2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷(含解析）

2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四个数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  长沙市年有初中毕业生人，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将含角的直角三角板和直尺如图放置已知，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，直径垂直于弦，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  一次函数的图象如图所示，则以、为坐标的点在(    )

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

8.  某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有名学生，他们的决赛成绩如表所示：

则这名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9.  在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出个黑棋放入白棋的罐子里这些棋子除色外其他完全相同将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了次后，发现有次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  在第届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有位同学获金牌，并全部进入国家集训队五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  如图，若内接于半径为的，且，连接、，则边的长为______．

13.  如图，在菱形中，对角线，交于点，为边的中点，，，则菱形的面积为        ．

14.  若关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为 ______ ．

15.  如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为______ ．

16.  某电子产品店今年月的电子产品销售总额如图，其中一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图根据图中信息，以下四个推断合理的是______填序号

从月到月，电子产品销售总额为万元；
平板电脑月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与月份相比都下降了；
平板电脑月份的销售额比月份有所下降；
今年月中，平板电脑售额最低的是月．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

19.  本小题分
如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧分别交于，两点，作直线交边于点，交于点，，，求的长．

20.  本小题分
随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查问卷调查表如图所示，并将调查结果绘制成图和图所示的统计图均不完整请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：

图

本次接受调查的总人数是______人；
请将条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，观点的百分比是______，表示观点的扇形的圆心角度数为______度；
假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．

求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元；若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元．
每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
若该校计划购买甲、乙两种消毒液共桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍．怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．

23.  本小题分
如图，正方形的边长是，，连接，交于点，并分别与边、交于点、，连接．
求证：；
求证：；
当时，求的长度．

24.  本小题分
对某一个函数给出如下定义，当自变量满足为实数，时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数．
当，时，在；中，______ 是理想函数；
当时，反比例函数是理想函数，求实数的值；
已知二次函数是理想函数，且最大值为将该函数图象向左平移个单位长度所得图象记为，若图象的顶点为，与轴交于，在的左侧，与轴交于点，点，分别为的外心和内心，求以为边长的正方形面积．

25.  本小题分
如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点．
求证：；
如图，过点作的垂线，分别与，，相交于点、、，求证：；
如图，在的条件下，连接，若，的面积等于，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
故选：．
根据正数负数，即可进行解答．
本题主要考查了比较实数是大小，解题的关键是掌握正数负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、与不能合并，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并计算即可．
此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方和同类项合并，关键是根据法则进行计算．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，

根据题意可知，，，
，
直尺是矩形，即，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
含角的直角三角板可求出的度数，直尺是矩形，在中根据外角和定理可求出的度数，根据矩形可知，在中，根据直角三角形中两锐角互余，再根据对顶角的性质即可求解．
本题主要考查三角形的性质，理解并掌握矩形的性质，三角形的外角和定理，直角三角形中两锐角互余，对顶角相等的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，
，
直径弦，
，
，
故选：．
连接，由圆周角定理可求得，由垂径定理可知，可知，可求得答案．
本题主要考查圆周角定理及垂径定理，掌握同弧所对的圆周角等于心角的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
，，
以、为坐标的点在第三象限内．
故选：．
根据一次函数图象的位置确定出与的正负，即可作出判断．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与系数的关系，弄清一次函数图象与系数的关系是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平均数和中位数，解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义．
根据平均数和中位数的定义求解即可．
【解答】
解：这名学生决赛成绩的中位数是分，
平均数为分，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：设罐子中白棋的个数为，
根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
所以估计罐子中白棋的数量约为个，
故选：．
设罐子中白棋的个数为，根据题意可得，解之即可．
考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：说：是，说：说错了，教练说：你们中只有一人说对了，所以和的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假；
所以和，说得都是假话，
所以只有说对了，
答：第一名是．
故选：．
说：是，说：说错了，这五句话只有一句话是正确的，而且和的说法相互矛盾，只能一真一假，由此可作判断．
本题考查了推理问题，解答本题的关键是确定和的说法只能一真一假．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
本题考查了因式分解的基本方法一提公因式法．本题只要将原式的公因式提出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，正确运用垂径定理是解题关键．
过点作于点，由垂径定理得出，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质求出的长，进而得出答案．
【解答】
解：过点作于点，如图所示：
则，
内接于半径为的，且，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
  

13.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线、交于点，，
，，，
为边的中点，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的性质和已知条件可得是的中位线，由此可以求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题主要考查菱形的性质，三角形中位线的性质及勾股定理的知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，方程的另一个根为，
，
．
故答案为：．
由方程的另一个根为，结合根与系数的关系可得出，从而可得答案．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记、是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，
平分，，，
，
点为射线上一动点，
的最小值为的长，
即的最小值为．
故答案为：．
过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图可得：
从月到月，电子产品销售总额为：万元，
故推断合理；
由图可得：
平板电脑月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与月份相比都下降了，
故推断合理；
由图和图可得：
平板电脑月份的销售额为：万元，
平板电脑月份的销售额为：万元，
所以，平板电脑月份的销售额比月份有所上升，
故推断不合理；
由图和图可得：
平板电脑月份的销售额为：万元，
平板电脑月份的销售额为：万元，
平板电脑月份的销售额为：万元，
平板电脑月份的销售额为：万元，
所以，今年月中，平板电脑售额最低的是月，
故推断合理；
所以，根据图中信息，以上四个推断合理的是，
故答案为：．
根据统计图和图的数据，然后进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了条形统计图，折线统计图，从图中获取准确信息是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】本题涉及二次根式的化简、绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
 

18.【答案】解：


，
当，时，
原式

． 

【解析】先利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：如图，连接，

由作图知，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，由作图得出，再证明，结合可得答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及等角对等边、等边对等角．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次接受调查的总人数是人；
故答案为：；
类的人数为人，
条形统计图补充如下：

在扇形统计图中，观点的百分比是，表示观点的扇形的圆心角度数为度，
故答案为：，．
应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往．
根据类观点除以类所占的百分比，可得调查的人数；
根据类的人数总人数分别减去、、、各类调查的人数，进而补全统计图；
根据类人数除以调查的人数，可得答案，根据类人数除以调查人数，再乘以，可得答案；
根据对调查数据的收集、整理写出建议即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形．
解：由得四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即四边形的面积为． 

【解析】由四边形是平行四边形，得，而点是的中点，可得≌，即知，从而四边形是平行四边形，又，即得四边形是矩形；
由，，，得的长，进而得到矩形的面积，再求出的面积，即可得四边形的面积．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明．
 

22.【答案】解：设每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元，
由题意可得：
解得
答：每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元；
由题意可得，
，
随的增大而增大，
甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍，
，
解得，
为整数，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买甲消毒液桶，乙消毒液桶时，才能使总费用最少，最少费用是元． 

【解析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
根据购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元；购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意，可以写出与的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到的最小值．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
；

证明：，，
，
∽，
，
．

解：，，
，
∽，
，
，，
又，，
∽，
，
． 

【解析】由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到．
根据相似三角形的性质得到
根据相似三角形的性质得到，求得，由∽，可得，解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，随的增大而增大，当时，最小值为，
最大值为，则，故不是理想函数；
，，随的增大而减小，当时，最小值为，最大值为，则，故是理想函数；
故答案为：；
，
，
．
当时，，当时，随着的增大而减小，
则当时，最大值为，
，即．
当时，，当时，随着的增大而增大，
则当时，最大值为，
，即，此方程无实根．
当时，，函数没有最大值，不合题意，舍去．
综上所述，的值为；
最大值为，
，即，
，
，
，即，
此时，
对称轴为直线，
当，即时，则当时，取最大值，
，
，不合题意，舍去，
当，即时，
若，即时，则当时，取最大值．
，解得不合题意，舍去，
，即时，则当时，取最大值，
，，不合题意，舍去；
综上，的值为，
，则图象的解析式为：，
图象的顶点为，与轴交于，在的左侧，与轴交于点，
，，，
，，，
，
是直角三角形，且，
如图，点是的外心，
点是的中点，
，
点是的内心，即点是内切圆圆心，
，
，
，
，
．
即以为边长的正方形面积为．
根据理想函数的定义，依次判断即可得出结论；
根据理想函数的定义，对的值进行讨论，分别求解即可；
根据理想函数的定义可求出的值，进而求出的表达式，由此可得，，的坐标，得出是直角三角形，再在中可求出的值，即可得出结论．
本题考查了二次函数综合题，结合新定义，弄清理想函数的定义，熟知直角三角形的内心和外心的位置是解题关键．
 

25.【答案】证明：连接，

在中，为的中点，
，
，
，，
，，
．

证明：连接．

是直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

解：作于，于．

，，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，作于，
在中，，
，设，，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
在中，，设，，，
，
，
． 

【解析】连接由，推出，由，，推出，，推出．
只要证明，即可推出．
由≌，推出，由≌，推出，是等腰直角三角形，推出，在中，，作于，在中，由，推出，设，，由，推出，推出，推出，，由，推出，过作于，在中，，设，，，可得，得，再根据即可解决问题．
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．