2023年浙江省金华市武义县中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省金华市武义县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  武义温泉小镇是我省第一批特色小镇之一，年温泉小镇实现旅游总收入元，将用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  将分别标有“来”“武”“义”“我”“养”“你”“最”“美”“武”“义”个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，摸球前先搅匀，随机摸出一球，摸出球上的汉字是“武”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，是中弦的中点，经过圆心交于点若，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了人，并进行统计分析，结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是，在不吸烟者中患肺癌的比例是，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多人，如果设这人中，吸烟者患肺癌的人数为，不吸烟者患肺癌的人数为，根据题意，下面列出的方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知二次函数的图象经过点，则当时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长交于点，若平分，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  已知分式满足条件“只含有字母，且当时分式的值为”，请写出一个这样的分式______ ．

13.  若一元二次方程的两根分别为，，则代数式 ______ ．

14.  如图，小聪探索发现，当三角板中角的顶点在上移动，三角板的两边与相交于点，时，的长度保持不变若的半径为，则的长为______ ．

15.  如图，矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形若点恰好落在线段的延长线上，则的长为______ ．

16.  如图是机械设计上的曲柄摇杆机构模型图，该机构可以抽象成数学模型如图，曲柄绕点旋转，带动摇杆在和间反复摆动已知，，．
旋转过程中，设点与点的距离为，则的取值范围是______ ______ ．
若于点，，则 ______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程组：．

19.  本小题分
如图，平行四边形中，点在上，且，试分别在两个图中按要求使用无刻度直尺画图保留作图痕迹
在图中，画出的平分线；
在图中，画出的平分线．
 

20.  本小题分
党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理得分用表示：：，：，：，：，：，并绘制出如图的统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：
图中组所在扇形的圆心角度数为______ ，并将条形统计图补充完整．
若“”这一组的数据为：，，，，，，，，，求这组数据的众数和中位数．
若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为，，，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．

21.  本小题分
如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点．
求和的值．
根据图象，当时，求的取值范围．
如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，过点作交于点，的延长线与的延长线交于点．
求证：是的切线．
若．
求的值．
当时，求的长．

23.  本小题分
如图，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线如图，以喷水池中心为原点，水平方向为轴，米为个单位长度建立平面直角坐标系，喷头的坐标为设抛物线的函数表达式中二次项系数为．

当水柱都满足水平距离为米时，达到最大高度为米．
若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
用含的代数式表示．
为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，与之间满足，且当水平距离为米时，水柱达到最大高度．
求改造后水柱达到的最大高度．
若水池的直径为米，要使水柱不能落在水池外，求的取值范围．

24.  本小题分
如图，在等边中，，点在边上，，过点作交于点，点在射线上，以、为邻边作平行四边形．

若点是的中点求证：．
如图，连接当点在上，中有一个角为时，求的面积．
连接、若以，，为顶点的三角形与相似，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可表示为，
故选：．
用科学记数法表示绝对值大于的数，将原数化为的形式，其中，为整数，的值等于把原数变为时小数点移动的位数．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于的数的方法：将原数化为的形式，其中，为整数，的值等于把原数变为时小数点移动的位数．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选B．
根据三视图的判断方法判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，正确判断出三视图是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法运算法则，合并同类项，幂的乘方逐个计算即可进行解答．
本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘除，底数不变，指数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母的指数不变，只把系数相加减．
 

5.【答案】 

【解析】解：有“来”“武”“义”“我”“养”“你”“最”“美”“武”“义”个汉字的小球，球上的汉字是“武”的有个，
摸出球上的汉字是“武”的概率是．
故选：．
根据概率公式直接计算即可．
本题考查概率，掌握概率公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式组得：．
再分别表示在数轴上为．
故选A．
先求出两个不等式的解集，各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．
此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

7.【答案】 

【解析】解：是弦的中点，
，
，
，
设是米，则，
在中，有，
即：，
解得：，
．
故选：．
因为是弦的中点，根据垂径定理，，则，在中，有，可求得，进而就可求得．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可得在调查的人中，吸烟者的人数为，不吸烟者的人数为，
所以，
根据吸烟者患癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多人，得
，
联立可得方程组．
故选：．
根据题意可得在调查的人中，吸烟者的人数为，不吸烟者的人数为可得；根据吸烟者患癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多人可得，联立组成方程组即可．
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，确定等量关系是列出方程组的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得：，
解得：，
该二次函数的表达式为：，
该函数的对称轴为直线，
，
该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
，
再之间，当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
当时，的取值范围是．
故选：．
先将点代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，设，，

平分，
，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得：，
，
∽，
，
故选：．
过点作，设，，先证得，可得，再证∽，可得，即，解出，再证∽，列比例式求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为．  

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：“只含有字母，且当时分式的值为”的分式为，
故答案为：答案不唯一．
根据分式值为的条件：分子，分母；即可进行解答．
本题主要考查了分式值为的条件，解题的关键是掌握分式值为的条件：分子，分母．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
这里，，
．
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系求则可．若，是关于的一元二次方程为常数的两个实数根，则．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根的和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
，
的半径为，
弧长为：，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式即可求解．
本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧长公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，．
矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形，
，，，
，
≌，
．
设，，
在中，，
，
解得：，
即．
故答案为：．
先根据证明≌，得，设，则，在中根据勾股定理列出关于的方程求解即可．
此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
 

16.【答案】    

【解析】解：连接，在中，，

如图：点，，在同一条直线上，
此时取最大值，，

如图：点，，在同一条直线上，
此时取最大值，，
的取值范围是，
故答案为：，；
过点作于点，过点作于点，
，，，
四边形为矩形，
，
，
设，则，，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得：，
则，
，
在中，根据勾股定理可得：，
，
，

故答案为：．
连接，根据三角形三边之间的关系得出，当点、、在同一条直线上时，分别取得最大值和最小值；
过点作于点，过点作于点，易证四边形为矩形，设，则，，根据 ，，得出，求出的值，则，根据勾股定理求出，，最后根据，即可求解．
本题主要考查了三角形三边之间的关系，线段之间的和差，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质化简即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
得，，
；
把代入得，，
；
原方程组的解为． 

【解析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，平分．
如图，平分．
 

【解析】如图所示，连接，则平分．
如图所示，连接，，交于点，连接，则平分．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】 

【解析】解：参加此次竞赛总人数：人，
组所占百分比：，
组所在扇形的圆心角度数，
组人数：人，
条形统计图如图所示：

故答案为：．
排序为，，，，，，，，，，
中位数为：，
出现次数最多，
众数为，
综上：众数为，中位数为；
小敏最后得分：，
小敏能参加决赛．
先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用乘以组所占百分比，即可求出组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以组所占百分比，即可求出组的人数，即可补充条形统计图；
根据众数和中位数的定义，即可进行解答；众数：在一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据即为中位数；
将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的求法以及正确从统计图中获取需要的信息．
 

21.【答案】解：将点代入得：；
，
将点代入得：，
解得：，
，；
联立函数表达式得：
，
解得，．
由图象可知，当时，或．

对于，令，则．
，
，
．
四边形是菱形，
，，
的坐标为． 

【解析】先将代入即可求出的值，得出，再用待定系数法求解的值即可；
联立一次函数和反比例函数表达式，求出两交点的横坐标，结合图象，即可写出的取值范围；
先求出点的坐标，得出的长度，根据菱形的性质可得，即可写出点的坐标．
本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，菱形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及菱形四边相等．
 

22.【答案】证明：如图，连结，

，
．
，
，
．
，
．
为的半径，
是的切线；
解：连结．

由得，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
，
∽，
，
，，
；
由得，
．
，
∽，
．
即，
． 

【解析】连结，先证为等腰三角形，因为，得，再证，即可证明是的切线；
连结由得，因为是的直径，所以，再证∽，所以，即可求得；
由得，所以由∽，得即可求得．
本题考查了切线的证明，相似三角形的性质与判定，锐角三角比等知识点，正确辅助线的添加是解题的关键．
 

23.【答案】解：设第一象限内水柱的函数表达式为．
当时，把代入函数表达式，得．
第一象限内水柱的函数表达式为．
把代入，
得，
得，
设第一象限内水柱的函数表达式为．
，
．
把代入，得，
．
水柱达到的最大高度米．
把代入，得．
要使水柱不能落在水池外，则的取值范围为．
，
，
解得．
． 

【解析】设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，把代入即可得解；
设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出与的关系，将代入，即可得解把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定的取值范围，再利用等量代即可得出的取值范围．．
本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
 

24.【答案】证明：是等边三角形，
，．
，
．
是等边三角形．
，
，
点是的中点，
．
四边形是平行四边形，
．
；
解：如图，当时，过点作于点．

．
，
．
．
．
，
．
，
．
；
如图，当时，过点作于点．

，
，
．
．
，
，
设，则．
．
．
．
，
，
．
的面积为或；
解：当点在线段上时．
四边形是平行四边形，
，．
，．
，
．
，
．
如图，当时，∽．

，
设，则，，，．
，
解得：．
．
；
当时，∽不存在，
当点在的延长线上时．
四边形是平行四边形，
，．
，．
．
如图，当时，∽．

，
设，则，，，．
，
解得．
，
．
如图，当时，∽．

，
，
解得．
综上所述，或或． 

【解析】先证明是等边三角形，可得，可得到，根据平行四边形的性质可得，即可；
分两种情况讨论：当时，过点作于点；当时，过点作于点，即可求解；
分四种情况讨论，结合相似三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解答是解题的关键．