新教材高二第二学期5月段考数学试题（原卷版+答案解析）

新教材第二学期5月段考试卷

高二数学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.

3. 非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ）

（参考数据：若，则，，.）

A. 这次测试的平均成绩为110

B. 越小，测试成绩在内的概率越大

C. 测试成绩小于100分和大于120分的概率相等

D. 当时，测试成绩小于130分的概率为0.6827

2. 曲线在处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知等比数列的公比为q，且，，成等差数列，则q的值是（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

4. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ）

A. 0.95 B. 0.8 C. 0.76 D. 0.75

6. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（    ）

A. 56种 B. 64种 C. 72种 D. 96种

7. 若，是函数的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（    ）

A.  B.  C.  D. 4

8. 已知当时，关于x的不等式恒成立，则实数a的值不可能是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）

A.   B. 的展开式中项的系数为56

C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56

10. 袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X，则（    ）

A. 3次中恰有2次取得白球的概率为 B.

C.   D.

11. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设函数，则（    ）

A.

B. 函数的图象过点的切线方程为

C. 函数既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值

D. 方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知在备选的10道题中，甲能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲合格的概率为______.

14. 将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______.

15. 若前n项和为的等差数列满足，则______.

16. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围是______.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的面积为.

（1）求A；

（2）若，求的周长.

18. 已知各项都是正数的数列，前n项和满足.

（1）求数列的通项公式.

（2）记是数列的前n项和，是数列的前n项和.

①求和；

②当时，试比较与的大小.

19. 如图，在正三棱柱中，，D是棱AB的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求平面与平面的夹角余弦值的取值范围.

20. 课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为.

（1）求甲3次投篮的得分超过3分的概率；

（2）乙3次投篮的得分为X，求X的分布列和期望.

21. 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，P为C的上顶点，且的周长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过定点的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

22. 已知函数.

（1）若，求的极值；

（2），若函数有两个零点，，且，求证：.

新教材下学期5月段考

高二数学答案

一、选择题

1.【答案】D

【详解】对于A选项：正态分布中，括号里面表示随机变量服从均值为，方差为的正态分布，因为成绩服从正态分布，所以A是正确的.

对于B选项：正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差（或标准差）越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，所以越小，测试成绩在内的概率越大，所以B是正确的.

对于C选项：根据正态曲线对称特点，测试成绩小于100分和大于120分的概率相等，所以C是正确的.

对于D选项：当时，测试成绩小于130分的概率为0.84135，所以D错误.

2.【答案】C

【详解】由题意，解得.

由，得，则，又，

∴曲线在处的切线方程为.

3.【答案】B

【详解】等比数列的公比为q，，，成等差数列，则，

即，整理得，解得，所以q的值是4.

4.【答案】B

【详解】设第一次取得次品为事件A，第二次取得正品为事件B，

则，，所以.

5.【答案】C

【详解】设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，

则，，

记事件C：从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，

所以.

6.【答案】D

【分析】根据A是否入选进行分类讨论即可求解.

【详解】由题意可知：根据A是否入选进行分类：

若A入选：则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；

若A不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，

所以共有种不同的安排方法.

7.【答案】A

【详解】∵，∴，，

所以，为两个不等的负数，不妨设，则必有，，2成等差数列，

，2，成等比数列，故有，，解得，，

可得，，.

8.【答案】D

【分析】化为恒成立，构造函数，求导后讨论a，当时，，符合题意；当时，求出的最小值，化为，再构造函数，利用导数可得结果.

【详解】当时，关于x的不等式恒成立，即恒成立，

令，则，

当，即时，由，得，所以，所以在上为增函数，

所以，符合题意；

当，即时，由，得，由，得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以，所以只需即可，

设，则，

当时，，所以，所以在上为减函数，

因为，，所以存在，使得，

当时，，当时，，

要使，只需，结合选项可知，实数a的值不可能是3.

二、多项选择题

9.【答案】AC

【详解】因为的展开式通项为，

所以的展开式的第项的二项式系数为，

所以，解得，A正确；的系数为，B错误；

奇数项的二项式系数和为，C正确；

根据二项式定理，表示8个相乘，

所以中有1个选择x，1个选择，6个选择1，

所以的展开式中项的系数为，D错误.

10.【答案】BC

【详解】设3次取球取到白球的个数为，每次取到白球的概率，

由题意可得：，且，

对于A：，故A错误；

对于B：令，解得，故或，

所以，故B正确；

对于C：因为，所以，故C正确；

对于D：因为，所以，故D错误.

11.【答案】ABD

【详解】，，故选项A正确；

对于，有，，

两式相加，得，则，故选项B正确；

由，知，则，故选项C错误；

由偶数项均为－1，可得n为偶数时，，

则

，

则，故选项D正确.

12.【答案】AD

【详解】由题意可知，

对于A，由，得，故A正确；

对于B，设切点为，，

切线方程，

代入点，得，化简整理得，令，，

所以函数在的切线方程为，

因为，，函数图象连续不断，所以存在，使得，所以过点的直线与函数在之间存在切点，过点的切线不止一条，故B错误；

对于C，的定义域为，令，

即，解得，或，

当时，，当时，，

所以在和上单调递增，在和上单调递减.

当时，取得极大值为，

当时，取得极小值为，

因为，所以极大值小于极小值，故C错误；

对于D，由C选项知，作出的图象如图所示，

要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，

由图可知，，所以实数k的取值范围为.故D正确.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题

13.【答案】

【详解】从10道题中抽取3道题的取法有种，至少抽到甲能答对的5道题中的两道题的取法有，所以概率为.

14.【答案】280

【详解】先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.

满足条件的分组方法种数为.

15.【答案】68

【详解】解：由等差数列的性质知，

因为前n项和为的等差数列满足，

所以，即，

所以，所以.

16.【答案】

【详解】①当时，，所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

且，，，当时，，当时，，

当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，

从而，，

②当时，，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，且，，

当时，，当时，，

当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，

从而，，当，且时，，

根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：

函数的零点个数与方程的解的个数一致，

方程，可化为，所以或，

由图象可得没有解，方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，

由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由正弦定理得，，

，∴，

由可得，又，∴.……5分

（2）由题意可得，∴，又，∴，

由余弦定理得，

∴.∴的周长为.……5分

18.【详解】（1）当时，，所以或（舍去），

当时，有，两式相减得，

整理得，因为的各项都是正数，所以，

所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以；……5分

（2）由（1）得，则，

所以，

由（1）得，

所以，……10分

因为，

所以，故，所以当时，.……12分

19.【详解】（1）证明：在正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

所以.因为，且D是棱AB的中点，所以.

因为AB，平面，且，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.……5分

（2）解：分别取AC，的中点O，E，连接OE，OB，由正三棱柱性质得，，

所以四边形为平行四边形，所以，因为平面ABC，所以平面ABC，

因为AC，平面ABC，所以，，因为在等边三角形ABC中，，

所以OB，OC，OE两两垂直，如图建立空间直角坐标系，……7分

设，则，，，

，，

设平面的法向量，则，

令，，，得，……9分

平面的一个法向量，

设平面与平面夹角为，则，……11分

因为，所以.……12分

20.【详解】（1）甲3次投篮投进的次数为，则，

故甲3次投篮的得分超过3分的概率.……4分

（2）记“乙第次投篮投进”为事件，，

由题意可得：X的可能取值为0，2，4，6，则有：

，

，

，

，

所以X的分布列为：

故X的期望.……12分

21.【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a、c的值，进而可求得b的值，由此可得出椭圆C的方程；

（2）分析可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，设，，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由结合可求得k的取值范围.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c.因为的周长为，①

因为椭圆C的离心率为，所以，②

由①②解得，.则，所以椭圆C的方程为.……4分

（2）若直线轴，此时，直线l为y轴，则A、O、B三点共线，不合乎题意，

设直线l的方程为，设，，

联立，

，解得，

由韦达定理可得，，……8分

则，

又为锐角，A、O、B不共线，则，

即，

解得，所以，，解得或，

所以实数k的取值范围为.……12分

22.【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出的极值作答.

（2）根据函数零点的意义，转化为线与函数图象有两个交点，求出，再借助零点建立两个方程消去a，构造函数证明即可作答.

【详解】（1）当时，定义域为，

求导得，

令，求导得，

当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，取得极大值，无极小值，

所以的极大值为，无极小值.……4分

（2）依题意，，，因为函数有两个零点，，且，

而，则，

因此函数的两个零点，，分别是直线与函数图象的两个交点横坐标，

，当时，，当时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减，，

而，时，恒有，于是，即.……8分

令，显然有，

则有，令，，

，即函数在上单调递增，，

即有，从而，又，所以.……12分