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四川省内江市市中区中考数学二模试卷
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这是一份四川省内江市市中区中考数学二模试卷，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省内江市市中区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a²+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）²＝a²+b² D．（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b2
3．（3分）人的大脑每天能记录大约8600万条信息，8600万用科学记数法表示为（ ）
A．0.86×108 B．8.6×103 C．8.6×107 D．86×102
4．（3分）下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
6．（3分）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+2＜b+2
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
8．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
10．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
11．（3分）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填在题中横线上）
13．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： ．
15．（5分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 ．
16．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若CO＝1，则阴影部分面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）先化简：，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．
19．（8分）有史料记载，内江钟鼓楼始建于明洪武初年，天顺六年至万历年间，曾先后二毁两修，清光绪年间，又毁于火后复修．在没有高层建筑的时代，一直流传着“内江有座钟鼓楼，半截还在天里头”的说法．它位于内江城区中心，建筑规模极小，但历史内涵极为丰富，被称为内江“袖珍博物馆”，现已申报国家级重点文物保护单位；学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
20．（8分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．
四、填空题（本大题共4个小题．每小题6分，共24分。请将解答结果直接填在题中的横线上）
22．（6分）已知实数a，b满足，则的值为 ．
23．（6分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝ ．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标 ．
25．（6分）如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 ．
五、解答题（3个小题，共36分）
26．（12分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
27．（12分）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
28．（12分）在同一平面直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）对于抛物线C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年四川省内江市市中区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．﹣
【考点】实数；相反数；绝对值．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据小于0的是负数即可求解．
【解答】解：|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，（﹣3）2＝9，
∴四个数中，负数是﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大还是比0小．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a²+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）²＝a²+b² D．（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b2
【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则判断即可．
【解答】解：A、a²+a3不是同类项不能计算，故A不正确；
B、（ab）²＝a²b²，故B不正确；
C、（a+b）²＝a²+2ab+b²，故C不正确；
D、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则的应用，熟练的运用法则是解题关键．
3．（3分）人的大脑每天能记录大约8600万条信息，8600万用科学记数法表示为（ ）
A．0.86×108 B．8.6×103 C．8.6×107 D．86×102
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8600万用科学记数法表示为8.6×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形、轴对称对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
5．（3分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【考点】垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．
6．（3分）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+2＜b+2
【考点】实数与数轴；不等式的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】首先利用数轴上的信息确定a、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
【解答】解：根据数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依题意a+b＞0，故结论错误；
B：依题意b﹣a＞0，故结论错误；
C：依题意2a＜2b，故结论错误；
D：依题意a+2＜b+2，故结论正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
【考点】概率公式；全面调查与抽样调查；算术平均数；中位数；方差．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误，不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为，抽奖20次可能有1次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式、调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义等知识，解题的关键是了解统计的有关知识，难度不大．
8．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：＝，最后由圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
10．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．
【解答】解：观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离都为18千米，所以（1）正确；
甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；
甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；
两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正确；
甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
11．（3分）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据垂直定义可得∠AEC＝∠ADB＝90°，从而可证△ABD∽△ACE，利用相似三角形的性质即可判断①；利用三角形的内角和可以求出∠ABC+∠ACB＝120°，从而求出∠BEF+∠BFE+∠CFD+∠CDF＝240°，再利用直角三角形斜边上的中线可得EF＝DF＝BF＝CF，从而可得∠BEF＝∠BFE，∠CFD＝∠CDF，进而可得∠BFE+∠CFD＝120°，然后再利用平角定义求出∠EFD＝60°，即可判断②；在Rt△BEC和Rt△BDC中，分别利用锐角三角函数的定义求出BE，CD的长，然后进行计算即可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ABD＝30°，从而可得＝，再利用①的结论可证△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质即可判断④．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝，
故①正确；
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠BEC＝∠BDC＝90°，F是BC的中点，
∴EF＝BF＝BC，DF＝CF＝BC，
∴EF＝DF＝BF＝CF，
∴∠BEF＝∠EBF，∠DCF＝∠CDF，
∴∠BEF+∠CDF＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BEF+∠CDF）＝60°，
∴∠EFD＝180°﹣（∠BFE+∠CFD）＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
故②正确；
在Rt△BEC中，BE＝BC•cos∠ABC，
在Rt△BDC中，CD＝BC•cos∠ACB，
∴BE+CD＝BC•cos∠ABC+BC•cos∠ACB
＝BC（cos∠ABC+cos∠ACB）
≠BC，
故③不正确；
∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝30°，
∴AD＝AB，
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3，
故④正确，
所以，上列结论正确的个数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
如图，
∵0＜n＜m，
∴﹣m＞﹣m，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，
∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这两个知识点的综合应用，其中二次函数对称轴的确定及函数与方程的关系是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填在题中横线上）
13．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x＞3 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】x＞3．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
14．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： m≤7且m≠3 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】m≤7且m≠3．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣3）×1≥0且m﹣3≠0，
解得：m≤7且m≠3．
故答案为：m≤7且m≠3．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，列出关于m的一元一次不等式组是解决问题的关键．
15．（5分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 7 ．
【考点】等腰直角三角形；作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】7．
【分析】设MN交BC于D，连接EC，由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，即得BE＝CE＝4，有∠ECB＝∠B＝45°，从而∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，由勾股定理得AE＝3，故AB＝AE+BE＝7．
【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝4，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到MN是线段BC的垂直平分线．
16．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若CO＝1，则阴影部分面积为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由CO＝1，可得AO＝OB＝1求出AB＝2，再根据旋转的性质可得A′B＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，再根据S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO＝1，
∴OA＝OB＝1，
∴AC＝BC＝，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝OA+OB＝2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′＝AB＝2，
∴BA′＝2OB，
∴∠OA′B＝30°，
∴∠A′BA＝60°，
即旋转角为60°，
S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′
＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，中垂线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）先化简：，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；整式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】（1）xy7．
（2）x，1．
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义、整式的乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝x﹣4y6•（﹣8x6y3）÷（﹣xy2）
＝（x2y9）÷（﹣xy2）
＝xy7．
（2）原式＝•
＝•
＝x，
由分式有意义的条件可知：x不能取0，2，
故当x＝1时，
原式＝1．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义、整式的乘除运算法则、分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN，从而可以得到ME＝NF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠DCN，
∵∠ADM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DE﹣DM＝DF﹣DN，
∴ME＝NF．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）有史料记载，内江钟鼓楼始建于明洪武初年，天顺六年至万历年间，曾先后二毁两修，清光绪年间，又毁于火后复修．在没有高层建筑的时代，一直流传着“内江有座钟鼓楼，半截还在天里头”的说法．它位于内江城区中心，建筑规模极小，但历史内涵极为丰富，被称为内江“袖珍博物馆”，现已申报国家级重点文物保护单位；学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）200，7.2度；
（2）3360人；
（3）．
【分析】（1）根据“基本了解”的人数除以占比求得m点的值，根据360°乘以“不太了解”的占比即可求解；
（2）根据样本估计总体，由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，用12000×28%，即可求解；
（3）根据题意画出树状图，列出可能结果，进而根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人，
由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由图（1）可知：“比较了解”有100人，
∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°，
由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，
于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人．
（3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况画树状图如图所示，
由上表可知，一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用画树状图法求概率；画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率＝所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是关键．
20．（8分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【答案】约为47米．
【分析】如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，设EF＝a米，BF＝b米，构建方程组求解．
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝262，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝，
∴≈2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH＝＝＝，
∴≈1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）0＜x≤1或x≥4；
（3）点P的坐标为（1，0）或（9，0）．
【分析】（1）将点A（1，4）代入y＝可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b≤的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）根据图象得：当0＜x≤1或x≥4时，kx+b≤；
∴不等式kx+b≤的解集为0＜x≤1或x≥4；
（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，
∵直线AB与x轴交于点C，
∴点C坐标为（5，0），
∵△ABP的面积为6，
∴×PC×4﹣PC×1＝6
∴PC＝4，
∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
四、填空题（本大题共4个小题．每小题6分，共24分。请将解答结果直接填在题中的横线上）
22．（6分）已知实数a，b满足，则的值为 0或2 ．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】0或2．
【分析】将已知等式变形可得（a+b）2（a﹣b）2＝0，然后根据“两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0”即可得出a＝﹣b或a＝b，最后代入即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴（a2+b2）2＝4a2b2，
整理，得（a+b）2（a﹣b）2＝0，
∴a＝﹣b或a＝b，
当a＝﹣b时，；
当a＝b时，，
综上：原式＝0或2，
故答案为：0或2．
【点评】此题考查的是分式的基本性质和因式分解，掌握分式的基本性质、利用平方差公式因式分解和两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0是解决此题的关键．
23．（6分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝ 24 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】24．
【分析】方法一：取AG的中点M，连接DM，根据AAS证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM＝S△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面积．
方法二：连接AE，根据线段比例关系得出＝＝，再由＝＝，得出S△AEG＝S△ACG＝4，推出S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，即可得出S△ABC＝2S△ACE＝24，
【解答】解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（AAS），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
方法二：连接AE，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵F是DE的中点，
∴＝，
∴＝＝，
∵S△EFG＝1，
∴S△ACG＝16，
∵EF∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEG＝S△ACG＝4，
∴S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，
∴S△ABC＝2S△ACE＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标 （45，2） ．
【考点】规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【答案】（45，2）．
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标以0结束；据此求解即可．
【解答】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
∴横坐标以n结束的有n2个点，
∵452＝2025，
∴第2025个点的坐标是（45，0），
∴2023个点的纵坐标往上数2个单位为2，
∴2023个点的坐标是（45，2）；
故答案为：（45，2）．
【点评】本题考查了点坐标规律探究，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
25．（6分）如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 （4，4） ．
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；三角形三边关系；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】（4，4）．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝6，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6，
∴CD＝6+2＝8，
C坐标为（2，8），
∴OM＝CD＝4，即OM的最大值为4，M坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
五、解答题（3个小题，共36分）
26．（12分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）（x+a）（x﹣a+1）；
（2）（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）（a2+b2）（a﹣b）2，9．
【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；
（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
27．（12分）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）．
【分析】（1）想办法证明OD⊥PD即可；
（2）根据两个角相等证明△BAD∽△CDP；
（3）解法一：证明四边形ODGC是矩形，先根据等角的三角函数可得PG的长，最后根据线段的和可得结论．
解法二：作辅助线，证明AM＝DM＝7，可得AD的长，同解法一可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，则∠M＝∠CND＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，
∵A，B，D，C四点共圆，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴△DCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM，
同理得：AM＝AN，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AM＝DM＝7，
∴AD＝7，
由解法一可得：OE＝．
即点O到AD的距离是．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（12分）在同一平面直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）对于抛物线C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；
（2）可判定四边形PEDE′是菱形，然后根据PE＝DE的条件，列出方程求解；
（3）由题意可知AB可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出G点坐标和Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得G、Q的坐标．
【解答】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a＝1，n＝﹣3，
∴C1的对称轴为x＝1，
∴C2的对称轴为x＝﹣1，
∴m＝2，
∴C1的函数表示式为y＝x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
在C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）∵点E、E′关于直线PD对称，
∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．
∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，
∴∠E′PD＝∠PDE′，
∴PE′＝DE′，
∴PE＝DE＝PE′＝DE′，
即四边形PEDE′是菱形．
当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y＝﹣x﹣3，∠ADO＝45°，
设P（a，a2+2a﹣3），E（a，﹣a﹣3），
∴DE＝﹣a，PE＝﹣a﹣3﹣a2﹣2a+3＝﹣a2﹣3a，
∴﹣，解得a1＝0（舍去），a2＝，
∴．
（3）存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
当AB为平行四边形的一边时，
∴GQ∥AB且GQ＝AB，
由（2）可知AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴GQ＝4，
设G（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t+4）2+2（t+4）﹣3，
解得t＝﹣2，
∴t2﹣2t﹣3＝4+4﹣3＝5，
∴G（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，
解得t＝2，
∴t2﹣2t﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），
当AB为平行四边形的对角线时，设G（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，n2+2n﹣3），
∴，
解得m＝，n＝﹣2﹣或m＝﹣，n＝﹣2+，
∴G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．
综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G（﹣2，5），Q（2，5）或G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）或G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．需要注意的是，用点的坐标表示线段长度的代数式要注意符号．
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2023年四川省内江市市中区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a²+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）²＝a²+b² D．（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b2
3．（3分）人的大脑每天能记录大约8600万条信息，8600万用科学记数法表示为（ ）
A．0.86×108 B．8.6×103 C．8.6×107 D．86×102
4．（3分）下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
6．（3分）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+2＜b+2
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
8．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
10．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
11．（3分）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填在题中横线上）
13．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： ．
15．（5分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 ．
16．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若CO＝1，则阴影部分面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）先化简：，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．
19．（8分）有史料记载，内江钟鼓楼始建于明洪武初年，天顺六年至万历年间，曾先后二毁两修，清光绪年间，又毁于火后复修．在没有高层建筑的时代，一直流传着“内江有座钟鼓楼，半截还在天里头”的说法．它位于内江城区中心，建筑规模极小，但历史内涵极为丰富，被称为内江“袖珍博物馆”，现已申报国家级重点文物保护单位；学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
20．（8分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．
四、填空题（本大题共4个小题．每小题6分，共24分。请将解答结果直接填在题中的横线上）
22．（6分）已知实数a，b满足，则的值为 ．
23．（6分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝ ．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标 ．
25．（6分）如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 ．
五、解答题（3个小题，共36分）
26．（12分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
27．（12分）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
28．（12分）在同一平面直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）对于抛物线C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年四川省内江市市中区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．﹣
【考点】实数；相反数；绝对值．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据小于0的是负数即可求解．
【解答】解：|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，（﹣3）2＝9，
∴四个数中，负数是﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大还是比0小．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a²+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）²＝a²+b² D．（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b2
【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则判断即可．
【解答】解：A、a²+a3不是同类项不能计算，故A不正确；
B、（ab）²＝a²b²，故B不正确；
C、（a+b）²＝a²+2ab+b²，故C不正确；
D、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则的应用，熟练的运用法则是解题关键．
3．（3分）人的大脑每天能记录大约8600万条信息，8600万用科学记数法表示为（ ）
A．0.86×108 B．8.6×103 C．8.6×107 D．86×102
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8600万用科学记数法表示为8.6×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形、轴对称对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
5．（3分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【考点】垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．
6．（3分）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+2＜b+2
【考点】实数与数轴；不等式的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】首先利用数轴上的信息确定a、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
【解答】解：根据数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依题意a+b＞0，故结论错误；
B：依题意b﹣a＞0，故结论错误；
C：依题意2a＜2b，故结论错误；
D：依题意a+2＜b+2，故结论正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
【考点】概率公式；全面调查与抽样调查；算术平均数；中位数；方差．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误，不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为，抽奖20次可能有1次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式、调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义等知识，解题的关键是了解统计的有关知识，难度不大．
8．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：＝，最后由圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
10．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．
【解答】解：观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离都为18千米，所以（1）正确；
甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；
甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；
两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正确；
甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
11．（3分）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据垂直定义可得∠AEC＝∠ADB＝90°，从而可证△ABD∽△ACE，利用相似三角形的性质即可判断①；利用三角形的内角和可以求出∠ABC+∠ACB＝120°，从而求出∠BEF+∠BFE+∠CFD+∠CDF＝240°，再利用直角三角形斜边上的中线可得EF＝DF＝BF＝CF，从而可得∠BEF＝∠BFE，∠CFD＝∠CDF，进而可得∠BFE+∠CFD＝120°，然后再利用平角定义求出∠EFD＝60°，即可判断②；在Rt△BEC和Rt△BDC中，分别利用锐角三角函数的定义求出BE，CD的长，然后进行计算即可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ABD＝30°，从而可得＝，再利用①的结论可证△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质即可判断④．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝，
故①正确；
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠BEC＝∠BDC＝90°，F是BC的中点，
∴EF＝BF＝BC，DF＝CF＝BC，
∴EF＝DF＝BF＝CF，
∴∠BEF＝∠EBF，∠DCF＝∠CDF，
∴∠BEF+∠CDF＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BEF+∠CDF）＝60°，
∴∠EFD＝180°﹣（∠BFE+∠CFD）＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
故②正确；
在Rt△BEC中，BE＝BC•cos∠ABC，
在Rt△BDC中，CD＝BC•cos∠ACB，
∴BE+CD＝BC•cos∠ABC+BC•cos∠ACB
＝BC（cos∠ABC+cos∠ACB）
≠BC，
故③不正确；
∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝30°，
∴AD＝AB，
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3，
故④正确，
所以，上列结论正确的个数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
如图，
∵0＜n＜m，
∴﹣m＞﹣m，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，
∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这两个知识点的综合应用，其中二次函数对称轴的确定及函数与方程的关系是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填在题中横线上）
13．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x＞3 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】x＞3．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
14．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： m≤7且m≠3 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】m≤7且m≠3．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣3）×1≥0且m﹣3≠0，
解得：m≤7且m≠3．
故答案为：m≤7且m≠3．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，列出关于m的一元一次不等式组是解决问题的关键．
15．（5分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 7 ．
【考点】等腰直角三角形；作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【答案】7．
【分析】设MN交BC于D，连接EC，由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，即得BE＝CE＝4，有∠ECB＝∠B＝45°，从而∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，由勾股定理得AE＝3，故AB＝AE+BE＝7．
【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝4，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到MN是线段BC的垂直平分线．
16．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若CO＝1，则阴影部分面积为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由CO＝1，可得AO＝OB＝1求出AB＝2，再根据旋转的性质可得A′B＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，再根据S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO＝1，
∴OA＝OB＝1，
∴AC＝BC＝，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝OA+OB＝2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′＝AB＝2，
∴BA′＝2OB，
∴∠OA′B＝30°，
∴∠A′BA＝60°，
即旋转角为60°，
S阴影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′
＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，中垂线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）先化简：，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；整式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】（1）xy7．
（2）x，1．
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义、整式的乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝x﹣4y6•（﹣8x6y3）÷（﹣xy2）
＝（x2y9）÷（﹣xy2）
＝xy7．
（2）原式＝•
＝•
＝x，
由分式有意义的条件可知：x不能取0，2，
故当x＝1时，
原式＝1．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义、整式的乘除运算法则、分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN，从而可以得到ME＝NF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠DCN，
∵∠ADM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DE﹣DM＝DF﹣DN，
∴ME＝NF．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）有史料记载，内江钟鼓楼始建于明洪武初年，天顺六年至万历年间，曾先后二毁两修，清光绪年间，又毁于火后复修．在没有高层建筑的时代，一直流传着“内江有座钟鼓楼，半截还在天里头”的说法．它位于内江城区中心，建筑规模极小，但历史内涵极为丰富，被称为内江“袖珍博物馆”，现已申报国家级重点文物保护单位；学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）200，7.2度；
（2）3360人；
（3）．
【分析】（1）根据“基本了解”的人数除以占比求得m点的值，根据360°乘以“不太了解”的占比即可求解；
（2）根据样本估计总体，由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，用12000×28%，即可求解；
（3）根据题意画出树状图，列出可能结果，进而根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人，
由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由图（1）可知：“比较了解”有100人，
∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°，
由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，
于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人．
（3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况画树状图如图所示，
由上表可知，一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用画树状图法求概率；画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率＝所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是关键．
20．（8分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【答案】约为47米．
【分析】如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，设EF＝a米，BF＝b米，构建方程组求解．
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝262，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝，
∴≈2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH＝＝＝，
∴≈1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）0＜x≤1或x≥4；
（3）点P的坐标为（1，0）或（9，0）．
【分析】（1）将点A（1，4）代入y＝可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b≤的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）根据图象得：当0＜x≤1或x≥4时，kx+b≤；
∴不等式kx+b≤的解集为0＜x≤1或x≥4；
（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，
∵直线AB与x轴交于点C，
∴点C坐标为（5，0），
∵△ABP的面积为6，
∴×PC×4﹣PC×1＝6
∴PC＝4，
∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
四、填空题（本大题共4个小题．每小题6分，共24分。请将解答结果直接填在题中的横线上）
22．（6分）已知实数a，b满足，则的值为 0或2 ．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】0或2．
【分析】将已知等式变形可得（a+b）2（a﹣b）2＝0，然后根据“两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0”即可得出a＝﹣b或a＝b，最后代入即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴（a2+b2）2＝4a2b2，
整理，得（a+b）2（a﹣b）2＝0，
∴a＝﹣b或a＝b，
当a＝﹣b时，；
当a＝b时，，
综上：原式＝0或2，
故答案为：0或2．
【点评】此题考查的是分式的基本性质和因式分解，掌握分式的基本性质、利用平方差公式因式分解和两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0是解决此题的关键．
23．（6分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝ 24 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】24．
【分析】方法一：取AG的中点M，连接DM，根据AAS证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM＝S△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面积．
方法二：连接AE，根据线段比例关系得出＝＝，再由＝＝，得出S△AEG＝S△ACG＝4，推出S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，即可得出S△ABC＝2S△ACE＝24，
【解答】解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（AAS），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
方法二：连接AE，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵F是DE的中点，
∴＝，
∴＝＝，
∵S△EFG＝1，
∴S△ACG＝16，
∵EF∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEG＝S△ACG＝4，
∴S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，
∴S△ABC＝2S△ACE＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标 （45，2） ．
【考点】规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【答案】（45，2）．
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标以0结束；据此求解即可．
【解答】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
∴横坐标以n结束的有n2个点，
∵452＝2025，
∴第2025个点的坐标是（45，0），
∴2023个点的纵坐标往上数2个单位为2，
∴2023个点的坐标是（45，2）；
故答案为：（45，2）．
【点评】本题考查了点坐标规律探究，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
25．（6分）如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 （4，4） ．
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；三角形三边关系；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】（4，4）．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝6，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6，
∴CD＝6+2＝8，
C坐标为（2，8），
∴OM＝CD＝4，即OM的最大值为4，M坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
五、解答题（3个小题，共36分）
26．（12分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）（x+a）（x﹣a+1）；
（2）（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）（a2+b2）（a﹣b）2，9．
【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；
（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
27．（12分）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）．
【分析】（1）想办法证明OD⊥PD即可；
（2）根据两个角相等证明△BAD∽△CDP；
（3）解法一：证明四边形ODGC是矩形，先根据等角的三角函数可得PG的长，最后根据线段的和可得结论．
解法二：作辅助线，证明AM＝DM＝7，可得AD的长，同解法一可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，则∠M＝∠CND＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，
∵A，B，D，C四点共圆，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴△DCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM，
同理得：AM＝AN，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AM＝DM＝7，
∴AD＝7，
由解法一可得：OE＝．
即点O到AD的距离是．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（12分）在同一平面直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）对于抛物线C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；
（2）可判定四边形PEDE′是菱形，然后根据PE＝DE的条件，列出方程求解；
（3）由题意可知AB可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出G点坐标和Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得G、Q的坐标．
【解答】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a＝1，n＝﹣3，
∴C1的对称轴为x＝1，
∴C2的对称轴为x＝﹣1，
∴m＝2，
∴C1的函数表示式为y＝x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
在C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）∵点E、E′关于直线PD对称，
∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．
∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，
∴∠E′PD＝∠PDE′，
∴PE′＝DE′，
∴PE＝DE＝PE′＝DE′，
即四边形PEDE′是菱形．
当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y＝﹣x﹣3，∠ADO＝45°，
设P（a，a2+2a﹣3），E（a，﹣a﹣3），
∴DE＝﹣a，PE＝﹣a﹣3﹣a2﹣2a+3＝﹣a2﹣3a，
∴﹣，解得a1＝0（舍去），a2＝，
∴．
（3）存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
当AB为平行四边形的一边时，
∴GQ∥AB且GQ＝AB，
由（2）可知AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴GQ＝4，
设G（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t+4）2+2（t+4）﹣3，
解得t＝﹣2，
∴t2﹣2t﹣3＝4+4﹣3＝5，
∴G（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，
解得t＝2，
∴t2﹣2t﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），
当AB为平行四边形的对角线时，设G（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，n2+2n﹣3），
∴，
解得m＝，n＝﹣2﹣或m＝﹣，n＝﹣2+，
∴G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．
综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G（﹣2，5），Q（2，5）或G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）或G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．需要注意的是，用点的坐标表示线段长度的代数式要注意符号．
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