2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  下列曲线中，表示是的函数的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  如图，在中，，，则边上的高的长为(    )A.
B.
C.
D. 7.  下列四组条件中，能判定四边形是平行四边形的有(    )
，；，；，；，．A.  B.  C.  D. 8.  已知：如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，在点，运动的过程中，有下列四个结论：
始终是等腰直角三角形；
面积的最小值是；
至少存在一个使得的周长是；
四边形的面积始终是．
所有正确结论的序号是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．10.  一个边长为的正方形的面积与长为，宽为的矩形面积相等，则 ______ ．11.  一木杆在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，木杆折断之前高______ 米．12.  已知一个等边三角形的边长为，则这个三角形的高为______．13.  如图，在直角中，，，是的中点，则的度数为______．
 14.  写出一个在函数图象上的点的坐标______ ．15.  根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：______
 16.  正方形的顶点，都在平面直角坐标系的轴上，若点的坐标是，则点的坐标为______．17.  如图，在▱中，，于，于，、交于，，的延长线交于，给出下列结论：；；；若平分，则；其中正确的结论有______填序号
三、解答题（本大题共9小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：
；
 19.  本小题分
如图，在▱中，已知，，平分交边于点，求的长．
20.  本小题分
用“推点法”画出函数的图象．
解：函数的自变量的取值范围是______ ．         判断，，是否在函数的图象上．
21.  本小题分
如图，矩形中，，，为中点，为边上任意一点，，分别为，中点，求的长．
22.  本小题分
星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离与散步所用的时间之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了依据图象回答下列问题：

公共阅报栏离小红家有______ 米，小红从家走到公共阅报栏用了______ 分
小红在公共阅报栏看新闻一共用了______ 分；
邮亭离公共阅报栏有______ 米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______ 分；
小红从邮亭走回家用了______ 分，平均速度是______ 米秒．23.  本小题分
是的一条中位线，点、分别在、上，的一条中线与交于点，画图并证明：与互相平分．24.  本小题分
如图，将菱形的边和分别延长至点和点，且使，，连接，，，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
25.  本小题分
如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作的垂线，交于点，交于点．
依题意补全图形；
若，求的大小用含的式子表示；
若点在线段上，，连接，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
26.  本小题分
阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为______；当时，的最大值为______．
当时，求的最小值．
如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．的被开方数不含有能开得尽方的数或因式，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B.，被开方数中含有能开得尽方的因式，因此选项B不符合题意；
C.，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；
D.，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的意义进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是正确判断的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、，不能构成直角三角形，故A错误；
B、，不能构成直角三角形，故B错误；
C、，能构成直角三角形，故C正确；
D、，不能构成直角三角形，故D错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
D、能表示是的函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据函数的定义解答即可．
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
 4.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：．
先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：、无法计算，故此选项错误；
B、无法计算，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 6.【答案】 【解析】解：过作于点，

，
是等腰三角形，
，
，
在中，，
的面积为，
，
，
解得．
故选：．
过作于点，根据勾股定理计算出底边上的高的长，然后计算三角形的面积，再以为底，利用三角形的面积计算出边上的高即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】
解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故符合题意；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故符合题意；
不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故符合题意；
能判定四边形是平行四边形的有，
故选：．  8.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，，相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形；
故正确；
当时，最小，此时，
面积的最小值是，
故正确；
，
，
假设存在一个，使得的周长是，
则，
由得是等腰直角三角形，
．
，的最小值是，
存在一个，使得的周长是．
故正确；
由知：≌，
，
故正确．
故选：．
易证得≌，则可证得结论正确；
由的最小值是到的距离，即可求得的最小值，根据三角形面积公式即可判断选项正确；
利用勾股定理求得，即可求得选项正确；
证明≌，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：由题意可得，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意，得，
，
，
故答案为：．
根据题意列出等式，然后开平方．
本题考查算术平方根的概念，掌握算术平方根的概念的应用是解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：一棵垂直于地面的大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，
折断的部分长为，
折断前高度为米．
故答案为：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 12.【答案】 【解析】解：如图，

等边三角形高线即中线，，
，
在中，，，
由勾股定理得，．
故答案为：．
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，为的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
，即该函数自变量的取值范围为，
当时，，
点在该函数图象上．
故答案为：．
根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的值，代入函数解析式中求出值，即可得出点的坐标．
本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；满足解析式的任意一对、的值，所对应的点一定在函数图象上；判断点是否在函数图象上的方法是：将点的、的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
 15.【答案】平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角 【解析】解：由四边形的关系，得
，
故答案为：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角．
根据平行四边形、特殊平行四边形的定义，可得答案．
本题考查了多边形，利用平行四边形与特殊平行四边形的关系是解题关键．
 16.【答案】或 【解析】解：点的坐标是，
，，
当点在点右边时，则，
此时，，
当点在点左边时，则，
此时，，
点的坐标为或．
故答案为：或．
根据点的坐标求出正方形的边长与的长度，再求出的长，然后写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点的坐标求出正方形的边长是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，正确；
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，正确；
在和中，
，
≌，
，，
，
，正确；
连接，如图：
平分，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，
，
，
，正确；
故答案为：．
由题意可知是等腰直角三角形，故此可得到；
由，证明即可；
先证明≌，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；
连接，证是等腰直角三角形，，设，得出，进而得出．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．
 18.【答案】解：

；



． 【解析】先把每一个二次根式画出最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 19.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
． 【解析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解．
本题考查平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，求出是解题的关键．
 20.【答案】实数 【解析】解：

函数的自变量的取值范围是实数；
故答案为：实数；
，，，，，，，
，，，，，，，
把，，代入解析式，
，，，
点、在函数的图象上．
描点、连线画出一次函数的图象；
一次函数的自变量取值为实数；
把自变量的值代入解析式，求出的值；
把，，代入解析式，通过等式是否成立判断是否是直线上的点．
本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上点的特点．
 21.【答案】解：连接．
为中点，，
．
四边形是矩形，
．
在中，，依据勾股定理，
 
，分别为，中点，
． 【解析】连接根据中点的定义求得根据矩形的性质和勾股定理可求，再根据三角形中位线定理可求的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
 22.【答案】             【解析】解：结合图象的纵轴可知，公共阅报栏离小红家有；小红从家走到公共阅报栏用了；
故答案为：；；
小红在公共阅报栏看报一共用了：；
故答案为：；
邮亭离公共阅报栏距离：，小红从公共阅报栏到邮亭用时：；
故答案为：，．
第，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离、平均速度．
故答案为：；．
根据图象可知小红经历了个过程：第，小红从家走了到达公共阅报栏；
第，小红在公共阅报栏看报；
第，小红走了到达邮亭，第，小红走回了家，从而可以推出公共阅报栏离小红家有、小红从家走到公共阅报栏用了、小红在公共阅报栏看报一共用了、邮亭离公共阅报栏有，小红从公共阅报栏到邮亭用了
第，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离、平均速度．
本题考查函数的图象，应充分理解图象中的每个量及每条线段的意义，从图象中寻找关键点，结合实际进行求解．
 23.【答案】解：如图所示，连接，，
是的一条中位线，
，，
是的一条中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分． 【解析】连接，，根据是的一条中位线，得到，，根据是的一条中线，得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
即，
平行四边形是矩形；
解：如图，过作交的延长线于点，

则，
由可知，，四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形，
，，
和是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
即的长为． 【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论；
过作交的延长线于点，由矩形的性质得，则，再证和是等边三角形，得，，然后由勾股定理得，，则，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 25.【答案】解：补全图形，如图所示：

，，
，
，
，
交于点，
，
，
，
，
，
；
，理由如下：
如图，延长交于点，

，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
． 【解析】根据题意画出图形解答即可；
根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
 26.【答案】解：；  ；
由，
，
，
当且仅当时，即时，最小值为；
设，已知，
则由等高三角形可知：：：
：：

四边形面积
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为． 【解析】本题考查了二次根式的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．
解：当时，；
当时，


当时，的最小值为；当时，的最大值为．
故答案为：；；
见答案；
见答案．
【分析】
当时，按照公式当且仅当时取等号来计算即可；时，由于，，则也可以按照公式当且仅当时取等号来计算；
将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
设，已知，，则由等高三角形可知：：：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．