重庆市第八中学2022-2023学年九年级下学期适应考试数学试题（解析版）

这是一份重庆市第八中学2022-2023学年九年级下学期适应考试数学试题（解析版），共42页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学2022-2023学年度初三下适应考试数学试题
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）．
1. 下列四个实数中，是正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：A、，是负数，不符合题意；
B、，是负数，不符合题意；
C、，是正数，符合题意；
D、，是负数，不符合题意；
故选C．
2. 单项式的次数是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式的次数的定义判断即可．
解：单项式的次数是1，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的次数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
3. 如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）

A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥
【答案】B
【解析】
【分析】根据各个几何体三视图的特点进行求解即可．
解：∵该几何体的主视图与左视图都是三角形，俯视图是一个矩形，而且两条对角线是实线，
∴该几何体是四棱锥，
故选B．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．
4. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据解不等式的性质将不等式变形，从而选出正确的选项．
【详解】A、选项：，故A错误；
B、选项：，故B错误；
C、选项：当时，，故C错误；
D、选项：，则，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查不等式性质的应用，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
5. 若在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，得出，即可求解．
解：在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，
，
A．，故A选项符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．在坐标轴上，不在反比例函数图象上，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了根据反比例函数的增减性求参数，当时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．
6. 把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多2个黑色圆点，利用此规律求解即可．
解：第①个图案中有4个黑色三角形，
第②个图案中有4+2×1=6个黑色三角形，
第③个图案中有4+2×2=8个黑色三角形，
…，
按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为4+2×(n-1)=2n+2，
∴第⑦个图案中黑色三角形的个数为2×7+2=16，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为2n+2．
7. 按下图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为（ ）

A. B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．
解：第一次运算，输入16，取算术平方根为4，返回继续运算；
第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算；
第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果；
故选：A．
【点睛】题目主要考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算是解题关键．
8. 如图，是的直径，点C、D是上的两点，连接，且，若，，则的长为（ ）

A. B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理可得，再由，
可得，然后直角三角形的性质可得，即可求解．
解：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
9. 如图，在正方形内有一点F，连接，有，若的角平分线交于点E，若E为中点，，则的长为（ ）

A. B. 6 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】连接，过点E作于点H，过点F作于点G．设正方形边长，通过证明．得到各边与正方形边长的关系，再利用面积法把用含x的代数式表示出来，通过角相等证明，从而得到，在中利用勾股定理求出x的值，从而求出的长．
解：设的长为，连接，过点E作于点H，过点F作于点G．如图所示，

∵四边形正方形，
∴．
∵为的中点，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴，，．
∴．
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵，．
∴，
在中，，
∵
∴，
∴，
在中，，

∵，
∴，解得：，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理的应用，本题是一道综合性很强的题目，难度比较大，解题时注意灵活运用正方形的性质、三角形全等的性质．
10. 对于多项式，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ）
①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①乙同学第一次对a和d，第二次对a和e进行加负运算，可得①正确；若乙同学对a和ｂ进行加负运算得：，可得其相反的代数式为，则甲同学对c、d、e进行加负运算，可得与之相反的代数式，同理乙同学可改变字母或或或或或或或或，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，可得②正确；若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；若固定改变b，乙同学可改变字母或或；固定改变c，乙同学可改变字母或；固定改变d，乙同学可改变字母，可得③错误，即可．
解：①乙同学第一次对a和d进行加负运算得
；
第二次对a和e进行加负运算得
，故①正确；
②若乙同学对a和ｂ进行加负运算得：
，
则其相反的代数式为，
∵甲同学对c、d、e进行加负运算得：，
同理乙同学可改变字母或或或或或或或或，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，故②正确；
若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；
若固定改变b，乙同学可改变字母或或；
固定改变c，乙同学可改变字母或；
固定改变d，乙同学可改变字母，
所以一共有4+3+2+1=10种，故③错误．
故选：C
【点睛】本题主要考察逻辑分析，注意甲乙同学可改变字母个数的不同是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. ______．
【答案】##
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加法运算即可．
解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程，结合，进行求解即可．
解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．
13. 如果，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的值，进而求出的值即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
14. 有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用列举法求概率即可．
解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四张卡片中，矩形，菱形，正方形为中心对称图形，分别用表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性随机抽取两张卡片共有，共种情况，其中抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的有，共种情况，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，列举法求概率．熟练掌握矩形，菱形，正方形为中心对称图形，以及列举法求概率，是解题的关键．
15. 如图，直径的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点，则图中阴影部分的面积是______．

【答案】
【解析】
【分析】利用，进行求解即可．
【详解】∵半圆绕B点顺时针旋转得到半圆，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
16. 若数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于x的二次函数在直线右侧y随x增大而增大，那么满足以上所有条件的整数a的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】把a看作已知数解分式方程，求出符合条件的a的值，用a表示出二次函数的对称轴，根据直线右侧y随x增大而增大，得出二次函数的对称轴在的右侧，求出满足题意的a的取值范围，进而求出a的所有值即可求和．
解：∵，
解得：，
∵分式方程有正整数解，
∴，且，
∴且，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵抛物线在直线右侧时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
综上：，且，
∴符合条件的所有整数有：，和为；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，以及二次函数的性质．正确的求出的取值范围，确定的值，是解决本题的关键．
17. 如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连接．将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为______．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，由勾股定理得出，设，利用含角的直角三角形的性质得出，，利用折叠的性质得出，，再由相似三角形的判定和性质及图中线段间的数量关系求解即可．
解：过点作于点，

，，，
，
设，
，
，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
解得：，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点并结合图形求解是解题关键．
18. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是______；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为______．
【答案】 ①. 1001 ②. 8778
【解析】
【分析】①根据“交替数”的概念结合求最小时让千位、百位、十位、个位上的数字尽可能小进行判断即可；②根据题意列出方程，利用“交替数”概念以及平方差公式进行变形得到二元一次方程组，然后根据求最大的“交替数”的要求进行计算即可．
解：①∵是四位正整数，
∴
最小为1
当时，
∴是“交替数”且最小，
∴最小的“交替数”是1001
②解;设
由题意得：（为正整数）
，

或
解得：或
（为正整数）
或或
∴的最大值为8778
【点睛】本题主要考查新定义的理解以及运用和平方差公式，二元一次方程组的求解，熟练掌握平方差公式变形以及二元一次方程组的解法，对新定义的概念的充分理解是解决本题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，19、20每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再合并同类项即可；
（2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式

；
【小问2详解】
原式

．
【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
20. 如图，在中，，过点A作交于点D．点E是线段上一点，连接，请完成下面的作图和填空．

（1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在的右边作，射线交的延长线于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形是菱形．
证明：∵，
∴① ∴
在和中，
∴ ∴
∵ ∴③
∴四边形是平行四边形
∵④ ∴四边形是菱形
【答案】（1）见解析 （2）；；；
【解析】
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据线段垂直平分线的性质得出，然后利用证明，从而可以证明，最后根据菱形判定证明即可．
【小问1详解】
解：如图，

即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定等知识，掌握基本作图方法，菱形的判定等知识是解题的关键．
21. 某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92
通过数据分析，列表如下：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100


根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：______，______，______；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？
【答案】（1）40，94，96
（2）选派九年级（2）班，理由见解析
（3）156
【解析】
【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用1-其它各组所占百分比即可求出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
【小问1详解】
解：九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100，
∴．
∵成绩为96分的学生有2名，最多，
∴．
九年级（2）班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为，
∴扇形统计图中D组所占百分比为，
∴．
故答案为：40，94，96；
【小问2详解】
解：选派九年级（2）班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而九年级（1）班的方差为52，九年级（2）班的方差为，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级（2）班．
【小问3详解】
解：九年级（2）班D组人数为人，
∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线2.4 km，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为12 km的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【答案】（1）甲，乙两个工程队每天各修路
（2）至少安排乙工程队施工天
【解析】
【分析】（1）设乙队每天修路，则甲队每天修路，根据两队各自修建快线2．4 km，甲队比乙队少用4天，列出方程进行求解即可；
（2）设安排乙工程队施工天，根据甲队的费用加上乙队的费用小于等于38万元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设乙队每天修路，则甲队每天修路，由题意，得：
，
解得：，
经检验，，是原方程解；
∴，
答：甲，乙两个工程队每天各修路；
【小问2详解】
解：设安排乙工程队施工天，由题意，得：
，
解得：；
∴至少安排乙工程队施工天．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．正确的理解题意，找准等量关系，列出方程和不等式，是解题的关键．
23. 某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段GH，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点D），AB为立杆，其高为95cm；BC为支杆，它可以绕点B旋转，其中BC长为32cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，它也可以绕点C旋转．

（1）如图2所示，若将支杆BC绕点B顺时针转动使得，求点B与点C的水平距离；
（2）使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于101cm且不高于105cm时，台灯光线最佳．如图3所示，现测得CD为30cm，支杆BC与悬杆DE之间的夹角，支杆BC与立杆AB之间所成的，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：，）
【答案】（1）点B与点C的水平距离为16cm．
（2）此时台灯光线是为最佳，理由见详解．
【解析】
【分析】（1）过点B作BF∥GH，过点C作CQ⊥BF于点Q，由题意易得，则有，然后根据三角函数可求解；
（2）分别过点D作DM⊥GH于点M，DI∥GH交CB于点I，BN⊥DM于点N，CK⊥BN于点K，交DI于点J，由题意易得MN=95cm，，，然后根据三角函数可进行求解．
【小问1详解】
解：过点B作BF∥GH，过点C作CQ⊥BF于点Q，如图所示：

由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即点B与点C的水平距离为16cm；
【小问2详解】
解：分别过点D作DM⊥GH于点M，DI∥GH交CB于点I，BN⊥DM于点N，CK⊥BN于点K，交DI于点J，如图所示：

由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即灯泡与地面的距离为102.56cm，
∵101＜102.56＜105，
∴台灯光线是为最佳．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
24. 如图，在中，，点D、E分别是线段、边上的中点，将线段沿射线的方向平移得到线段，其中点D的对应点是点，点E的对应点是点，点抵达点B时，线段停止运动，连接，直线与的交点为点F，已知长度为x，的长度为y．

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）利用描点法画出此函数图象；
（3）结合图象，写出函数的其中一条性质______；
（4）若函数图象与有且只有一个交点，则k的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）时，随的增大而减小
（4）
【解析】
【分析】（1）根据中位线定理得到，利用平移得到，证明，列出比例式即可得解；
（2）描点法画出函数图象即可；
（3）结合图象写出一条性质即可；
（4）分和，和，三种情况进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵点D、E分别是线段、边上的中点，
∴，
∵将线段沿射线的方向平移得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
当点抵达点B时，线段停止运动，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：列表如下：


3
4
5
6



6


3

画出函数图象，如图所示：
【小问3详解】
解：由图象可知，时，随的增大而减小；
故答案为：时，随的增大而减小（答案不唯一）；
【小问4详解】
解：∵，当时，；
∴的图象必过点；
当时，直线与函数图象没有交点，不符合题意；
当时：直线在之间时，与函数图象只有一个交点，

直线过点，
∴，解得：，
∴；
当时，如上图，可知，与函数图象有一个交点，符合题意；
综上：；
故答案为：．
【点睛】本题考查平移，相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，反比例函数与一次函数的交点问题．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，连接，过点B作交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点F，过点F作交直线于点D，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在第（2）小问条件下，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线过点B，点M在平移后抛物线的对称轴上，点T是平面内任意一点，是否存在以B、P、M、T为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，直接写出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）最大值为，
（3）或或或．
【解析】
【分析】（1）先求出，再把抛物线解析式设为交点式利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，进而求出直线的解析式为；如图所示，设交x轴于G，交于H，过点D作于H，先证明，解中，得到，；设，则， ，求出，，解，求出，解，求出，则
，据此求解即可；
（3）先求出，则可设抛物线沿着射线方向平移时，先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度经过点B，则平移后的抛物线解析式为，进一步求出平移后的抛物线解析式为，从而得到平移后的抛物线对称轴为直线，设，分当为边时，则，当为对角线时，则，两种情况利用勾股定理求出点M的坐标，再根据菱形对角线中点坐标相同求出点T的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，设交x轴于G，交于H，过点D作于H，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，；
设，则，
∴，，
∴在中，，
∴在中，，
∴

，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴点；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴可设抛物线沿着射线方向平移时，先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度经过点B，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴平移后的抛物线解析式为；
∴平移后的抛物线对称轴为直线，
设，
当为边时，则，
∴，
∴，
∴，
∴或，
又∵菱形对角线中点坐标相同，
∴或，
∴或，
∴点T的坐标为或；
当为对角线时，则，
∴
∴，
解得，
∴或，
又∵菱形对角线中点坐标相同，
∴或，
∴或，
∴点T的坐标为或；
综上所述，点T的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
26. 在中，，点D是线段上一点，连接，过点C作，垂足为点E，过点A作于点F．

（1）如图1，如果设交于点G，且G为的中点，若，，求线段的长；
（2）如图2，如果，点E是线段的中点，过点E作，垂足为点H，连接，求证：；
（3）如图3，如果，点D是直线上一点，求的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）的最大值为4
【解析】
【分析】（1）证明，推出，利用直角三角形斜边中线的性质可证明是等边三角形，得到，解直角三角形即可求解；
（2）作交直线于点I，设，则，分别用m表示、、、的长，证明，推出，求得，，再证明，得到，据此计算即可证明结论；
（3）根据垂直的定义推出点E在以为直径的半圆上，点F在以为直径的半圆上，当点D与点C重合时，此时点F与点A重合，取得最大值，最大值为的长．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵G为的中点，
∴，又，
∴，
∴，
∵G为的中点，，，
∴，，是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：作交直线于点I，

∵，，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，
∴
设，则，
∴，
由，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，

∴点E在以为直径的半圆上，点F在以为直径的半圆上，
∵直径是最长的弦，
∴当点D与点C重合时，此时点F与点A重合，取得最大值，最大值为的长，
∴的最大值为4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆的相关性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．