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【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第6讲 整式(含解析)
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这是一份【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第6讲 整式(含解析),共15页。
第6讲 整式
1. 掌握代数式的概念以及理解字母表示数的意义;
2. 会用含字母的式子表示实际问题的数量关系;
3. 掌握单项式、多项式以及整式的相关概念;
4. 会判别代数式、单项式、多项式以及整式;
5. 掌握多项式的升幂和降幂排列。
知识点01 代数式及书写规范
用运算符号“+ - × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意:用字母表示数有一定的限制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式;用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc。
代数式书写规范
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×应写成a;
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成的形式;
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a .
出现除式时,用分数表示;
(7)若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来。
1.下列各式符合代数式书写规范的是( )
A.m×6 B. C.x﹣7元 D.2xy2
2.代数式的意义是( )
A.x除以y加3
B.y加3除x
C.y与3的和除以x
D.x除以y与3的和所得的商
3.举例说明代数式8a3的意义: .
4.下列各式:ab•2,m÷2n,xy,1a,其中符合代数式书写规范的有 个.
5.请你用实例解释下列代数式的意义.
(1)﹣4+3;
(2)3a;
(3)()3.
知识点02 单项式
定义:表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数:单项式中的数字因数;单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和
6.下列代数式中,为单项式的是( )
A. B.a C. D.x2+y2
7.单项式﹣xy2的系数是( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
8.单项式22xy2的次数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
9.单项式﹣的系数是 ,次数是 .
10.观察下列关于x的单项式:﹣x,4x2,﹣7x3,10x4,﹣13x5,16x6,…,按照上述规律,第2021个单项式是 .
11.已知x2y|a|+(b+2)是关于x、y的五次单项式,求a2﹣3ab的值.
知识点03 多项式
几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式
12.多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是( )
A.2 B.3 C.4 D.7
13.多项式4x2﹣﹣x+1的三次项系数是( )
A.3 B.﹣3 C.﹣ D.﹣
14.多项式﹣5xy+xy2﹣1是( )
A.二次三项式 B.三次三项式 C.四次三项式 D.五次三项式
15.多项式3a2﹣2a﹣7a3+4是 次 项式.
16.已知整式(a﹣1)x3﹣2x﹣(a+3).
(1)若它是关于x的一次式,求a的值并写出常数项;
(2)若它是关于x的三次二项式,求a的值并写出最高次项.
知识点04 整式
单项式和多项式统称为整式,即凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为: .
注意:分母上含有字母的不是整式
17.下列各式中不是整式的是( )
A.3a B. C. D.0
18.下列各式﹣mn,m,8,,x2+2x+6,,,中,整式有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
19.在①1﹣a;②;③;④﹣;⑤;⑥(x+1)(x+2)=0中, 是整式.(填写序号)
知识点05 多项式的升幂和降幂排列
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.
20.把多项式3xy2﹣2x2y+1﹣x3按字母x的降幂排列为 .
21.把多项式4x2y+3xy2﹣2y3+x3按照x的降幂排列是: ,按照x的升幂排列是: ,按照y的降幂排列是: ,按照y的升幂排列是: .
22.把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列.
(1)按a升幂排列;
(2)按a降幂排列.
一.选择题
1.下列代数式符合规范书写要求的是( )
A.﹣1x B.1xy C.0.3÷x D.﹣a
2.用代数式表示:a与3差的2倍.下列表示正确的是( )
A.2a﹣3 B.2a+3 C.2(a﹣3) D.2(a+3)
3.下列各式中是单项式的是( )
A.m+n B.2x﹣3y C.2xy2 D.(5a+2b)2
4.下列说法正确的是( )
A.2不是单项式 B.是单项式
C.单项式x的系数是0 D.4x2﹣3是多项式
5.下列式子:x2+1,+4,,,﹣5x,0,中,整式的个数是( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
6.多项式﹣x2﹣2x﹣1的各项分别是( )
A.﹣x2,2x,1 B.﹣x2,﹣2x,﹣1 C.x2,2x,1 D.x2,﹣2x,﹣1
7.单项式﹣的系数和次数是( )
A.系数是,次数是3 B.系数是﹣;,次数是5
C.系数是﹣,次数是3 D.系数是5,次数是﹣
8.多项式2x2﹣5x2y﹣y2﹣3的次数和三次项分别是( )
A.2和5x2y B.3和5x2y C.4和﹣5x2y D.3和﹣5x2y
二.填空题
9.代数式a×1应该写成 .
10.单项式ah的次数是 .
11.若多项式(k﹣1)x2+3x|k+2|+2为三次三项式,则k的值为 .
12.若2x2﹣3x=2,则4x2﹣6x+5的值是 .
13.把多项式x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3用适当的方式排列.
(1)按字母x的升幂排列得: ;
(2)按字母y的升幂排列得: .
三.解答题
14.下列代数式中,哪些是整式?
①x2+y2;②﹣x;③;④6xy+1;⑤;⑥0;⑦.
15.如果2xny4与m2x2y|m﹣n|都是关于x、y的六次单项式,且系数相等,求m、n的值.
16.回顾多项式的有关概念,解决下列问题:
(1)求多项式﹣x3y3+x4y中各项的系数和次数;
(2)若多项式﹣5xa+1y2﹣x3y3+x4y的最高次项次数是7,求a的值.
第6讲 整式
6. 掌握代数式的概念以及理解字母表示数的意义;
7. 会用含字母的式子表示实际问题的数量关系;
8. 掌握单项式、多项式以及整式的相关概念;
9. 会判别代数式、单项式、多项式以及整式;
10. 掌握多项式的升幂和降幂排列。
知识点01 代数式及书写规范
用运算符号“+ - × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意:用字母表示数有一定的限制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式;用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc。
代数式书写规范
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×应写成a;
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成的形式;
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a .
出现除式时,用分数表示;
(7)若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来。
1.下列各式符合代数式书写规范的是( )
A.m×6 B. C.x﹣7元 D.2xy2
【解答】解:A、不符合书写要求,应为6m,故此选项不符合题意;
B、符合书写要求,故此选项符合题意;
C、不符合书写要求,应为(x﹣7)元,故此选项不符合题意;
D、不符合书写要求,应为xy2,故此选项不符合题意.
故选:B.
2.代数式的意义是( )
A.x除以y加3
B.y加3除x
C.y与3的和除以x
D.x除以y与3的和所得的商
【解答】解:的意义是x除以y与3的和所得的商.
故选:D.
3.举例说明代数式8a3的意义: 如一个正方体的棱长是a,一个正方体的体积是a3,那么8个正方体的体积是8a3 .
【解答】解:如一个正方体的棱长是a,一个正方体的体积是a3,那么8个正方体的体积是8a3.
故答案为:如一个正方体的棱长是a,一个正方体的体积是a3,那么8个正方体的体积是8a3.
4.下列各式:ab•2,m÷2n,xy,1a,其中符合代数式书写规范的有 2 个.
【解答】解:在ab•2,m÷2n,xy,1a,中,符合代数式书写规范的有xy,,共2个;
故答案为:2.
5.请你用实例解释下列代数式的意义.
(1)﹣4+3;
(2)3a;
(3)()3.
【解答】解:(1)﹣4+3表示气温从﹣4℃,上升3℃后的温度;
(2)3a表示一辆车以akm/h的速度行驶3小时的路程;
(3)()3表示棱长为的正方体的体积
知识点02 单项式
定义:表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数:单项式中的数字因数;单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和
6.下列代数式中,为单项式的是( )
A. B.a C. D.x2+y2
【解答】解:A、分母中含有字母,不是单项式;
B、符合单项式的概念,是单项式;
C、分母中含有字母,不是单项式;
D、不符合单项式的概念,不是单项式.
故选:B.
7.单项式﹣xy2的系数是( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
【解答】解:单项式﹣xy2的系数是﹣1,
故选:A.
8.单项式22xy2的次数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解答】解:单项式22xy2的次数是1+2=3.
故选:C.
9.单项式﹣的系数是 ﹣ ,次数是 5 .
【解答】解:单项式﹣的系数是﹣,次数是 5.
故答案为:﹣,5.
10.观察下列关于x的单项式:﹣x,4x2,﹣7x3,10x4,﹣13x5,16x6,…,按照上述规律,第2021个单项式是 ﹣6061x2021 .
【解答】解:∵一列关于x的单项式:﹣x,4x2,﹣7x3,10x4,﹣13x5,16x6……,
∴第n个单项式为:(﹣1)n•(3n﹣2)xn,
∴第2021个单项式是(﹣1)2021•(3×2021﹣2)x2021=﹣6061x2021,
故答案为:﹣6061x2021.
11.已知x2y|a|+(b+2)是关于x、y的五次单项式,求a2﹣3ab的值.
【解答】解:∵x2y|a|+(b+2)是关于x,y的五次单项式,
∴,
解得:,
则当a=﹣3,b=﹣2时,a2﹣3ab=9﹣18=﹣9;
当a=3,b=﹣2时,a2﹣3ab=9+18=27.
知识点03 多项式
几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式
12.多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是( )
A.2 B.3 C.4 D.7
【解答】解:多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是4,
故选:C.
13.多项式4x2﹣﹣x+1的三次项系数是( )
A.3 B.﹣3 C.﹣ D.﹣
【解答】解:多项式4x2﹣﹣x+1的三次项是﹣,三次项系数是﹣.
故选:C.
14.多项式﹣5xy+xy2﹣1是( )
A.二次三项式 B.三次三项式 C.四次三项式 D.五次三项式
【解答】解:多项式﹣5xy+xy2﹣1是三次三项式,
故选:B.
15.多项式3a2﹣2a﹣7a3+4是 三 次 四 项式.
【解答】解:∵多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”,
∴多项式3a2﹣2a﹣7a3+4中次数最高的项是三次,由四个单项式组成,
故答案为:三;四.
16.已知整式(a﹣1)x3﹣2x﹣(a+3).
(1)若它是关于x的一次式,求a的值并写出常数项;
(2)若它是关于x的三次二项式,求a的值并写出最高次项.
【解答】解:(1)若它是关于x的一次式,则a﹣1=0,
∴a=1,常数项为﹣(a+3)=﹣4;
(2)若它是关于x的三次二项式,则a﹣1≠0,a≠1,a+3=0,
∴a=﹣3,所以最高次项为﹣4x3.
知识点04 整式
单项式和多项式统称为整式,即凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为: .
注意:分母上含有字母的不是整式
17.下列各式中不是整式的是( )
A.3a B. C. D.0
【解答】解:A、3a是单项式,是整式,故本选项不符合题意;
B、既不是单项式,又不是多项式,不是整式,故本选项符合题意;
C、是单项式,是整式,故本选项不符合题意;
D、0是单项式,是整式,故本选项不符合题意;
故选:B.
18.下列各式﹣mn,m,8,,x2+2x+6,,,中,整式有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
【解答】解:整式有﹣mn,m,8,x2+2x+6,,,
故选:C.
19.在①1﹣a;②;③;④﹣;⑤;⑥(x+1)(x+2)=0中, ①②④ 是整式.(填写序号)
【解答】解:①1﹣a;②;③;④﹣;⑤;⑥(x+1)(x+2)=0中①1﹣a;②;④﹣是整式.
故答案为:①②④.
知识点05 多项式的升幂和降幂排列
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.
20.把多项式3xy2﹣2x2y+1﹣x3按字母x的降幂排列为 ﹣x3﹣2x2y+3xy2+1 .
【解答】解:多项式3xy2﹣2x2y+1﹣x3的各项为3xy2,﹣2x2y,1,﹣x3,
按x的降幂排列为﹣x3﹣2x2y+3xy2+1.
故答案为:﹣x3﹣2x2y+3xy2+1.
21.把多项式4x2y+3xy2﹣2y3+x3按照x的降幂排列是: x3+4x2y+3xy2﹣2y3 ,按照x的升幂排列是: ﹣2y3+3xy2+4x2y+x3 ,按照y的降幂排列是: ﹣2y3+3xy2+4x2y+x3 ,按照y的升幂排列是: x3+4x2y+3xy2﹣2y3 .
【解答】解:∵多项式4x2y+3xy2﹣2y3+x3包含四项,分别为4x2y、3xy2、﹣2y3、x3,
∴该多项式按照x的降幂排列是x3+4x2y+3xy2﹣2y3,按照x的升幂排列是﹣2y3+3xy2+4x2y+x3,按照y的降幂排列是﹣2y3+3xy2+4x2y+x3,按照y的升幂排列是x3+4x2y+3xy2﹣2y3.
故答案为:x3+4x2y+3xy2﹣2y3,﹣2y3+3xy2+4x2y+x3,﹣2y3+3xy2+4x2y+x3,x3+4x2y+3xy2﹣2y3.
22.把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列.
(1)按a升幂排列;
(2)按a降幂排列.
【解答】解:(1)多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2按a的升幂排列是﹣b3+3ab2﹣3a2b+a3;
(2)按a的降幂排列的是a3﹣3a2b+3ab2﹣b3.
一.选择题
1.下列代数式符合规范书写要求的是( )
A.﹣1x B.1xy C.0.3÷x D.﹣a
【解答】解:A、原书写错误,应该写成﹣x,故此选项不符合题意;
B、原书写错误,应写成xy,故此选项不符合题意;
C、原书写错误,应写成,故此选项不符合题意;
D、原书写正确,故此选项符合题意.
故选:D.
2.用代数式表示:a与3差的2倍.下列表示正确的是( )
A.2a﹣3 B.2a+3 C.2(a﹣3) D.2(a+3)
【解答】解:a与3差的2倍.表示为:2(a﹣3),
故选:C.
3.下列各式中是单项式的是( )
A.m+n B.2x﹣3y C.2xy2 D.(5a+2b)2
【解答】解:A、m+n是多项式,不合题意;
B、2x﹣3y是多项式,不合题意;
C、2xy2是单项式,符合题意;
D、(5a+2b)2是多项式,不合题意;
故选:C.
4.下列说法正确的是( )
A.2不是单项式 B.是单项式
C.单项式x的系数是0 D.4x2﹣3是多项式
【解答】解:A.2是单项式,故此选项不合题意;
B.不是单项式,故此选项不合题意;
C.单项式x的系数是1,故此选项不合题意;
D.4x2﹣3是多项式,故此选项符合题意.
故选:D.
5.下列式子:x2+1,+4,,,﹣5x,0,中,整式的个数是( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【解答】解:根据整式的定义,可以知道x2+1,,﹣5x,0属于整式,有4个,
故选:C.
6.多项式﹣x2﹣2x﹣1的各项分别是( )
A.﹣x2,2x,1 B.﹣x2,﹣2x,﹣1 C.x2,2x,1 D.x2,﹣2x,﹣1
【解答】解:多项式﹣x2﹣2x﹣1的项分别是﹣x2,﹣2x,﹣1,
故选:B.
7.单项式﹣的系数和次数是( )
A.系数是,次数是3 B.系数是﹣;,次数是5
C.系数是﹣,次数是3 D.系数是5,次数是﹣
【解答】解:单项式﹣的系数和次数是:﹣,5.
故选:B.
8.多项式2x2﹣5x2y﹣y2﹣3的次数和三次项分别是( )
A.2和5x2y B.3和5x2y C.4和﹣5x2y D.3和﹣5x2y
【解答】解:多项式2x2﹣5x2y﹣y2﹣3的次数和三次项分别为3,﹣5x2y,
故选:D.
二.填空题
9.代数式a×1应该写成 .
【解答】解:a×1应该写成,
故答案为:.
10.单项式ah的次数是 2 .
【解答】解:单项式ah的次数是:1+1=2.
故答案为:2.
11.若多项式(k﹣1)x2+3x|k+2|+2为三次三项式,则k的值为 ﹣5 .
【解答】解:∵多项式(k﹣1)x2+3x|k+2|+2是关于x的三次三项式,
∴|k+2|=3,k﹣1≠0,
解得:k=﹣5.
故答案为:﹣5.
12.若2x2﹣3x=2,则4x2﹣6x+5的值是 9 .
【解答】解:∵2x2﹣3x=2,
∴4x2﹣6x+5
=2(2x2﹣3x)+5
=2×2+5
=9,
故答案为:9.
13.把多项式x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3用适当的方式排列.
(1)按字母x的升幂排列得: ﹣y4﹣2xy2﹣5x2y3+3x3y+x4 ;
(2)按字母y的升幂排列得: x4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3﹣y4 .
【解答】解:(1)按字母x的升幂排列得:﹣y4﹣2xy2﹣5x2y3+3x3y+x4;
故答案为:﹣y4﹣2xy2﹣5x2y3+3x3y+x4;
(2)按字母y的升幂排列得:x4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3﹣y4;
故答案为:x4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3﹣y4.
三.解答题
14.下列代数式中,哪些是整式?
①x2+y2;②﹣x;③;④6xy+1;⑤;⑥0;⑦.
【解答】解:①x2+y2,是整式;
②﹣x,是整式;
③,是整式;
④6xy+1,是整式;
⑤,不是整式;
⑥0,是整式;
⑦,不是整式.
15.如果2xny4与m2x2y|m﹣n|都是关于x、y的六次单项式,且系数相等,求m、n的值.
【解答】解:根据题意得:,
解得:.
16.回顾多项式的有关概念,解决下列问题:
(1)求多项式﹣x3y3+x4y中各项的系数和次数;
(2)若多项式﹣5xa+1y2﹣x3y3+x4y的最高次项次数是7,求a的值.
【解答】解:(1)多项式﹣x3y3+x4y中:﹣x3y3的系数是﹣,次数是6;
x4y的系数是,次数是5;
(2)∵多项式﹣5xa+1y2﹣x3y3+x4y的最高次项次数是7,
∴a+1+2=7,
解得:a=4.
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