考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类-备战高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

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考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类


考点一 解一元二次不等式
（一）解不含参数的一元二次不等式
（二）解含参数的一元二次不等式
考点二 解其他不等式
（一）指数不等式
（二）对数不等式
（三）分式不等式
（四）根式不等式
（五）绝对值不等式
（六）高次不等式
考点三 由一元二次不等式的解确定参数
考点四 一元二次不等式的恒成立（有解）问题
（一）一元二次不等式在R上的恒成立问题
（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
（三）给定参数范围求范围的恒成立问题
（四）一元二次不等式在某区间有解问题
考点五 一元二次方程根的分布问题
考点六 一元二次不等式的实际应用


1.一元二次不等式的解法
①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.
②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.
注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.
②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.
③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.
④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.
2.解一元二次不等式的方法和步骤

3.解含参数的一元二次不等式的步骤

4.指对数不等式
解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法
(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.
①当时,
;　
②当时,
;　
(2)对指互化法：
如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.
对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.




5．简单分式不等式
（1）；（2）
（3）；（4）
求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.

注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.绝对值不等式
绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)
(4)；
；
(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.
④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
7.高次不等式
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：
（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：
（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了 n+1个区间。
（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。
（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为 的解集。

8.无理不等式的解法
无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.
无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．
9.由一元二次不等式的解确定参数
（1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
（2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
（3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
（4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
10.一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(3)ax2＋bx＋c0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
具体如下：
设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
注：①。
②
12.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
13.一元二次方程的根的分布问题
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.


考点一 解一元二次不等式
（一）解不含参数的一元二次不等式
1．（2023·全国·模拟预测）设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．（3,4） C． D．
2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，则（    ）．
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（    ）
A． B． C．8 D．6
（二）解含参数的一元二次不等式
4．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
5．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：．
6．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
8．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，解关于x的不等式；
12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.
考点二 解其他不等式
（一）指数不等式
15．（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（    ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）设全集为，集合，则（    ）
A． B．
C．或 D．
（二）对数不等式
18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合 ，集合 ，则（   ）
A． B． C． D．
19．（2023·全国·模拟预测）若集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
20．（2023·江西鹰潭·二模）设集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
22．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则（    ）
A． B． C． D．
（三）分式不等式
23．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_____.
24．（2023·安徽·校联考三模）已知集合，，则集合的非空真子集的个数为（    ）
A．14 B．15 C．30 D．62
25．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.
26．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则________．
27．（2023·上海·统考模拟预测）不等式的解集是__________.
（四）根式不等式
28．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知集合，则（    ）
A． B．
C． D．
29．（2023·全国·高三对口高考）不等式的解集为________
30．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
（五）绝对值不等式
31．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
32．（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
33．（2023·上海浦东新·统考二模）已知，则“”是“”的（    ）．
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
34．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知．
(1)若，求的取值范围；
(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．
35．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．
（六）高次不等式
36．（2023·全国·高三专题练习）解不等式：
37．（2023·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
38．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
39．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式的解集为______.
40．（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）不等式的解集为____________．
考点三 由一元二次不等式的解确定参数
41．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
42．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． 或 D．或
43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
44．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的的解集是，则（    ）
A．
B．
C．关于的不等式的解集是
D．的最小值是
45．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    )
A． B．
C． D．
46．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（    ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
47．（2023·全国·高三对口高考）关于的不等式的解集为，且，则________．
48．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．
49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ）
A．9 B．8 C．6 D．4
50．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ）
A． B．
C． D．
考点四 一元二次不等式的恒成立（有解）问题
（一） 一元二次不等式在R上的恒成立问题
51．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（    ）．
A． B．
C． D．
52．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
53．（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
54．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B．
C．或 D．或
55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
56．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
57．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．
58．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（    ）
A． B．，或
C． D．，或
59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(    )
A． B．
C． D．
（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
60．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.
61．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．
62．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
63．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（      ）
A． B．
C． D．
（三）给定参数范围求范围的恒成立问题
64．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
65．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
66．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是___________．
67．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
68．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
（四）一元二次不等式在某区间有解问题
69．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
70．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
71．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
72．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（    ）
A． B．C．） D．
73．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
考点五 一元二次方程根的分布问题
74．（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ）
A．B． C． D．
75．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
76．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
77．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
78．（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
79．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ）
A．-2 B． C． D．1
80．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（    ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m