考查幂指数所表示的意义，比较基础，掌握基础概念是解题关键．2．＝(　　)A． B． C． D．【答案】B【分析】分子部分利用乘方运算，分母部分利用乘法运算即可【详解】解：＝，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方和乘法运算，掌握运算的法则是关键.3．下列运算正确的是( )A． B． C． D．【答案】D【分析】分别计算出各选项的结果，即可判断．【详解】A选项，不正确，故不符合题意；B选项，不正确，故不符合题意；C选项，不正确，故不符合题意；D选项，正确，故符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法运算，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．下列各式中，计算正确的是( )A． B．C． D．【答案】D【分析】根据有理数的混合运算法则逐个选项计算，即可解决问题.【详解】A. ，故A选项错误；B. ，故B选项错误；C. ，故C选项错误；D. ，故D选项正确；故选D【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键.5．下列各组数中：①，，②，，③，，④，，⑤，中，相等的共有( )对．A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】首先计算出各组数的值，然后作出判断即可．【详解】①=-25，=25，故不符合题意；②=-27，=-27，故符合题意；③=0.00243，=0.00243，故符合题意；④=0，=0，故符合题意；⑤=-1，=-1，故符合题意，所以相等的共有4对，故选：C．【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算，熟记正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题关键．6．计算(－3)3＋52－(－2)2=( )A．2 B．5 C．－3 D．－6【答案】D【详解】分析：根据有理数的乘方运算顺序，先算乘方，再算加减．解答：解：(-3)3+52-(-2)2=-27+25-4=-6，故选D．7．下列说法正确的是( )A．－23的底数是－2B．的底数是C．－62的底数是6D．(－3)2的底数是3【答案】C【解析】试题解析：A. －23的底数是2，故该选项错误；B. 的底数是，故该选项错误；C. －62的底数是6，正确；D. (－3)2的底数是-3，故该选项错误.故选C.8．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次，每次由一个分裂为两个．若这种细菌由个分裂到个，这个过程要经过( )A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是21个，分製第二次时，2个就变为了22个，那么经过3小时，就要分製6次，根据有理数的乘方的定义可得.【详解】解:由题意可得:2n＝64＝26，则这个过程要经过:3小时.故选:C.【点睛】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，应注意观察问题得到规律.二、填空题9．计算：________．【答案】-3【分析】先计算乘方、绝对值，再计算加法即可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘方的定义和绝对值的性质．10．求______________数的_______的运算，叫乘方；乘方的结果叫做_______；在式子中，a叫做_______，n叫做________．一个数可以看作这个数本身的_______次方．【答案】几个相同因 积 幂 底数 指数 1 【分析】根据有理数乘方相关概念，即可求解．【详解】解：求几个相同因数的积的运算，叫乘方；乘方的结果叫做幂；在式子中，a叫做底数，n叫做指数．一个数可以看作这个数本身的1次方．故答案为：几个相同因、积、幂、底数、指数、1【点睛】此题考查了有理数乘方的相关概念，熟练掌握有理数乘方的有关概念是解题的关键．11．算式用幂的形式可表示为________，其值为________．【答案】 【解析】试题解析：算式用幂的形式可表示为，其值为．12．在0，﹣(﹣1)，(﹣3)2，﹣32，﹣|﹣3|，﹣，a2中，正数的个数为_____个．【答案】2【分析】将各数化简或计算结合实数的相关概念可得出答案.【详解】解：0既不是正数，也不是负数，﹣(﹣1)＝1，(﹣3)2＝9，这两个数是正数，﹣32=-9，﹣|﹣3|=-3，，这三个数是负数，a2是非负数，则共有2个正数，故答案为2．【点睛】本题考查了实数，也考查了幂的运算，是基础题.13．计算：结果为_____．【答案】1【分析】第一步，先计算平方、立方；第二步，再计算乘除；第三步，计算加减.【详解】原式=【点睛】本题难度较低，主要考查学生对实数的多次方知识点的掌握，切记负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数是解题关键。三、解答题14．计算：．【答案】【分析】根据有理数的运算法则，先乘方，再乘除后加减，运算即可．【详解】解:原式= =．【点睛】此题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，即可解题．15．计算：÷()-()÷【答案】【分析】含乘方的有理数的混合运算，注意先计算乘方，然后计算乘除，最后加减．【详解】解：÷()-()÷．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序及计算法则正确计算是解题关键．16．已知且，试求的值【答案】1或343【详解】∵，∴，∵，∴，∴x=±3，，当x=3，时，，当x=－3，时，.17．已知a、b为有理数，且|a＋2|＋(b－3)2＝0，求ab＋a(3－b)的值．【答案】-8【解析】试题分析：利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算求出值．试题解析：∵|a＋2|＋(b－3)2＝0，∴a+2=0，b-3=0，∴a=-2，b=3，∴ab＋a(3－b)=(-2)3+(-2)×(3-3)=-8.18．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方. 如：2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)等. 类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3 次方”. (-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)记作(-3)④，读作“-3 的圈 4 次方”.一般地，把(a≠0)记作，记作“a 的圈 n 次方”.(1)直接写出计算结果：2③= ，(-3)⑤ = ， ⑤= (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈 n 次方等于 .(3)计算 24÷23+ (-8)×2③.【答案】(1)，，-8；(2)它的倒数的n-2次方；(3)－1.【分析】(1)根据题中的新定义计算即可得到结果；(2)归纳总结得到规律即可；(3)利用得出的结论计算即可得到结果．【详解】(1)2③=2÷2÷2=，(-3)⑤ =(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=， ⑤=÷÷÷÷=-8，故答案为，，﹣8；(2)===，故答案为这个数倒数的(n﹣2)次方；(3)24÷23+(﹣8)×2③=24÷8+(﹣8)×=3+(﹣4)=﹣1．一、选择题1．表示的意义是( )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相反数和有理数的乘方即可求出答案．【详解】解：表示的是．故选：D．【点睛】本题考查有理数的乘方和相反数，解题的关键是正确理解乘方的意义．2．计算( )A．8 B． C．16 D．【答案】C【分析】根据乘方的法则计算即可．【详解】解：24=2×2×2×2=16，故选：C．【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟记有理数乘方的定义是解题的关键．3．计算的结果是( )A． B．2 C． D．6【答案】D【分析】按顺序先计算乘方，再计算加法即可．【详解】解：．故选D．【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．4．下列各组算式中，其值最小的是( )A． B． C． D．【答案】A【分析】分别计算各个选项的值，再比较大小，有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有小括号的先算小括号．【详解】解：，，，最小的为，故选：A．【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算、有理数的大小比较等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．下列各数互为相反数的是( )A．与 B．与 C．与 D．与【答案】C【分析】根据有理数的乘方进行计算然后根据相反数的定义进行判断即可．【详解】解：A．因为32=9，(-2)3=-8，故A选项不符合题意；B．因为32=9，(-3)2=9，故B选项不符合题意；C．因为32=9，-32=-9，9和-9互为相反数，故C选项符合题意；D．因为-32=-9，-(-3)2=-9，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的乘方，相反数，解决本题的关键是掌握相反数的定义．6．在数中，负数有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据有理数的性质、绝对值的性质及乘方的运算即可求解判断．【详解】∵=3＞0，=-3＜0，=-9＜0，=3＞0∴负数有2个故选C．【点睛】此题主要考查有理数的大小判断，解题的关键是熟知有理数的运算、绝对值、乘方的运算法则．7．计算的结果是( )A．27 B． C． D．【答案】D【分析】先算乘方，后从左往右依次计算．【详解】解：原式＝＝＝故选D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟记运算法则和运算顺序．8．若，则的值为( )A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根据平方数以及绝对值的非负性计算求解即可．【详解】由题意得，，解得，所以，，故选：B．【点睛】本题主要考查平方数以及绝对值的非负性，涉及乘方的运算，属于基础题，熟练掌握平方数以及绝对值的非负性是解题关键．二、填空题9．有理数混合运算的顺序是先_______，再_______，后_______，_______优先．要注意，如果能运用_______时，可改变_______，达到简化远算的目的．【答案】乘方 乘除 加减 括号 运算律 运算顺序 【分析】根据有理数混合运算的运算法则即可得出答案；【详解】解：有理数混合运算的顺序是先乘方，再乘除，后加减，括号优先．要注意，如果能运用运算律时，可改变运算顺序，达到简化远算的目的．故答案为：乘方，乘除，加减，括号，运算律，运算顺序【点睛】本题考查了有理数混合运算的运算法则，熟练掌握法则是解题的关键．10．的底数是___，指数是__；的底数是____，指数是____，读作____，它的含义是___．【答案】3 5 3 的3次方 3个相乘的积 【分析】根据幂的形式特点即可依次求解．【详解】的底数是3，指数是5；的底数是，指数是3，读作的3次方，它的含义是3个相乘的积．故答案为：3；5；；3；的3次方；3个相乘的积．【点睛】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知an的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘．11．比较大小_____ (填“>”或“<”或“=")【答案】< 【分析】根据乘方意义进行计算，再比较大小即可求解.【详解】解：因为=-81，=32，所以<，故答案为：<.【点睛】本题主要考查乘方的意义，解决本题的关键是要熟练掌握乘方的意义并进行计算.12．计算：______．【答案】【分析】根据有理数的混合运算可进行求解．【详解】解：原式=；故答案为．【点睛】本题主要考查含乘方的有理数运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．13．若，则______．【答案】6【分析】根据完全平方式和绝对值的非负性可知，，由此即可求解．【详解】解：由题意得，，解得，所以，故答案为：6．【点睛】本题考查完全平方式以及绝对值的非负性，属于基础题，计算过程中细心即可．三、解答题14．计算：(1)与；(2)与．【答案】(1)256；-256；(2)．【分析】(1)直接运用乘方的运算法则计算即可；(2)直接运用乘方的运算法则计算即可．【详解】解：(1)．(2)．【点睛】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键．15．计算：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：(1)；(2)．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解本题的关键．16．计算(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】(1)先根据有理数的除法法则，将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可；(2)根据有理数混合运算顺序以及运算法则进行计算，先计算括号，再计算有理数的乘方，再算乘法，最后计算加减．【详解】(1)；(2)．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，运算律，运算顺序是解题的关键．17．计算…．【答案】【详解】原式18．定义新运算：，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)38【分析】(1)根据新定义列出算式，再进一步计算即可；(2)根据新定义列出算式，再进一步计算可得，由此可得，再根据新定义列出算式，再进一步计算即可．【详解】解：(1)根据题意得：；(2)根据题意得：，∴．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出对应算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则