2022-2023学年上海市徐汇区高一下册期中考试数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市徐汇区高一下册期中考试数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了填空题在答题纸上填写相应结果，选择题在答题纸上填涂相应结果，解答题在答题纸上填写结果等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市徐汇区高一下册期中考试数学试题

一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）在答题纸上填写相应结果
1．函数y＝sin2x的最小正周期是　 　．
2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为 　 　．
3．已知2sinx﹣1＝0，则x取值集合为 　 　．（答案用反正弦表示）
4．已知tanθ＝2，则＝　 　．
5．若△ABC是边长为2的等边三角形，则在的数量投影为 　 　．
6．若函数y＝3sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，则φ＝　 　．
7．在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，则△ABC的外接圆半径R＝　 　．
8．关于x的方程cos2x+sinx﹣a＝0有实数解，则实数a的取值范围是　 　．
9．函数的图象如下，求它的解析式 　 　．

10．函数的图像在[0，m]上恰好有一个点纵坐标为1，则实数m的取值范围是 　 　．
11．对于函数f（x）＝2xsin2x，有以下4个结论：
①函数y＝f（x）的图像是中心对称图形；
②任取x∈R，f（x）≤2x恒成立；
③函数y＝f（x）的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；
④函数y＝f（x）与直线y＝2x的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等．
其中正确的结论序号为 　 　．
12．已知平面向量，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是 　 　．
二、选择题（每题4分，共16分）在答题纸上填涂相应结果
13．“，k∈Z”是“tanα＝”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
15．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
16．已知a，b，α，β∈R，满足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2个结论：
①存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数；
②存在常数b，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数．
下列说法正确的是（　　）
A．结论①、②都成立 B．结论①成立、②不成立
C．结论①不成立、②成立 D．结论①、②都不成立
三、解答题（共46分，6+8+6+10+12＝42）在答题纸上填写结果
17．（6分）已知．
（1）若与的夹角为120°，求；
（2）若与垂直，求与的夹角．
18．（8分）已知，，tanα＝7，．
（Ⅰ）求cos（α﹣β）的值；
（Ⅱ）求tan（α﹣2β）的值，并确定α﹣2β的大小．
19．（6分）如图，在直角坐标系中，角α的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1＝2S2，求α的值．

20．（10分）如图，折线A﹣B﹣C为海岸线，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，∠BDA＝54°．
（1）求BC的长度；
（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（以上答案都精确到0.001km）

21．（12分）已知．
（1）将f（x）化成；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的单调减区间；
（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．

【答案】
一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）在答题纸上填写相应结果
1．函数y＝sin2x的最小正周期是　π　．
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．
解：函数y＝sin2x的最小正周期是＝π，
故π．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为 　　．
【分析】根据扇形的面积公式直接进行求解即可．
解：设扇形的弧长为l，
则S＝×6×l＝，
得l＝，
故．
【点评】本题主要考查扇形面积公式的应用，熟记扇形的面积公式是解决本题的关键．比较基础．
3．已知2sinx﹣1＝0，则x取值集合为 　　．（答案用反正弦表示）
【分析】先找到一个周期内sinx＝的角，然后根据终边相同的角的表达式可得．
解：2sinx﹣1＝0，则sinx＝，x＝，
故．
【点评】本题考查三角函数的特殊值问题，属于基础题．
4．已知tanθ＝2，则＝　1　．
【分析】先用诱导公式化简，再利用同角关系即可求值．
解：sin（π﹣θ）＝sinθ，cos（π﹣θ）＝﹣cosθ，又tanθ＝2，
则＝＝tanθ﹣1＝2﹣1＝1．
故1．
【点评】本题考查诱导公式，同角三角关系式，属于基础题．
5．若△ABC是边长为2的等边三角形，则在的数量投影为 　1　．
【分析】可先画出图形，根据投影的计算公式进行计算即可．
解：如图：

∵的夹角为60°，
∴在方向上的投影为：．
故1．
【点评】本题考查考查向量投影的定义，属基础题．
6．若函数y＝3sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，则φ＝　　．
【分析】利用正弦函数的奇偶性可得φ＝kπ+（k∈Z），再结合0＜φ＜π可得答案．
解：若函数y＝3sin（2x+φ）为偶函数，
则φ＝kπ+（k∈Z），
又0＜φ＜π，
故φ＝．
故．
【点评】本题考查正弦函数的奇偶性及其应用，属于基础题．
7．在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，则△ABC的外接圆半径R＝　　．
【分析】先利用余弦定理求得BC的长，再由正弦定理，得解．
解：由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcosA＝9+4﹣2×3×2×＝7，
所BC＝，
由正弦定理知，2R＝＝＝，
所以R＝．
故．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．关于x的方程cos2x+sinx﹣a＝0有实数解，则实数a的取值范围是　[﹣1，]　．
【分析】方程变形表示出a，利用同角三角函数间基本关系化简，配方后利用二次函数的性质及正弦函数的值域确定出a的范围即可．
解：方程cos2x+sinx﹣a＝0，
变形得：a＝cos2x+sinx＝﹣sin2x+sinx+1＝﹣（sinx﹣）2+，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴a的范围为[﹣1，]．
【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
9．函数的图象如下，求它的解析式 　f（x）＝　．

【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解．
解：由图象最高点可知，
由点和，可得周期，
此时，
将代入得，由于，
所以取，故，
故．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
10．函数的图像在[0，m]上恰好有一个点纵坐标为1，则实数m的取值范围是 　[，）　．
【分析】令，画出函数y＝sinX的图象，由图象得出实数m的取值范围．
解：令，则
函数y＝sinX的图象如下图所示，

要使得函数的图像在[0，m]上恰好有一个点纵坐标为1，
则，解得，
故．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．
11．对于函数f（x）＝2xsin2x，有以下4个结论：
①函数y＝f（x）的图像是中心对称图形；
②任取x∈R，f（x）≤2x恒成立；
③函数y＝f（x）的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；
④函数y＝f（x）与直线y＝2x的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等．
其中正确的结论序号为 　①③　．
【分析】根据题意，依次分析4个结论是否正确，即可得答案．
解：根据题意，依次分析4个结论：
对于①，f（x）＝2xsin2x，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣2xsin2x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，其图像是中心对称图形，①正确；
对于②，f（x）≤2x即2xsin2x≤2x，即或x＝0或，其解集不是R，②错误；
对于③，若f（x）＝2xsin2x＝0，则x＝0或sinx＝0，解可得x＝kπ，k∈Z，则函数y＝f（x）的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，③正确；
对于④，若f（x）＝2xsin2x＝2x，则x＝0或sinx＝±1，解可得x＝0或x＝kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）与直线y＝2x的图像有无穷多个交点，但两相邻交点间的距离不一定相等，④错误；
故选：
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题．
12．已知平面向量，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是 　　．
【分析】首先利用向量的模的运算，建立如图所示的关系式，进一步利用向量的数量积运算和三角函数的关系式的变换，整理成二次函数的关系式，进一步求出最大值．
解：如图，

设，若对任意实数x，y都有﹣x成立，
则B，C在以MA为直径的圆上，过O作OD∥AC，交MC于E，交圆于D，
，在OD上的射影最长为，＝，
设∠AMC＝θ，则|AC|＝2sinθ，
|OE|＝sinθ，|DE|＝1﹣|OE|＝1﹣sinθ，
∴＝，
则当时，有最大值，最大值为．
故．
【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的数量积运算，三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
二、选择题（每题4分，共16分）在答题纸上填涂相应结果
13．“，k∈Z”是“tanα＝”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由充分必要性条件的判断依次对三角函数值判断即可．
解：当，k∈Z时，
tanα＝tan（+2kπ）＝；
当a＝时，tanα＝，而不满足，k∈Z；
故“，k∈Z”是“tanα＝”的充分非必要条件；
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的值及充分必要性条件判断，属于基础题．
14．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】直接利用向量的线性运算和向量的数量积及向量的模的应用求出结果．
解：在△ABC中，若，则，
故，
即BC＝AC，
所以△ABC为等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．
解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，
对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．
16．已知a，b，α，β∈R，满足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2个结论：
①存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数；
②存在常数b，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数．
下列说法正确的是（　　）
A．结论①、②都成立 B．结论①成立、②不成立
C．结论①不成立、②成立 D．结论①、②都不成立
【分析】通过已知的关系式，同角函数关系，两角和差公式，和差化积公式分别把sin（α+β）、cos（α﹣β）分别表示出来，观察即可．
解：b2﹣a2＝cos2α﹣sin2α+sin2β﹣cos2β+2cosαsinβ﹣2sinαcosβ
＝cos2α﹣cos2β﹣2sin（α﹣β），则有b2﹣a2＝﹣2sin（α+β）sin（α﹣β）﹣2sin（α﹣β），当b＝0时，sin（α﹣β）＝1为常数，则cos（α﹣β）＝0为常数，
即存在常数b＝0，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数，②成立；
a2+b2＝2+2（sinαcosβ+cosαsinβ），
即的取值相互影响，
不存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数，①不成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数公式，属于中档题．
三、解答题（共46分，6+8+6+10+12＝42）在答题纸上填写结果
17．（6分）已知．
（1）若与的夹角为120°，求；
（2）若与垂直，求与的夹角．
【分析】（1）由向量的模长公式可得|+|＝＝，代入已知数据计算可得；
（2）设与的夹角为θ，由垂直可得（﹣）•＝＝0，代入数据解得cosθ可得．
解：（1）∵与的夹角为60°，||＝1，||＝2，
∴|+|＝＝
＝＝；
（2）设与的夹角为θ，
∵﹣与垂直，
∴（﹣）•＝＝0，
∴12﹣1×2cosθ＝0，解得cosθ＝
∴与的夹角为60°．
【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．
18．（8分）已知，，tanα＝7，．
（Ⅰ）求cos（α﹣β）的值；
（Ⅱ）求tan（α﹣2β）的值，并确定α﹣2β的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα，cosβ的值，进而利用两角差的余弦公式即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知tanβ的值，利用二倍角的正切公式可求tan2β的值，利用两角差的正切公式可求tan（α﹣2β）＝﹣1，结合0＜α﹣2β＜，即可求解α﹣2β的值．
解：（Ⅰ）因为，tanα＝7，
所以sinα＝，cosα＝，
又，，
所以cosβ＝＝，
所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×﹣×＝﹣；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，tanβ＝＝，
所以tan2β＝＝﹣，
所以tan（α﹣2β）＝＝﹣1，
因为0＜α﹣2β＜，
所以α﹣2β＝．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，二倍角的正切公式，两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
19．（6分）如图，在直角坐标系中，角α的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1＝2S2，求α的值．

【分析】依题意得x1＝cosα，，y1＝sinα，，分别求得S1和S2的解析式，再由S1＝2S2求得cos2α＝0，根据α的范围，求得α的值．
解：由三角函数定义，得x1＝cosα，，y1＝sinα，．
所以，
，
依题意S1＝2S2得，即，
整理得cos2α＝0．因为，所以 ，所以，即．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，属于基础题．
20．（10分）如图，折线A﹣B﹣C为海岸线，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，∠BDA＝54°．
（1）求BC的长度；
（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（以上答案都精确到0.001km）

【分析】（1）由题意可求∠BCD＝80°，由正弦定理即可求BC的值；
（2）在△ABD中，由正弦定理可得sin∠BAD≈0.7928，可得∠BAD≈52.45°，∠ABD＝73.55°，过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，解三角形即可求解．
解：（1）在△BCD中，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，则∠BCD＝80°，
由正弦定理＝，可得BC＝＝＝≈14.911km，
所以BC的长度是14.911km．
（2）在△ABD中，∠BDA＝54°，BD＝39.2km，AB＝40km，
由正弦定理＝，可得sin∠BAD＝＝＝≈0.7928，
于是得∠BAD≈52.45°，
则∠ABD＝73.55°，
过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图，

因此，DE＝BDsin∠ABD＝39.2×sin73.55°＝39.2×0.9591≈37.595（km），
DF＝BDsin∠CBD＝39.2×sin78°＝39.2×0.9781≈38.343（km），
显然37.595＜38.343，
所以D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离是37.595km．
【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．
21．（12分）已知．
（1）将f（x）化成；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的单调减区间；
（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意，利用查三角恒等变换，化简函数的解析式，可得结论．
（2）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
（3）由题意，利用正弦函数的最大值，得出结论．
解：（1）∵＝4sinx（cosx﹣sinx）＝sin2x﹣2•＝sin2x+cos2x﹣+＝2sin（2x+）．
（2）对于f（x）＝2sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
求得kπ+≤2x+≤kπ+，k∈Z，可得函数y＝f（x）的单调减区间为[kπ+，≤kπ+]，k∈Z，
故函数y＝f（x）在区间上的单调减区间为[，]．
（3）将函数y＝f（x）＝2sin（2x+） 的图像向右移动个单位，可得y＝2sin2x的图像；
再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）＝2sinx的图像，
若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，
根据当＝200π﹣时，g（x）在区间[﹣1，1]上正好有100个最大值，
∴≥200π﹣，求得0＜a≤，故实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性和最大值，属于中档题．