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考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类-备战高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)
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考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类
考点一 比较两个数(式)的大小
考点二 不等式的性质及应用
考点三 求代数式的取值范围
考点四 不等式的证明
考点五 不等式的实际应用
考点六 不等式的综合问题
1、比较两数(式)大小的方法
作差法
作商法
原理
设a，b∈R，则
a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a
则>1⇒a>b；＝1⇒a＝b；<1⇒a
步骤
作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论
作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论（如果两个数都是正数，一般用作商法，其它一般用作差法.）
注意
利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形
作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等
注：比较两式大小还可用函数的单调性法
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
2、不等式的基本性质
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
3、分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ”
4、利用不等式的性质判断正误的2种方法
利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断(判断成立时)或反例说明(判断不成立时)，在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查.
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
5、利用待定系数法求代数式的取值范围
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
已知M1
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．不可忽略a，b的制约关系，而单独求出a，b的范围，再求g(a，b).
考点一 比较两个数(式)的大小
1．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小无法判断
【答案】A
【分析】根据作差法比较大小即可.
【详解】因为，
所以，故.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】由题意，
若，结合，则，
故“”是“”的充分条件；
者，则，
取满足，但不满足，
故“”不是“”的必要条件．
于是“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
4．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可证明.
（2）要比较与的大小，将两式做差展开化简，得到即可判断正负并比较出结果.
【详解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
5．【多选】（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小.
【详解】由，得，由，得
，
因此，即；
由，得，于是，
所以正数的大小关系为.
故选:A.
7．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用作差法结合基本不等式可得出、的大小关系，利用中间值结合指数函数、对数函数的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系.
【详解】因为，所以，，则，
因为，
所以，，则，所以
因为
，即，因此，.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、计算的符号，作商比较的大小即可得解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
又因，
所以且，
所以，所以，
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由幂函数、对数函数性质的性质得，，然后可判断的正负，再利用对数的运算法则、换底公式可判断与1的大小，从而得出结论．
【详解】因为，所以．
，
因为，所以，即．
，因为，所以，即．综上，．
故选：A．
考点二 不等式的性质及应用
10．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.
【详解】若，，，满足，但，，不成立，A选项错误；
，，则有，即，B选项正确；
，当时，不成立，C选项错误；
当时，，则D选项错误.
故选：B
11．（2023·全国·高三专题练习）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合充分不必要条件的定义，对A，；对B，；对C，；对D，，需要讨论a、b的符号 ，即可进一步判断
【详解】对A，，故A不成立；
对B，，故B成立；
对C，，不一定推出，故C不成立；
对D，，若，故D不成立.
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件取特殊值或者作差法比较大小，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】令，则，即.所以A选项错误；
令，则，即，所以B选项错误；
令，则，所以C选项错误；
因为，由得，所以D选项正确.
故选:D.
13．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，作差法以及特殊值法，即可求解.
【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立；
对于，作差：，由已知可知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误；
对于，作差： ，因为，所以，，则，即，故选项正确；
对于，当，，时，满足，但，故选项错误；
综上：不等式恒成立的是，
故选：.
14．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，D，，满足，此时，，故A，D错误.（判断一个结论错误时，举反例即可）
对于B，，，得，故B正确.
对于C，由得，又，所以，故C正确.
故选：BC
15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断.
【详解】由题意，，所以，故D正确；
当，时，，但，，，故A，B，C错误.
故选：D.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A选项，根据不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求解；C选项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.
【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；
B选项，因为，所以，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；
C选项，，
因为，，故，故，C正确；
D选项，不妨设，则
故选：D
17．【多选】（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
18．【多选】（2023·福建·统考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为6
【答案】AC
【分析】解不等式和可判断A，C，取特值可排除B，利用将转化为来求解最小值，确定D.
【详解】A：，因为，所以故A正确；
B：，显然满足条件，故B错误；
C：，故C正确；
D：，由于在上为增函数，
故最小值为，D错误．
故选AC．
考点三 求代数式的取值范围
19．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知，，分别求
(1)
(2)
(3)的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】利用不等式的性质进行求解（1）（2）（3）即可.
【详解】（1），而，
所以有
（2）；
（3），而，
所以有.
20．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把转化为，根据，，求出的范围，利用单增，求出z的范围即可.
【详解】.
设，
所以，解得：，
，
因为，，
所以，
因为单调递增，
所以.
故选：C
24．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质求得的取值范围.
【详解】由于，且，
所以，，
，
所以.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.
【详解】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
考点四 不等式的证明
27．（2022·全国·高三专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知c>a>b>0，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由不等式的性质，先得到，两边同时+1，即得证；
（2）由不等式的性质，先得到，两边乘以c,可得，两边同时-1，可得，再两边取倒数，即得证.
【详解】证明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，
∴＋1≥＋1，∴≤.
（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴
又∵c>0，∴，∴，
又c－a>0，c－b>0，∴
.
28．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.
(1)
证明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
(2)
解：由且，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
29．（2022·全国·校联考模拟预测）设a，b，c都是正数，，且的最小值为1．
(1)求的值；
(2)证明：．
【答案】(1)1
(2)证明见详解．
【分析】（1）由结合最小值即可求解结果；
（2）结合（1）结果可得，讨论大小即可证明结论．
(1)
，
因为a，b，c都是正数，且的最小值为1，所以．
(2)
．
若时，，，
若时，，，所以．
同理可证，，所以．
故．
考点五 不等式的实际应用
30．（2023·北京·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
31．（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济 B．方案二更经济
C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定
【答案】B
【分析】设第一次价格为，第二次价格为，进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可.
【详解】解：设第一次价格为，第二次价格为，
方案一：若每次购买数量，则两次购买的平均价格为，
方案二：若每次购买钱数为，则两次购买的平均价格为，
所以，，即，当且仅当时，“=”号成立，
所以方案二更经济.
故选：B
32．（2023·全国·高三专题练习）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．
【答案】 16 1
【解析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；
（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,
（1）由题意知，，
化简得：，
又，
所以，
解得：，
共种；
（2）由题意知，
，
，
，
，
即的最大值为1万元，
故答案为：16；1
【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
33．（2023·上海·高三专题练习）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
【答案】(1)小时
(2)小时
【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.
【详解】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，
解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，
解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，
解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
考点六 不等式的综合问题
34．（2023·上海·高三专题练习）已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】根据题意，，可得，，
且，，所以将用和表示，即可求最值.
【详解】因为，对任意，有，
所以，，即，，
所以
，
当，时最大为，
此时最小为，
所以的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，有，可知，，由，可得，，
所以可以用和表示，再配方，根据平方数的性质求最值.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，通过求导可得到，再通过正数成等比数列，可得到，利用作商法可得到即，即可得到答案
【详解】令，则，
当时，，单调递增，所以，所以，故，
因为正数成等比数列，所以即，故，
所以，故，
综上所述，，
故选：D
36．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，，求导研究函数的单调性，从而得到，利用不等式的性质比较得出，从而求得答案.
【详解】令，
，
，可以判断在上单调递增，
，
所以，
，
所以，
又因为，，
所以，即，所以，
故选：D.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，c满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】构造函数，利用其单调性，分，，讨论即可.
【详解】由题意得，即，则，则，
令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在上单调递减，
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故此时，，故C,D选项错误，
时，，
，且，故A错误,
下面严格证明当时，，，
根据函数在上单调递增，且，
则当时，有，
，，
下面证明：，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证：，此式开头已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则
故当时，，则
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此时，，
下面严格证明当时，，
当时，根据函数，且其在上单调递减，可知
，则，则，
根据函数函数在上单调递增，且，
则当时，，
下面证明：，
要证：
即证：，等价于证，
即证：，此式已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则，
故时，，则
当时，，则，，
综上，，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数，利用其单调性及，从而得到之间的大小关系，同时需要先求出的范围，然后再对进行分类讨论.
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