2022-2023学年北京市人大附中八年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年北京市人大附中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  如图，▱的对角线，相交于点，且，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列等式不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，下列四组条件中．不能判定四边形是平行四边形的是(    )
 

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  如图，在的正方形网格中，标记格点、、、，且每个小正方形的边长都是下列选项中的线段长度为的是(    )

A. 线段
B. 线段
C. 线段
D. 线段

7.  实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在▱中，，为上一点，且，过作交于，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  校办工厂要制作一些等腰三角形模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底边、腰长和底边上的高的顺序进行了记录，其中记录错误的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

10.  如图，在▱中，，是的中点，作于，连接、，下列结论不成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共22分）

11.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______．

12.  分解因式： ______ ．

13.  方程的解为______．

14.  当时，代数式的值为______ ．

15.  如图，在▱中，，，作于，则 ______ ； ______ ．

16.  已知，，，若为整数且，则的值是______ ．

17.  如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是______ ．

18.  如图，在中，，，，，分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若恰好落在中点上，则长为______ ．

19.  如图，点，为定点，直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：线段的长；的周长；的面积；直线与之间的距离；的大小．其中会随点的移动而发生变化的是______填序号．

20.  如图，等边边长为，点为边延长线上一动点，，，点是线段的中点，连接、．
用等式表示线段和的数量关系为：______ ；
线段长度的最小值为：______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

21.  解不等式组：．

四、解答题（本大题共7小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
计算：；．

23.  本小题分
先化简，再求值：，其中：，．

24.  本小题分
勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择______ 其中一种，补全后续证明过程．

25.  本小题分
如图，在▱中，点在上，点在上，且．
求证：四边形是平行四边形；
若为的平分线，且，，求▱的周长．

26.  本小题分
在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于的根式方程，小组成员展开讨论如材料一，并梳理了解法如材料二．
材料一：

材料二：

通过以上材料，完成下列问题：
解关于的方程；
解关于的方程．

27.  本小题分
已知▱，．
如图，若以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时▱的面积；
如图，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接．
依题意将图补全；
用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明；
如图，以为边作▱，且，若，直接用等式表示此时与的数量关系．
 

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形、给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，若、两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形和图形的“距离关联值”，记为．
已知▱顶点坐标为，，，．
若为▱边上任意一点，则的最大值为______ ，最小值为______ ，因此点，▱ ______ ；
若为▱对角线上一点，为▱对角线上一点，其中．
若，则线段，▱ ______ ；
若线段，▱，求的取值范围；
若▱的对角线交点为，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含的代数式表示▱，▱．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】
解：原式，不符合题意；
B.原式，不符合题意；
C.原式为最简二次根式，符合题意；
D.原式，不符合题意，
故选C．  

2.【答案】 

解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断．
本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
 

3.【答案】 

解：四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：．
平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等
 

4.【答案】 

解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
 

5.【答案】 

解：根据两组对边相等的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形，故A能判断；
B.根据两组对边平行的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形，故B能判断；
C.不能判断四边形为平行四边形，如满足条件的四边形可以为等腰梯形，故C不能判断；
D.根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形，故D能判断
故选：．
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
 

6.【答案】 

解：由图可得，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理可以求得线段、、和的长，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出线段、、和的长．
 

7.【答案】 

解：由实数，在数轴上的位置可知，，
原式

，
故选：．
根据实数，在数轴上的位置确定、的符号，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简即可．
本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形 到现在得到，，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

解：根据等腰三角形的性质，底边上的高和底边上的中线相互重合，可知底边的一半、底边上的高、腰构成直角三角形，
只有，，中的一半为，且，可知满足条件，
故选：．
根据底边的一半、底边上的高和腰构成直角三角形，进行判断即可．
主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、底边的中线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．
 

10.【答案】 

解：延长交延长线于，

A、是的中点，
，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，
即，故此选项正确，不合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，故此选项正确，不合题意；
C、设，则，
，
，
，
，
，故此选项正确，不合题意；
D、≌，
，
，
，
，
故错误，符合题意；
故选：．
延长交延长线于，利用平行四边形的性质及等腰三角形的性质判断选项A；利用平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质判断选项B；设，则，根据三角形内角和定理及角的倍分关系可判断选项C；根据全等三角形的性质即可判断选项D．
此题考查的是全等三角形的性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

11.【答案】 

解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

解：，
，
．
先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．平方差公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用平方差公式进行二次分解因式，也是难点所在．
 

13.【答案】 

解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

解：

，
当时，原式，
故答案为：．
根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

15.【答案】  

解：在▱中，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．
 

16.【答案】 

解：，，
，
，
为整数且，
，
故答案为：．
估算出的值即可解答．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

17.【答案】平行四边形的对边相等 

解：由题意可知，，，
四边形为平行四边形，
平行四边形的对边相等，
故答案为：平行四边形的对边相等．
由题意可知，，可证四边形为平行四边形，即可得出．
本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

18.【答案】 

解：在中，，，，
，
点是直角边的中点，
，
根据折叠的性质，
得≌，
，
设为，则：，
在中：，
解得：，
故答案为：．
点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到，在中利用勾股定理即可求出的长．
本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．
 

19.【答案】 

解：，
的面积不变，
，，
，的长为定值，
的长不变，的面积不变，直线与之间的距离不变，
故答案为．
根据三角形的中位线定理，平行线的性质即可一一判断；
本题考查三角形的中位线定理、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】  

解：线段与的数量关系为：，理由如下：
延长至点，使，连接、，如图所示：

点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
连接，取的中点，连接作射线，如图所示：

为等腰三角形，，
，
点为的中点，点为的中点，
是的中位线，
，
，
点的运动轨迹为射线，且，
当时，最短，
，
，
在中，，
，
线段长度的最小值为．
故答案为：．
延长至点，使，连接、，先证≌，得，，则，再证≌，得，，然后证是等边三角形，即可得出结论；
连接，取的中点，连接作射线，先由等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得点的运动轨迹为射线，且，当时，最短，然后由含角的直角三角形的性质得即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

21.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
 

22.【答案】解：

；



． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

23.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减混合运算法则是解题的关键．
 

24.【答案】方法一 

解：方法一，
证明：如图，将个全等的该直角三角形围成一个大正方形，
即分别使点、、共线，点、、共线，点、、共线，
此时四边形也是正方形，
大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积，
，即，
；
方法二，
证明：如图，将个全等的该直角三角形围成一个梯形，
即使点、、共线，此时为等腰直角三角形，
梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简得：．
方法一：由大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积，即可得出结果；
方法二：梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即可得出结果．
本题考查了勾股定理的证明，正确利用图形中有关面积的等量关系得出勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
为的平分线，
，
，
，
，
▱的周长． 

【解析】由平行四边形的在得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，，再证，得，则，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
两边平方得：，
解得：，
检验：将代入原方程，成立，
所以原方程的解为；

，
两边平方得：，
解得：，
检验：将代入原方程，不成立，
所以原方程无解． 

【解析】方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
 

27.【答案】解：如图，是等边三角形，，
边上的高为，
▱的面积；
如图即为补全的图形；

，理由如下：
如图，在上取，连接，
是等腰直角，
，，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，理由如下：
如图，连接，过点作延长线于点，连接，

在▱中，，，
，
，
，
，
，
，
在▱和▱中，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等边三角形的性质求出边上的高为，再根据平行四边形的面积等于底乘以高即可解决问题；
根据题意画出图形即可；
如图，在上取，连接，证明≌，得，，再证明≌，得，进而根据线段的和差即可解决问题；
连接，过点作延长线于点，连接，根据平行四边形的性质和勾股定理可得，然后证明四边形是平行四边形，证得，根据勾股定理可得．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，得到≌是解题的关键．
 

28.【答案】       

解：当点与或重合时，的值最大，最大值，
当点在轴上时，的值最小，最小值为，
点，▱．
故答案为：，，；

当时，，，
此时，，
观察图象可知，，
线段，▱．
故答案为：．

当时，，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
当线段，▱时，
．
当时，同法可得，
综上所述，满足条件的的值为：或；

由可知，当时，▱，▱．
当时，▱，▱
当点与或重合时，的值最大，最大值，当点在轴上时，的值最小，最小值为；
求出最大值，最小值可得结论；
根据方程求出空格特殊位置的值，可得结论；
利用中方法，分，，两种情形分别求解．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，新定义“距离关联值”等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．