【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第6讲 整式（含解析）

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第6讲 整式

1. 掌握代数式的概念以及理解字母表示数的意义；
2. 会用含字母的式子表示实际问题的数量关系；
3. 掌握单项式、多项式以及整式的相关概念；
4. 会判别代数式、单项式、多项式以及整式；
5. 掌握多项式的升幂和降幂排列。

知识点01 代数式及书写规范
用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。
代数式书写规范
(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写；
(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；
(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；
(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a；
(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；
(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .
出现除式时，用分数表示；
(7)若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。


1．下列各式符合代数式书写规范的是(　　)
A．m×6 B． C．x﹣7元 D．2xy2
2．代数式的意义是(　　)
A．x除以y加3
B．y加3除x
C．y与3的和除以x
D．x除以y与3的和所得的商
3．举例说明代数式8a3的意义：　 　．
4．下列各式：ab•2，m÷2n，xy，1a，其中符合代数式书写规范的有　 　个．
5．请你用实例解释下列代数式的意义．
(1)﹣4+3；

(2)3a；

(3)()3．

知识点02 单项式
定义：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和

6．下列代数式中，为单项式的是(　　)
A． B．a C． D．x2+y2
7．单项式﹣xy2的系数是(　　)
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
8．单项式22xy2的次数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
9．单项式﹣的系数是 　 　，次数是 　 　．
10．观察下列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是　 　．
11．已知x2y|a|+(b+2)是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．


知识点03 多项式
几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
注意：(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式

12．多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．7
13．多项式4x2﹣﹣x+1的三次项系数是(　　)
A．3 B．﹣3 C．﹣ D．﹣
14．多项式﹣5xy+xy2﹣1是(　　)
A．二次三项式 B．三次三项式 C．四次三项式 D．五次三项式
15．多项式3a2﹣2a﹣7a3+4是　 　次　 　项式．
16．已知整式(a﹣1)x3﹣2x﹣(a+3)．
(1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项；
(2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项．


知识点04 整式
单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为： .
注意：分母上含有字母的不是整式

17．下列各式中不是整式的是(　　)
A．3a B． C． D．0
18．下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有(　　)
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
19．在①1﹣a；②；③；④﹣；⑤；⑥(x+1)(x+2)＝0中，　 　是整式．(填写序号)
知识点05 多项式的升幂和降幂排列
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.

20．把多项式3xy2﹣2x2y+1﹣x3按字母x的降幂排列为 　 　．
21．把多项式4x2y+3xy2﹣2y3+x3按照x的降幂排列是：　 　，按照x的升幂排列是：　 　，按照y的降幂排列是：　 　，按照y的升幂排列是：　 　．
22．把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列．
(1)按a升幂排列；
(2)按a降幂排列．

一．选择题
1．下列代数式符合规范书写要求的是(　　)
A．﹣1x B．1xy C．0.3÷x D．﹣a
2．用代数式表示：a与3差的2倍．下列表示正确的是(　　)
A．2a﹣3 B．2a+3 C．2(a﹣3) D．2(a+3)
3．下列各式中是单项式的是(　　)
A．m+n B．2x﹣3y C．2xy2 D．(5a+2b)2
4．下列说法正确的是(　　)
A．2不是单项式 B．是单项式
C．单项式x的系数是0 D．4x2﹣3是多项式
5．下列式子：x2+1，+4，，，﹣5x，0，中，整式的个数是(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6．多项式﹣x2﹣2x﹣1的各项分别是(　　)
A．﹣x2，2x，1 B．﹣x2，﹣2x，﹣1 C．x2，2x，1 D．x2，﹣2x，﹣1
7．单项式﹣的系数和次数是(　　)
A．系数是，次数是3 B．系数是﹣；，次数是5
C．系数是﹣，次数是3 D．系数是5，次数是﹣
8．多项式2x2﹣5x2y﹣y2﹣3的次数和三次项分别是(　　)
A．2和5x2y B．3和5x2y C．4和﹣5x2y D．3和﹣5x2y
二．填空题
9．代数式a×1应该写成　 　．
10．单项式ah的次数是 　 　．
11．若多项式(k﹣1)x2+3x|k+2|+2为三次三项式，则k的值为　 　．
12．若2x2﹣3x＝2，则4x2﹣6x+5的值是 　 　．
13．把多项式x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3用适当的方式排列．
(1)按字母x的升幂排列得：　 　；
(2)按字母y的升幂排列得：　 　．
三．解答题
14．下列代数式中，哪些是整式？
①x2+y2；②﹣x；③；④6xy+1；⑤；⑥0；⑦．


15．如果2xny4与m2x2y|m﹣n|都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值．


16．回顾多项式的有关概念，解决下列问题：
(1)求多项式﹣x3y3+x4y中各项的系数和次数；
(2)若多项式﹣5xa+1y2﹣x3y3+x4y的最高次项次数是7，求a的值．


第6讲 整式

6. 掌握代数式的概念以及理解字母表示数的意义；
7. 会用含字母的式子表示实际问题的数量关系；
8. 掌握单项式、多项式以及整式的相关概念；
9. 会判别代数式、单项式、多项式以及整式；
10. 掌握多项式的升幂和降幂排列。

知识点01 代数式及书写规范
用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。
代数式书写规范
(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写；
(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；
(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；
(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a；
(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；
(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .
出现除式时，用分数表示；
(7)若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。


1．下列各式符合代数式书写规范的是(　　)
A．m×6 B． C．x﹣7元 D．2xy2
【解答】解：A、不符合书写要求，应为6m，故此选项不符合题意；
B、符合书写要求，故此选项符合题意；
C、不符合书写要求，应为(x﹣7)元，故此选项不符合题意；
D、不符合书写要求，应为xy2，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．代数式的意义是(　　)
A．x除以y加3
B．y加3除x
C．y与3的和除以x
D．x除以y与3的和所得的商
【解答】解：的意义是x除以y与3的和所得的商．
故选：D．
3．举例说明代数式8a3的意义：　如一个正方体的棱长是a，一个正方体的体积是a3，那么8个正方体的体积是8a3　．
【解答】解：如一个正方体的棱长是a，一个正方体的体积是a3，那么8个正方体的体积是8a3．
故答案为：如一个正方体的棱长是a，一个正方体的体积是a3，那么8个正方体的体积是8a3．
4．下列各式：ab•2，m÷2n，xy，1a，其中符合代数式书写规范的有　2　个．
【解答】解：在ab•2，m÷2n，xy，1a，中，符合代数式书写规范的有xy，，共2个；
故答案为：2．
5．请你用实例解释下列代数式的意义．
(1)﹣4+3；
(2)3a；
(3)()3．
【解答】解：(1)﹣4+3表示气温从﹣4℃，上升3℃后的温度；
(2)3a表示一辆车以akm/h的速度行驶3小时的路程；
(3)()3表示棱长为的正方体的体积
知识点02 单项式
定义：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和

6．下列代数式中，为单项式的是(　　)
A． B．a C． D．x2+y2
【解答】解：A、分母中含有字母，不是单项式；
B、符合单项式的概念，是单项式；
C、分母中含有字母，不是单项式；
D、不符合单项式的概念，不是单项式．
故选：B．
7．单项式﹣xy2的系数是(　　)
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【解答】解：单项式﹣xy2的系数是﹣1，
故选：A．
8．单项式22xy2的次数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：单项式22xy2的次数是1+2＝3．
故选：C．
9．单项式﹣的系数是 　﹣　，次数是 　5　．
【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是 5．
故答案为：﹣，5．
10．观察下列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是　﹣6061x2021　．
【解答】解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，
∴第n个单项式为：(﹣1)n•(3n﹣2)xn，
∴第2021个单项式是(﹣1)2021•(3×2021﹣2)x2021＝﹣6061x2021，
故答案为：﹣6061x2021．
11．已知x2y|a|+(b+2)是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
【解答】解：∵x2y|a|+(b+2)是关于x，y的五次单项式，
∴，
解得：，
则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9；
当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27．
知识点03 多项式
几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
注意：(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式

12．多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．7
【解答】解：多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是4，
故选：C．
13．多项式4x2﹣﹣x+1的三次项系数是(　　)
A．3 B．﹣3 C．﹣ D．﹣
【解答】解：多项式4x2﹣﹣x+1的三次项是﹣，三次项系数是﹣．
故选：C．
14．多项式﹣5xy+xy2﹣1是(　　)
A．二次三项式 B．三次三项式 C．四次三项式 D．五次三项式
【解答】解：多项式﹣5xy+xy2﹣1是三次三项式，
故选：B．
15．多项式3a2﹣2a﹣7a3+4是　三　次　四　项式．
【解答】解：∵多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，
∴多项式3a2﹣2a﹣7a3+4中次数最高的项是三次，由四个单项式组成，
故答案为：三；四．
16．已知整式(a﹣1)x3﹣2x﹣(a+3)．
(1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项；
(2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项．
【解答】解：(1)若它是关于x的一次式，则a﹣1＝0，
∴a＝1，常数项为﹣(a+3)＝﹣4；
(2)若它是关于x的三次二项式，则a﹣1≠0，a≠1，a+3＝0，
∴a＝﹣3，所以最高次项为﹣4x3．
知识点04 整式
单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为： .
注意：分母上含有字母的不是整式


17．下列各式中不是整式的是(　　)
A．3a B． C． D．0
【解答】解：A、3a是单项式，是整式，故本选项不符合题意；
B、既不是单项式，又不是多项式，不是整式，故本选项符合题意；
C、是单项式，是整式，故本选项不符合题意；
D、0是单项式，是整式，故本选项不符合题意；
故选：B．
18．下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有(　　)
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【解答】解：整式有﹣mn，m，8，x2+2x+6，，，
故选：C．
19．在①1﹣a；②；③；④﹣；⑤；⑥(x+1)(x+2)＝0中，　①②④　是整式．(填写序号)
【解答】解：①1﹣a；②；③；④﹣；⑤；⑥(x+1)(x+2)＝0中①1﹣a；②；④﹣是整式．
故答案为：①②④．
知识点05 多项式的升幂和降幂排列
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.

20．把多项式3xy2﹣2x2y+1﹣x3按字母x的降幂排列为 　﹣x3﹣2x2y+3xy2+1　．
【解答】解：多项式3xy2﹣2x2y+1﹣x3的各项为3xy2，﹣2x2y，1，﹣x3，
按x的降幂排列为﹣x3﹣2x2y+3xy2+1．
故答案为：﹣x3﹣2x2y+3xy2+1．
21．把多项式4x2y+3xy2﹣2y3+x3按照x的降幂排列是：　x3+4x2y+3xy2﹣2y3　，按照x的升幂排列是：　﹣2y3+3xy2+4x2y+x3　，按照y的降幂排列是：　﹣2y3+3xy2+4x2y+x3　，按照y的升幂排列是：　x3+4x2y+3xy2﹣2y3　．
【解答】解：∵多项式4x2y+3xy2﹣2y3+x3包含四项，分别为4x2y、3xy2、﹣2y3、x3，
∴该多项式按照x的降幂排列是x3+4x2y+3xy2﹣2y3，按照x的升幂排列是﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，按照y的降幂排列是﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，按照y的升幂排列是x3+4x2y+3xy2﹣2y3．
故答案为：x3+4x2y+3xy2﹣2y3，﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，x3+4x2y+3xy2﹣2y3．
22．把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列．
(1)按a升幂排列；
(2)按a降幂排列．
【解答】解：(1)多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2按a的升幂排列是﹣b3+3ab2﹣3a2b+a3；
(2)按a的降幂排列的是a3﹣3a2b+3ab2﹣b3．

一．选择题
1．下列代数式符合规范书写要求的是(　　)
A．﹣1x B．1xy C．0.3÷x D．﹣a
【解答】解：A、原书写错误，应该写成﹣x，故此选项不符合题意；
B、原书写错误，应写成xy，故此选项不符合题意；
C、原书写错误，应写成，故此选项不符合题意；
D、原书写正确，故此选项符合题意．
故选：D．
2．用代数式表示：a与3差的2倍．下列表示正确的是(　　)
A．2a﹣3 B．2a+3 C．2(a﹣3) D．2(a+3)
【解答】解：a与3差的2倍．表示为：2(a﹣3)，
故选：C．
3．下列各式中是单项式的是(　　)
A．m+n B．2x﹣3y C．2xy2 D．(5a+2b)2
【解答】解：A、m+n是多项式，不合题意；
B、2x﹣3y是多项式，不合题意；
C、2xy2是单项式，符合题意；
D、(5a+2b)2是多项式，不合题意；
故选：C．
4．下列说法正确的是(　　)
A．2不是单项式 B．是单项式
C．单项式x的系数是0 D．4x2﹣3是多项式
【解答】解：A.2是单项式，故此选项不合题意；
B.不是单项式，故此选项不合题意；
C．单项式x的系数是1，故此选项不合题意；
D.4x2﹣3是多项式，故此选项符合题意．
故选：D．
5．下列式子：x2+1，+4，，，﹣5x，0，中，整式的个数是(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【解答】解：根据整式的定义，可以知道x2+1，，﹣5x，0属于整式，有4个，
故选：C．
6．多项式﹣x2﹣2x﹣1的各项分别是(　　)
A．﹣x2，2x，1 B．﹣x2，﹣2x，﹣1 C．x2，2x，1 D．x2，﹣2x，﹣1
【解答】解：多项式﹣x2﹣2x﹣1的项分别是﹣x2，﹣2x，﹣1，
故选：B．
7．单项式﹣的系数和次数是(　　)
A．系数是，次数是3 B．系数是﹣；，次数是5
C．系数是﹣，次数是3 D．系数是5，次数是﹣
【解答】解：单项式﹣的系数和次数是：﹣，5．
故选：B．
8．多项式2x2﹣5x2y﹣y2﹣3的次数和三次项分别是(　　)
A．2和5x2y B．3和5x2y C．4和﹣5x2y D．3和﹣5x2y
【解答】解：多项式2x2﹣5x2y﹣y2﹣3的次数和三次项分别为3，﹣5x2y，
故选：D．
二．填空题
9．代数式a×1应该写成　　．
【解答】解：a×1应该写成，
故答案为：．
10．单项式ah的次数是 　2　．
【解答】解：单项式ah的次数是：1+1＝2．
故答案为：2．
11．若多项式(k﹣1)x2+3x|k+2|+2为三次三项式，则k的值为　﹣5　．
【解答】解：∵多项式(k﹣1)x2+3x|k+2|+2是关于x的三次三项式，
∴|k+2|＝3，k﹣1≠0，
解得：k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
12．若2x2﹣3x＝2，则4x2﹣6x+5的值是 　9　．
【解答】解：∵2x2﹣3x＝2，
∴4x2﹣6x+5
＝2(2x2﹣3x)+5
＝2×2+5
＝9，
故答案为：9．
13．把多项式x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3用适当的方式排列．
(1)按字母x的升幂排列得：　﹣y4﹣2xy2﹣5x2y3+3x3y+x4　；
(2)按字母y的升幂排列得：　x4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3﹣y4　．
【解答】解：(1)按字母x的升幂排列得：﹣y4﹣2xy2﹣5x2y3+3x3y+x4；
故答案为：﹣y4﹣2xy2﹣5x2y3+3x3y+x4；
(2)按字母y的升幂排列得：x4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3﹣y4；
故答案为：x4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3﹣y4．
三．解答题
14．下列代数式中，哪些是整式？
①x2+y2；②﹣x；③；④6xy+1；⑤；⑥0；⑦．
【解答】解：①x2+y2，是整式；
②﹣x，是整式；
③，是整式；
④6xy+1，是整式；
⑤，不是整式；
⑥0，是整式；
⑦，不是整式．
15．如果2xny4与m2x2y|m﹣n|都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
16．回顾多项式的有关概念，解决下列问题：
(1)求多项式﹣x3y3+x4y中各项的系数和次数；
(2)若多项式﹣5xa+1y2﹣x3y3+x4y的最高次项次数是7，求a的值．
【解答】解：(1)多项式﹣x3y3+x4y中：﹣x3y3的系数是﹣，次数是6；
x4y的系数是，次数是5；
(2)∵多项式﹣5xa+1y2﹣x3y3+x4y的最高次项次数是7，
∴a+1+2＝7,
解得：a＝4．