2023年浙江省宁波市部分学校中考数学模拟试卷

这是一份2023年浙江省宁波市部分学校中考数学模拟试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十九两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省宁波市部分学校中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
2．（4分）我国研究人员利用中国天眼对致密星系群“斯蒂芬五重星系”及周围天区的氢原子气体进行成像观测，发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为9460700000000千米，将数9460700000000用科学记数法表示为（　　）
A．9.4607×1011 B．9.4607×1012
C．94607×108 D．0.94607×1013
3．（4分）下列几何体中，主视图为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a3＝a2 C．2a•3a＝6a2 D．a3+a2＝a5
5．（4分）某县举行朗诵比赛，将朗诵技巧、表现技巧、创新亮点三个方面分别按50%，40%，10%的比例计入总分．小华各项得分如表所示，则小华的最终得分为（　　）
评分内容
朗诵技巧
表现技巧
创新亮点
得分
90分
85分
95分
A．90分 B．89分 C．88.5分 D．88分
6．（4分）使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，若菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边的中点E到对角线交点O的距离为（　　）
​

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
8．（4分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”意思是现在有5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、3只羊，共值12两银子．每头牛、每只羊各值多少两银子？设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（﹣2，a）两点，则不等式kx+b﹣＜0的解是（　　）
​

A．x＜﹣2 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜1
10．（4分）两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如图②呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出（　　）

A．图形②与③的面积差 B．图形②与③的周长差
C．图形②与③的面积和 D．图形②与③的周长和
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣的绝对值等于 　 　．
12．（5分）分解因式：x2﹣2x＝　 　．
13．（5分）一个不透明的袋子里装有1个黄球和4个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为 　 　．
14．（5分）如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，交AC于点D．若∠CBD＝30°，则∠CAB的度数为 　 　．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等腰直角三角形，且∠A＝90°，点B的坐标为（4，0）．反比例函数y＝（k≠0）的图象交AB于点C，交OA于点D．若C为AB的中点，则＝　 　．

16．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 　 　；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）2；
（2）解不等式组．
18．（8分）如图，在6×6的网格中，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求在网格中作图．
（1）在图1中画出线段AD，点D在BC上，使得S△ACD：S△ABD＝1：2；
（2）在图2中画出△ABC的重心E．
​

19．（8分）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．

20．（10分）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
21．（10分）某校计划更换校服款式，为了调研学生对A，B两款校服的满意度，随机抽取了20名学生试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分（满分均为20分），并按照1：1：1的比例计算综合评分．将数据（评分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
A，B两款校服各项评分的平均数统计表
款式
舒适性评分平均数
性价比评分平均数
时尚性评分平均数
综合评分平均数
A
19.5分
19.6分
10.2分

B
19.1分
18.5分
10.4分
16.0分
不同评分对应的满意度统计表
评分（分）
0≤x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x≤20
满意度
不满意
基本满意
满意
非常满意
​
B款校服时尚性评分在10≤x＜15这一组的是：10分，11分，12分，12分，14分．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）①A款校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：　 　（填“是”或“否”）．
②A款校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为 　 　．
（2）B款校服时尚性评分的中位数为 　 　分．
（3）记A款校服时尚性评分高于其平均数的人数为m，B款校服时尚性评分高于其平均数的人数为n，比
较m，n的大小，并说明理由．
22．（10分）某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示：
直播间
活动方案
甲
全场六折
乙
“满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券；购买200元商品，赠200元购物券）
丙
“满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元；购买200元商品，只需付100元）
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气作锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价．
（2）小明研究了丙直播间的活动方案，发现实际售价y（元）可以看成标价x（元）的函数，并绘制了如图所示的部分函数图象．请写出当100≤x＜200时，y关于x的函数表达式，并在图中画出这个函数的图象．
（3）在甲、丙两个直播间标价均为x元（0＜x＜200）的商品，当x的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？

23．（12分）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E是边BC上一点，线段CE的垂直平分线分别交BD，CE于点F，Q，连结AF，EF．
（1）求证：AF＝EF．
（2）如图2，连结AE交BD于点G．若EF∥CD，求证：．
（3）如图3，已知∠BAD＝90°，BE＝EF．若，，求AF的长．

24．（14分）如图1，AC，BD是⊙O的两条弦，且BD⊥AC于点E．
（1）若AE＝BE，求证：DE＝CE．
（2）如图2，连结AB，BC，CD，若CA＝CD，
①判断∠ACB与∠ACD具有怎样的数量关系，并说明理由．
②在BD上存在点F，满足BF＝2AB，M是的中点，连结MF．若，MF＝2，求⊙O的半径．
​

2023年浙江省宁波市部分学校中考数学模拟试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜3，
∴所给的各数中，最小的数是﹣1．
故选：B．
2．（4分）我国研究人员利用中国天眼对致密星系群“斯蒂芬五重星系”及周围天区的氢原子气体进行成像观测，发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为9460700000000千米，将数9460700000000用科学记数法表示为（　　）
A．9.4607×1011 B．9.4607×1012
C．94607×108 D．0.94607×1013
【解答】解：9460700000000＝9.4607×1012．
故选：B．
3．（4分）下列几何体中，主视图为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
C、四棱锥的主视图是三角形，不合题意；
D、球的主视图是圆，不符合题意．
故选：B．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a3＝a2 C．2a•3a＝6a2 D．a3+a2＝a5
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故本选项错误，不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，故本选项错误，不符合题意；
C、2a•3a＝6a2，故本选项正确，符合题意；
D、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
5．（4分）某县举行朗诵比赛，将朗诵技巧、表现技巧、创新亮点三个方面分别按50%，40%，10%的比例计入总分．小华各项得分如表所示，则小华的最终得分为（　　）
评分内容
朗诵技巧
表现技巧
创新亮点
得分
90分
85分
95分
A．90分 B．89分 C．88.5分 D．88分
【解答】解：小华的最终得分为90×50%+85×40%+95×10%＝88.5（分），
故选：C．
6．（4分）使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：使有意义，
则x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
7．（4分）如图，若菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边的中点E到对角线交点O的距离为（　　）
​

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【解答】解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD是周长为16cm的菱形，
∴AB＝4cm，AC⊥BD，
∵点E为AB的中点，
∴OE＝AB＝2cm，
故选：B．
8．（4分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”意思是现在有5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、3只羊，共值12两银子．每头牛、每只羊各值多少两银子？设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵5头牛、2只羊，共值19两银子，
∴5x+2y＝19；
∵2头牛、3只羊，共值12两银子，
∴2x+3y＝12．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
9．（4分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（﹣2，a）两点，则不等式kx+b﹣＜0的解是（　　）
​

A．x＜﹣2 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜1
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（﹣2，a）两点，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．
故选：B．
10．（4分）两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如图②呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出（　　）

A．图形②与③的面积差 B．图形②与③的周长差
C．图形②与③的面积和 D．图形②与③的周长和
【解答】解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，

图形④的面积＝（2x﹣a）（2y﹣a）＝（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），
图形①的面积＝（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），
∴图形①与图形④的面积差＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝（x2+y2﹣2xy）＝（x﹣y）2，
图形②的面积＝（a﹣y）2＝a2﹣2ay+y2，
图形③的面积＝（a﹣x）2＝a2﹣2ax+x2，
∴图形②与图形③的面积差＝a2﹣2ay+y2﹣（a2﹣2ax+x2）＝﹣2ay+y2+2ax﹣x2，
故A选项不符合题意；
图形②与图形③的面积和＝a2﹣2ay+y2+（a2﹣2ax+x2）＝2a2﹣2ay+y2﹣2ax+x2，
故C选项不符合题意；
图形②的周长＝4（a﹣x），
图形③的周长＝4（a﹣y），
∴图形②与图形③的周长和＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，
故D选项不符合题意；
∴图形②与图形③的周长差＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），
又∵图形①与图形④的面积差＝（x﹣y）2，为已知，即（x﹣y）为已知，
故B选项符合题意，
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣的绝对值等于 　　．
【解答】解：﹣的绝对值等于．
故答案为：．
12．（5分）分解因式：x2﹣2x＝　x（x﹣2）　．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
13．（5分）一个不透明的袋子里装有1个黄球和4个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为 　　．
【解答】解：从袋子中随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中是白球的有4种结果，
所以从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为，
故答案为：．
14．（5分）如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，交AC于点D．若∠CBD＝30°，则∠CAB的度数为 　30°　．

【解答】解：∵以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CAB+∠ABD＝90°，
∴∠CAB＝∠CBD＝30°．
故答案为：30°．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等腰直角三角形，且∠A＝90°，点B的坐标为（4，0）．反比例函数y＝（k≠0）的图象交AB于点C，交OA于点D．若C为AB的中点，则＝　　．

【解答】解：∵点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵△OAB为等腰直角三角形，且∠A＝90°，
∴A（2，2），
∴直线OA为y＝x，
∵C为AB的中点，
∴C（3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象交AB于点C，交OA于点D，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数为y＝，
由，解得或，
∴D（），
∴．
故答案为：．
16．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 　﹣1　；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 　　．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵＝λ＝1，
∴点E为BC的中点，
∵AB＝2，∠B＝90°，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADG和△FCG中，
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，CF＝DA，
设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴＝，
∵GC＝a，CF＝2a，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）2；
（2）解不等式组．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣9﹣（x2﹣6x+9）
＝x2﹣9﹣x2+6x﹣9
＝6x﹣18；
（2）由①得：x＞1，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为1＜x≤2．
18．（8分）如图，在6×6的网格中，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求在网格中作图．
（1）在图1中画出线段AD，点D在BC上，使得S△ACD：S△ABD＝1：2；
（2）在图2中画出△ABC的重心E．
​

【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）如图2中，点E即为所求．

19．（8分）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝；
（2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由如下：
设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2，
整理得：x2+ax＝b2，
∴线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根．
20．（10分）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
所以：p＝3，b＝﹣2；
（2）一次函数y1＝x的图象与抛物线y2＝x2﹣2x的图象在同一坐标系中，如图所示：

解得：或，
∴A（3，3），
由图象得；当y1＞y2时，x＜0或x＞3；
（3）∵y2＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴y2＝x2﹣2x的顶点为（1，﹣1），
由题意得：1+m＝﹣1+n，
∴m﹣n＝﹣2．
21．（10分）某校计划更换校服款式，为了调研学生对A，B两款校服的满意度，随机抽取了20名学生试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分（满分均为20分），并按照1：1：1的比例计算综合评分．将数据（评分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
A，B两款校服各项评分的平均数统计表
款式
舒适性评分平均数
性价比评分平均数
时尚性评分平均数
综合评分平均数
A
19.5分
19.6分
10.2分

B
19.1分
18.5分
10.4分
16.0分
不同评分对应的满意度统计表
评分（分）
0≤x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x≤20
满意度
不满意
基本满意
满意
非常满意
​
B款校服时尚性评分在10≤x＜15这一组的是：10分，11分，12分，12分，14分．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）①A款校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：　是　（填“是”或“否”）．
②A款校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为 　3人　．
（2）B款校服时尚性评分的中位数为 　10.5　分．
（3）记A款校服时尚性评分高于其平均数的人数为m，B款校服时尚性评分高于其平均数的人数为n，比
较m，n的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）①A校服综合评分平均数为：≈16.4，
∵“非常满意”是15≤x≤20，
∴达到“非常满意”，
故答案为：是；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：20×15%＝3（人），
故答案为：3人；
（2）由题意得，B校服时尚性评分中，不满意人数：20×35%＝7（人），基本满意人数：20×10%＝2（人），满意人数：20×25%＝5（人），非常满意人数：20×30%＝6（人），
中位数是10和11位的中位数，是10≤x＜15中的前两位，即＝10.5，
故答案为：10.5；
（3）m＜n，
理由如下：A校服时尚性评分的平均数为10.2，达到满意水平，
由扇形图可知，20人中对A校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是20×45%＝9（人），
∴m≤9，
B校服时尚性评分时尚性评分平均数为10.4，小于中位数10.5，
∴n＝10，
∴m＜n．
22．（10分）某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示：
直播间
活动方案
甲
全场六折
乙
“满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券；购买200元商品，赠200元购物券）
丙
“满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元；购买200元商品，只需付100元）
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气作锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价．
（2）小明研究了丙直播间的活动方案，发现实际售价y（元）可以看成标价x（元）的函数，并绘制了如图所示的部分函数图象．请写出当100≤x＜200时，y关于x的函数表达式，并在图中画出这个函数的图象．
（3）在甲、丙两个直播间标价均为x元（0＜x＜200）的商品，当x的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？

【解答】解：（1）设这种空气炸锅的标价为x元，
根据题意得：0.6（380+x）＝380+x﹣300，
解得x＝370，
答：这种空气炸锅的标价为370元；
（2）根据题意得：y＝x﹣50（100≤x＜200），
图象如图所示：

（3）当0＜x＜100时，甲直播间购买需花费0.6x元，
乙直播间需花费x元，
∵x＞0.6x，
∴在甲直播间购买更划算；
当100≤x＜200时，甲直播间购买需花费0.6x元，
乙直播间需花费（x﹣50）元，
当0.6x＝x﹣50时，解得x＝125，
∴当100≤x＜125时，到甲直播间购买更划算，当x＝125时，甲、乙直播间购买花费一样多；当125＜x＜200时，到乙直播间购买更划算．
∴当0＜x＜125时，到甲直播间购买更划算．
23．（12分）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E是边BC上一点，线段CE的垂直平分线分别交BD，CE于点F，Q，连结AF，EF．
（1）求证：AF＝EF．
（2）如图2，连结AE交BD于点G．若EF∥CD，求证：．
（3）如图3，已知∠BAD＝90°，BE＝EF．若，，求AF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接CF，

∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADF＝∠CDF，
又∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF＝CF，
∵FQ垂直平分CE，
∴EF＝CF，
∴AF＝EF；
（2）证明：∵△ABD≌△CBD，EF∥CD，
∴△CBD∽△EBF，
∴△ABD∽△EBF，
∴，
即，
又∵△ABD≌△CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴点G到AB、BC的距离相等，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点E作EH⊥BD于H，
∵tan∠EBH＝tan∠ABD＝，
∴设EH＝3a，BH＝4a，
则BE＝EF＝5a，BF＝8a，
∴FQ＝a，EQ＝CQ＝，
∴BC＝BE+EQ+QC＝5a+＝，
∵tan∠ABD＝，
∴BD＝a，
∴DF＝，
∴a＝，
∴AF＝EF＝5a＝．
24．（14分）如图1，AC，BD是⊙O的两条弦，且BD⊥AC于点E．
（1）若AE＝BE，求证：DE＝CE．
（2）如图2，连结AB，BC，CD，若CA＝CD，
①判断∠ACB与∠ACD具有怎样的数量关系，并说明理由．
②在BD上存在点F，满足BF＝2AB，M是的中点，连结MF．若，MF＝2，求⊙O的半径．
​
【解答】（1）证明：如图1，

连接AD，BC，
∵，，
∴∠D＝∠C，∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BCE，
∴，
∵AE＝BE，
∴DE＝CE；
（2）解：①如图2，

∠ACB＝∠ACD，理由如下：
作OF⊥AC于F，作OG⊥CD于G，
CF＝AC，CG＝CD，
∵AC＝CD，
∴CF＝CG，
∴∠COF＝∠COG，
∴∠ACO＝∠DCO，
∴CH⊥AD，
∴∠AHC＝90°，
∴∠A+∠ACH＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠ACH，
∵∠ACB＝∠ADE，
∴∠ACB＝∠ACH＝∠ACD；
②如图3，

连接CM，交BD于H，连接AM，作AG∥MF，交BD于G，
∴∠MAC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠MAC，
∴AM∥BD，
∴△CEH∽△CAM，四边形AGFM是平行四边形，
∴，AG＝MF＝2，FG＝AM，
由①得，
∠ACB＝∠ACM，
∴＝，
∴AM＝AB＝2，
∴FG＝2，
∴BG＝BF﹣FG＝2，
∵∠CEB＝∠CEH＝90°，
∴∠CHE＝∠CBE，
∴CH＝CB，
∴EH＝EB，
设BE＝x，则EG＝2﹣x，
由AE2＝AG2﹣EG2＝AB2﹣BE2，
∴22﹣（2﹣x）2＝（2）2﹣x2，
∴x＝，
∴EH＝BE＝，
∴AE＝（2）2﹣（）2，
∴AE＝，
∴，
∴CE＝，
∴AC＝CE+AE＝2，
∴CM＝＝＝8，
∴圆的半径为4．