专题03等差数列与等比数列-学生及教师版

专题03等差数列与等比数列

专题3 等差数列与等比数列

（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）

1．记数列的前n项积，已知，则（     ）

A．4 B．5 C．7 D．8

（2023·福建漳州·统考三模）

2．已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（    ）

A． B． C． D．

（2023·广西·校联考模拟预测）

3．已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．127 B．254 C．510 D．255

（2023·广西柳州·统考三模）

4．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（    ）

A．23 B．25 C．27 D．29

（2023·河南·校联考模拟预测）

5．已知数列的前n项和为，且，则（    ）

A． B．2n C． D．

（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）

6．已知数列中，，，若，则正整数的值为（    ）

A． B． C． D．

（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）

7．已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）

8．已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（    ）

A．6 B．7 C．9 D．10

（2023春·吉林通化二模）

9．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ）

A． B． C． D．

（2023·河南安阳·统考二模）

10．如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（    ）．

A．210 B．445 C．780 D．1225

（2023·全国·模拟预测）

11．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（    ）

A． B．当时，

C． D．

（2023·辽宁朝阳·校联考一模）

12．已知数列满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A．数列为递减数列 B．

C． D．

（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）

13．在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．为等比数列 D．

（2023·安徽蚌埠·统考三模）

14．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是(    )

A．数列是等差数列 B．数列是等差数列

C．数列是等比数列 D．数列是等差数列

（2023·山东枣庄·统考二模）

15．已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（    ）

A．

B．当戓6时，取得最小值为30

C．数列的前10项和为50

D．当时，与数列共有671项互为相反数．

（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）

16．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为________．

（2023·甘肃定西·统考二模）

17．写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式__________.

①是递增的等差数列；②.

（2023·陕西商洛·统考二模）

18．设数列的前n项和为，且，，则的最小值是___________.

（2023·广东广州·统考二模）

19．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.

（2023·广东·校联考模拟预测）

20．如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为________．（参考数据：，）

参考答案：

1．B

【分析】根据题设及递推式求项，然后求即可.

【详解】由题设，即，，即，

，即，，即，

所以.

故选：B

2．A

【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得，根据等比数列通项公式可求得结果.

【详解】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，

的公比.

故选：A.

3．D

【分析】利用等比数列的通项公式及前项和公式即可求解.

【详解】设等比数列的首项为，公比为，则显然，

因为

所以，解得，

由，得，

所以.

故选:D.

4．C

【分析】根据题意转化为等差数列问题，应用等差数列通项公式和前项和公式，基本量运算即可求解.

【详解】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则=2，，

因为，所以，即得.

故选：C

5．D

【分析】首先令求出数列首项，再根据得，两式相减得，然后构造等差数列，通过等差数列通项公式求解数列的通项公式，进而求出的通项公式.

【详解】令，

由可得：，

两式作差可得：，

化简整理可得：，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，

所以，进而可得：．

故选：D．

6．A

【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，解方程即可得解.

【详解】因为，可得，

因为，则，即，可得，同理可得，

以此类推可知，对任意的，，

所以，，等式两边取倒数可得，则，

所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，

所以，，故，由可得.

故选：A.

7．A

【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.

【详解】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故充分性成立；

若，且，则，

所以由对于任意，，推不出，故必要性不成立；

所以“公比”是“对于任意，”的充分不必要条件.

故选:A

8．D

【分析】根据题意，求得等差数列的通项公式，从而得到数列前项都是负数，从而得到结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由性质知，则，且，

则，

令，得，即前项都是负数，

所以最小，所以.

故选:D

9．D

【分析】根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解.

【详解】由题意知①，

当时，，

当时，②，

①-②，得，

若，，符合题意，

所以，则，

所以，

则

.

故选：D.

10．B

【分析】由题可得，.后由分组求和法可得答案.

【详解】由题可知当时，.

根据定义，当时，.

则.

故

.

故选：B

11．BC

【分析】根据等比数列的定义和性质可判断求解A,B,C，利用基本不等式可确定D.

【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；

B选项：因为，，则，

所以，所以，所以B正确；

C选项：因为，所以，

所以，所以C正确；

D选项：，

当且仅当时，等号成立．所以D不正确．

故选:BC.

12．ABD

【分析】根据数列的递推公式和首项即可判断选项A和B；利用数列的单调性和累加法求出，进而判断选项C和D.

【详解】因为和可知，数列的各项均为正值，

由可得，所以，则数列为递减数列，故选项A正确；

由选项A的分析可知：数列为递减数列，又因为，所以，故选项B正确；

由两边同时取倒数可得，

则，所以，

因为数列为递减数列，

由可得，

当时，，即，

当时，，即，，

，

不等式累加可得：，

所以，则，

所以，故选项C错误；

由可得，

所以，故选项D正确；

故选：ABD.

13．BCD

【分析】由已知求，判断A，再求出的递推关系，再由递推关系证明是等比数列，判断C，结合等比数列通项公式求，判断B，D.

【详解】由题可知，当时，，故选项A错误．

当时，表示第次在平面ABC的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率．

由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，

所以，得，又，

所以是等比数列，首项为，公比为．C正确；

故，

化简得，故，所以选项BD正确．

故选：BCD.

14．ABC

【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断选项；利用等比数列定义可判断C选项．

【详解】设等差数列的公差为，则，∴．

对于A选项，，∴为等差数列，A正确；

对于B选项，令，

∴，

故数列是等差数列，B正确；

设等比数列的公比为，

对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；

对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；

故选：ABC．

15．AC

【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.

【详解】解：因为等差数列，且，公差，

所以，

，

所以，，

所以选项A正确；

因为，

根据二次函数的对称性及开口向下可知：

取得最大值为，故选项B错误；

记的前10项和为，

因为，当时，解得，

当时，解得，

所以

，

因为，所以，

所以，故选项C正确；

记，因为，，

所以，所以当时，，

由，，可知为偶数，

若与互为相反数，则，且为偶数，

由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，

即，即，且为偶数，所以，且为偶数，

故这样的有670个，故选项D错误.

故选：AC

16．6066

【分析】写成的通项公式，求出公和，再分组求和.

【详解】设等和数列的公和为m．

因为，所以，，，，…，

所以，

又，所以，

所以．

故答案为：6066

17．（答案不唯一）

【分析】设等差数列的公差为，列举满足，即可得到，即得解.

【详解】设等差数列的公差为，由①可知，取，

由，得，则，

所以数列的一个通项公式.

故答案为：（答案不唯一）

18．

【分析】根据 的关系可得，进而由等差数列求和公式求解，由二次函数的性质即可求解最值.

【详解】当时，，即，解得或.因为，所以.

当时，，所以，即，即.因为，所以，所以，即，则，从而，故，当或时，取得最小值，最小值是.

故答案为：

19．

【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法可求得的值.

【详解】因为数列是正奇数列，

对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；

当为偶数时，设，则为奇数，

所以，，则，

因此，.

故答案为：.

20．16

【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出图形的周长,从而求出n的值.

【详解】由题意可知，图形的边长为1，图形的边长为上一个图形边长的，图形的边长又是上一个图形边长的，……，

所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，

所以图形的边长为，

由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，

所以图形的边数为，

所以图形的周长为，

即，所以 ;

故答案为：16.