2022-2023学年江苏省南通市通州区、如东县联考八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市通州区、如东县联考八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列二次根式中，化简后能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知点与点关于轴对称，点的坐标是，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若分式方程无解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，面积为，平分交于，交的延长线于，连接，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知实数，满足，则代数式的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  若分式的值为，则的值是______．

12.  计算 ______ ．

13.  已知等腰的两边长分别为，，则这个等腰三角形的腰长为______ ．

14.  已知，，则的值为______ ．

15.  “绿水青山就是金山银山”某地为美化环境，原计划植树棵由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了，结果提前天完成任务设原计划每天植树棵，依据题意可列方程______ ．

16.  如图，四边形中，，若将四边形沿折叠后，顶点恰好落在边上的点处与不重合，则的度数为______ ．

17.  已知，则的值为______ ．

18.  如图，在中，，直线经过边的中点，与交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足为，，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
分解因式：
；
．

21.  本小题分
先化简：，再给在，，，中取一个合适的值代入求值．

22.  本小题分
如图，在中，，为延长线上一点，为的中点．
利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母保留作图痕迹，不要求写作法；
作的平分线；
连接并延长交于点．
猜想与位置和数量的关系，并说明理由．

23.  本小题分
如图，在中，，，点为边的垂直平分线与边的交点，且．
求证；
求长．

24.  本小题分
用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差．
求乙型赛车的平均速度；
如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______

25.  本小题分
已知为等边的角平分线，动点在直线上不与点重合，连接以为一边在的下方作等边，连接．

如图，若点在线段上，且，则 ______ 度
如图，若点在的反向延长线上，且直线，交于点．
求的度数；
若的边长为，，为直线上的两个动点，且连接，判断的面积是否为定值若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．

26.  本小题分
【阅读理解】一般地，如果正整数，，满足，那么，，称为一组“商高数”．
【问题解决】：
下列数组：，，；，，；，，，其中是“商高数”的有______ 直接填序号；
“商高数”有很多的构造方法求证：如果，为任意正整数，且，那么，，一定是“商高数”；
：
若按中的方法构造出的一组“商高数”中最大的数与最小的数的差为，求的值；
若按中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是是任意正整数，则这组“商高数”中的最小数为______ 用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：下列图形中，是轴对称图形的是第二个图案．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，本选项正确，符合题意；
B、，本选项错误，不符合题意；
C、，本选项错误，不符合题意；
D、，本选项错误，不符合题意．
故选：．
利用幂的乘方，完全平方公式等知识一一判断即可．
本题考查完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，属于中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：将数据用科学记数法表示正确的是．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不能与合并，故本选项错误；
B、，能与合并，故本选项正确；
C、，不能与合并，故本选项错误；
D、，不能与合并，故本选项错误．
故选：．
根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点与点关于轴对称，
点的坐标为：．
故选：．
利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设两个正方形的边长是、，
则，，
，，
则阴影部分的面积是，
故选：．
设两个正方形的边长是、，得出方程，，求出，，代入阴影部分的面积是求出即可．
本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．
 

7.【答案】 

【解析】解：分式方程，去分母得，，
由于分式方程无解，即是的解，
所以，
故选：．
根据分式方程的增根的定义进行计算即可．
本题考查分式方程的解，理解分式方程的增根是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，，，





，
故选：．
根据求出，，，根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的加法法则进行计算，再求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题饿关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，面积为，
，
，
平分交于，
，
交的延长线于，
是等腰直角三角形，
，
作于，则是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
由题意得出，易证得是等腰直角三角形，证得，作于，则是等腰直角三角形，得到，利用三角形面积公式即可得到．
本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的判断和性质，三角形面积，进而直角三角形等，表示出线段的长度是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
当时，原式的值随着的增大而减小，
当时，原式取最大值为，
故选：．
根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
本题考查了二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为，这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件可以解答本题．
【解答】
解：由分式的值为，得
且，
解得．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先算积的乘方，再算整式的除法即可．
本题主要考查整式的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：当为底时，三角形的三边为，，，可以构成三角形，腰长为：；
当为底时，三角形的三边为，，，不可以构成三角形．
所以的腰长为．
故答案为：．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等．最后要注意利用三边关系进行验证．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，



．
故答案为：．
根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：设原计划每天植树棵，根据题意列方程得．
故答案为：．
根据“原计划所用时间实际所用时间天”可列方程．
本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
，
．
故答案为：．
利用轴对称得，所以，又因为，即可求出．
本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称变换和性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：设，
，，，



，
故答案为：．
利用设法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作，交的延长线于，
在和中，
，
≌，
，
的最大值是的最大值，
由题意可知：，
的最大值为，
故答案为：．
过点作，交的延长线于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】根据实数的混合运算法则解答即可；
根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则解答即可
此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
先根据单项式乘多项式的计算方法化简后，再提公因式、利用完全平方公式进行因式分解．
本题考查提公因式法，公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：原式

，
且且，
且且，
则，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
 

22.【答案】解：如图所示；

，且，
理由如下：，
，
，
由作图可得，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌．
． 

【解析】利用角平分线的作法得出，进而得出点即可；
首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明，进而可得；然后再证明≌，即可得到．
此题主要考查了作图，以及平行线的判定，全等三角形的判定，关键是证明．
 

23.【答案】证明：点为边的垂直平分线与边的交点，
，
，
，
；
解：，，，，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线得出，进而利用等腰三角形的性质解答即可；
根据边长得出方程解答即可．
此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：设乙型赛车的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙型赛车的平均速度为；
设甲型赛车从起点后退的距离为，
由题意得：，
解得：，
即甲型赛车从起点后退的距离为，
故答案为：．
设乙型赛车的平均速度为，由题意：两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差列出分式方程，解方程即可；
设甲型赛车从起点后退的距离为，由题意：恰好同时到达终点，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

25.【答案】 

【解析】解：都是等边三角形，平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：；

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
，平分，
，
，
，
，
；

的面积是定值，定值为．
理由：过点作于点．

在中，，，
，
的面积．
证明是等腰直角三角形，可得结论；
证明≌，推出，可得结论；
过点作于点利用直角三角形度角的性质求出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

26.【答案】   

【解析】解：，
，，不是“商高数”，
，
，，不是“商高数”，
，
，，是“商高数”，
故答案为：；
，
，，一定是“商高数；
，，
当，
解得：，
当，
解得：不合题意，舍去；
，
是任意正整数，
，
故答案为：．
根据新定义判断求解；
根据新定义进行证明；
先判断大小，再分类讨论；
把进行分解成两个代数式的平方，再比较大小．
本题考查了因式分解的应用，配方法是解题的关键．