2023年重庆市铜梁区中考数学质检试卷(含解析）

2023年重庆市铜梁区中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，直线与，相交，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，，则与的周长之比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.  如图，点在上，圆心角，则圆周角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

9.  如图，正方形的对角线交于点，是正方形外一点，且，连接若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和例如：，，则下列说法正确的有(    )


 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  已知反比例函数的图象过点，则的值为______ ．

13.  是关于的方程的解，则的值是______ ．

14.  有四张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，，，将这四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，不放回再抽一张，卡片上的数字记为，则与的积为正数的概率是______ ．

15.  如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧，与交于点，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

16.  如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上处，点在上，将矩形沿折叠，使点落在上处，延长交于点，则 ______ ．

17.  若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是______ ．

18.  对于任意的三位数，若十位数字的平方等于百位数字与个位数字的积，则称这个数为“平方积数”例如：，因为，所以是“平方积数”．
最小“平方积数”是______ ；
已知为“平方积数”，且百位数字与个位数字不相等，满足条件的的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
．

20.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，平分．
用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，交于点，连接不写作法，不下结论，保留作图痕迹
求证：请补全下面的证明过程
证明：平分，
______ ．
四边形是平行四边形，
______ ．
，
______ ，
．
又 ______ ．
．

21.  本小题分
某校进行青春期知识培训后，开展了“我的青春最闪耀”知识竞赛，满分为分，学校数学兴趣小组为了了解本校八年级学生竞赛成绩的大致情况，随机抽取了男、女各名学生的竞赛成绩，并将成绩进行整理、描述和分析成绩分为，，，四个等级，其中：，：：，：，下面给出了部分信息：
名男生成绩在组的前名的分数为：，，，，
名女生的成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
抽取的名男生和名女生竞赛成绩统计表

根据以上信息解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ，并补全条形统计图；
根据以上数据，你认为在此次竞赛中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由写出一条理由即可；
该校八年级共有男生名，女生名，都参加了这次竞赛，请估计该年级成绩为等级的学生人数．

22.  本小题分
巴岳山隧道是铜梁至安岳高速公路的控制性工程，全长米，该工程由甲乙两个工程队承包，据了解，甲工程队的工作效率是乙工程队的倍
若两队同时开工用个月就能完成该工程，求乙工程队每个月施工多少米？
若乙队开工个月后甲队再加入共同施工，完成该工程时，甲乙两队完成的工程量刚好相等求乙工程队每个月施工多少米？

23.  本小题分
如图，四边形是铜梁西郊绿道玫瑰岛及附属区域的平面示意图，三角形是烧烤区，玫瑰岛环湖区域的四周修有人行步道经测量，点在的正北方向，米，点在的正东方向，点，在的正东方向，米，点在的北偏东，点在的北偏东．
求人行步道的长；结果保留根号
彬彬和萌萌烧烤后进行跑步练习，彬彬沿着跑步，萌萌沿着跑步，他们以相同的速度同时出发，通过计算说明谁先到达点．
参考数据：，
 

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，点从出发，以每秒的速度向点运动；点从同时出发，以每秒的速度沿着运动运动时间为秒，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：
请直接写出，与的函数关系式以及对应的的取值范围；
在如图所示的平面直角坐标系中画出，的图象；
根据图象直接写出当时，的取值范围．
 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，
求抛物线的函数表达式；
如图，是线段上方抛物线上一动点，过作交于，交于，求的最大值及此时点的坐标；
如图，将抛物线向左平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，为直线上一动点，是坐标平面上一点，为中取最大值时的点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
 

26.  本小题分
如图，在中，，，，为上一动点，以为边作等边．
如图，若，求的面积；
如图，在上取一点，使，连接将绕着点逆时针旋转，使落在上，连接，取的中点，连接，请你猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
在的条件下，若在直线上运动，连接，当取最小值时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据概念，的相反数在的前面加，则的相反数是。
故选：．
根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为，采用逐一检验法求解即可。
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是。
 

2.【答案】 

【解析】解：，三棱柱的三视图既有三角形又有长方形，故不符合题意；
，圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
，圆锥的三视图既有三角形又有圆，故不符合题意；
，球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：．
根据三视图的概念做出判断即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握基本集合体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，此项正确，符合题意；
B、，此项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不可合并，此项错误，不符合题意；
D、，此项错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项法则逐项判断即可得．
本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，掌握各运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在的解中，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：．
故选：．
首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质定理求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
与是位似图形，
∽，，
∽，
，
与的相似比是：．
与的周长之比是：．
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长之比等于相似比计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
故选：．
由圆周角定理得到，由圆内接四边形的性质得到．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
故选：．
先将该算式计算化简，再通过估算进行求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于，如图：

四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在中，
，
，
故选：．
过作于，由四边形是正方形，，得，，，证明，，，四点共圆，可得是等腰直角三角形，故BE，，在中，可得，从而．
本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，规定从第二个式子开始，每一个式子的倍等于它前、后两个式子的和，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，故错误；




，故正确．
综上所述，正确的有个．
故选：．
根据所定义的运算，可求出，，，再分析存在的规律，再对进行分析即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求得，，，总结出存在的规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于，即．
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于，即，求出即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，即图象上的点的横纵坐标的积等于．
 

13.【答案】 

【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
的值是．
故答案为：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中与的积为正数的结果有种，
与的积为正数的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中与的积为正数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，
，，
，，
，，
，
的面积，
扇形的面积，
阴影的面积的面积扇形的面积
故答案为：
作于，由等腰三角形的性质得到，，于是求出的长，的长，求出的面积，扇形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，含角的直角三角形，关键是由等腰三角形的性质，求出等腰三角形底边的长，底边高的长．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
矩形沿折叠，点落在边上处，
，，，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
矩形沿折叠，点落在上处，
，，
，
，
∽，
：：，
：：，
．
故答案为：．
设，则，，由翻折的性质得到，勾股定理得到，求出的值，得到的长，由∽，：：，代入有关数据，即可求出的长．
本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由翻折的性质，勾股定理列出关于的方程，求出的长．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：．
关于的不等式组的解集为，
，
，
，
，
，
关于的分式方程的解是正整数，，且，
或或．
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
所有满足条件的整数的和．
故答案为：．
由关于的不等式组的解集为，可得出，解分式方程，可得出，结合不等式组的解集为正整数，可得出或或或，代入，可求出值，结合为整数，即可得出结论．
本题考查了解分式方程以及一元一次不等式组的解，根据一元一次不等式组的解及解分式方程，找出的取值范围是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：百位数为时，三位数最小，
设各位数为，
十位数字的平方等于百位数字与个位数字的积，
需满足为平方数，
最小的平方数为，
，
，
最小“平方积数”是．
故答案为：．
百位数为时，三位数最大，
设各位数为，需满足为平方数，
百位数字与个位数字不相等，
时最大，
，
满足条件的的最大值为．
按照定义判断即可．
本题考查了因式分解的应用，平方数的判断是解题关键．
 

19.【答案】解：

；



． 

【解析】利用单项式乘多项式，完全平方公式进行计算，即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】      平分 

【解析】解：如图：

证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
．
，
，
．
又平分．
．
故答案为：，，，平分．
根据作角平分线的基本作法作图；
根据等腰三角形的三线合一证明．
本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意知，名男生成绩的第、位数据分别为、，所以其中位数，
女生成绩出现次数最多的是，所以女生成绩的众数，
男生等级人数为，
补全条形图如下：

故答案为：、；
女生成绩好，理由如下：
因为女生成绩的中位数大于男生，所以女生的高分人数多于男生，所以女生的成绩好；
人，
答：估计该年级成绩为等级的学生人数大约有人．
根据中位数和众数的概念求解即可得出、的值，男生总人数减去、、人数求出对应人数即可补全图形；
根据中位数的意义即可得出答案；
用总人数乘以样本中等级人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：米，
答：乙工程队每个月施工米；
米，
答：乙工程队每个月施工米． 

【解析】根据题意列算式即可得到结论；
根据题意列算式即可得到结论．
本题考查了分数除法的应用，正确地列出算式是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

，
由题意得：，，
，
四边形是矩形，
米，，
在中，，
米，
人行步道的长为米；
萌萌先到达点，
理由：在中，，米，
米，
米，
在中，，米，
米，
米，
米，
米，
萌萌跑步的路程米，彬彬跑步的路程米，
他们以相同的速度同时出发，
萌萌先到达点． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得米，，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，从而求出两人跑步的路程，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，，
当时，，
当时，，
；
，的图象如图所示：

由图象可得：当点在上时，，
，
，
． 

【解析】由三角形的面积公式可求解；
根据解析式画出函数图象；
列出不等式可求解．
本题是四边形综合题，考查了梯形的性质，三角形面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

由函数的对称性知，点，由抛物线的表达式知，点，则，
则，
由点、的坐标知，直线的表达式为：，
设点的坐标为：，则点，
则，
即的最大值为，此时点的坐标；

平移后的抛物线的表达式为：，
联立并解得：，即点，
设点，点，
当是对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得，
即点的坐标为：或；
当或是对角线时，由中点坐标公式和或得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或或． 

【解析】由待定系数法即可求解；
证明，进而求解；
当是对角线时，由中点坐标公式和，列出方程组即可求解；当或是对角线时，同理可解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

26.【答案】解：如图中，，
，
，，
．
是等边三角形，
的面积；
结论：．
理由：如图中，延长到，使得，连接，．

，，
，
，，，
≌，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；

是含有的直角三角形，
当时，的值最小，此时，，，，
． 

【解析】解直角三角形求出，可得结论；
结论：如图中，延长到，使得，连接，证明，，可得结论；
由是含有的直角三角形，推出当时，的值最小，分别求出两个三角形的面积，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，每个孩子全等三角形解决问题．