黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷【含答案】

黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷

一、单选题

1．下列各运算中，计算正确的是（　　）  

A． B．

C． D．

2．下列图标中是中心对称图形的是（　　）  

A． B． C． D．

3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　） 

A． B． C． D．

4．一组从小到大排列的数据: ,3,4,4,6( 为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（　　）  

A．3.6或4.2 B．3.6或3.8 C．3.8或4.2 D．3.8或4.2

5．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则实数k的取值范围是（　　）  

A． B．

C． D． 且

6．如图，菱形 的两个顶点A，C在反比例函数 的图象上，对角线 ， 的交点恰好是坐标原点O，已知 ， ，则k的值是（　　） 

A．5 B．4 C．3 D．2

7．已知关于x的分式方程 的解为正数，则c的取值范围是（　　）  

A． B． 且

C． D． 且

8．如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点H，连接 ，若 ， ，则 的长为（　　） 

A．4 B．5 C． D．6

9．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）  

A．12种 B．15种 C．16种 D．14种

10．如图，正方形 的边长为a，点E在边 上运动（不与点A，B重合）， ，点 在射线 上，且 ， 与 相交于点G，连接 、 、 ．则下列结论：① ；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值是 ；⑤当 时，G是线段 的中点．其中正确的结论是（　　） 

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤

二、填空题

11．   5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为　     　.  

12．函数y= 中，自变量x的取值范围是　     　． 

13．如图， 和 中， ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　                                      　，使 和 全等． 

14．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为　     　．  

15．若关于x的一元一次不等式组 有2个整数解，则a的取值范围是　        　．  

16．如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 　     　 ． 

17．小明在手工制作课上，用面积为 ，半径为 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　     　 ．  

18．如图，在边长为4的正方形 中将 沿射线 平移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为　     　． 

19．在矩形 中， ， ，点E在边 上，且 ，连接 ，将 沿 折叠．若点B的对应点 落在矩形 的边上，则折痕的长为　         　．  

20．如图，直线 的解析式为 与 轴交于点M，与y轴交于点A，以 为边作正方形 ，点B坐标为 ．过点B作 交 于点E，交x轴于点 ，过点 作x轴的垂线交 于点 以 为边作正方形 ，点 的坐标为 ．过点 作 交 于 ，交x轴于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，以 为边作正方形 ， ，则点 的坐标　                   　． 

三、解答题

21．先化简，再求值： ，其中 ．  

22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点 、 、 均在格点上 

（1）将 向左平移5个单位得到 ，并写出点 的坐标；  

（2）画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；  

（3）在（2）的条件下，求 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．  

23．如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C． 

（1）求抛物线的解析式；  

（2）抛物线上是否存在点P，使 ，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．  

24．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．

求：

（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；  

（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；  

（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．  

25．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求 的函数解析式；  

（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．  

（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）  

26．如图①，在 中， ， ，点D、E分别在 、 边上， ，连接 、 、 ，点M、N、P分别是 、 、 的中点，连接 、 、 ． 

（1） 与 的数量关系是　     　．  

（2）将 绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断 与 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．  

27．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．

（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．  

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案  

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 ，求a的最大值．  

28．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 长是方程 的根，连接 ， ，并过点 作 ，垂足为 ，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿 方向匀速运动到点D为止；点M沿线段 以每秒 个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒

（1）线段 　     　；  

（2）连接 和 ，求 的面积s与运动时间 的函数关系式；  

（3）在整个运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．  

1．A 2．B 3．B 4．B 5．B

6．C 7．B 8．A 9．D 10．D

11．3×108   12．x≠2

13． （ 或 或 等）

14．   15．6＜a≤8   16．50  17．10   18．  19． 或

20．

21．解：原式=

=

=

= ，

当 时，

原式 ．

22．（1）解： 如图所示， ；  

（2）解： 如图所示，

（3）解：

23．（1）解：∵二次函数 的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，  

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为： ；

（2）解：存在，理由如下： 

当点P在x轴下方时，

如图，设AP与y轴相交于E，

令 ，则 ，

∴点C的坐标为(0，3)，

∵A(-1，0)，B(3，0)，

∴OB=OC=3，OA=1，

∴∠ABC=45 ，

∵∠PAB=∠ABC=45 ，

∴△OAE是等腰直角三角形，

∴OA=OE=1，

∴点E的坐标为(0，-1)，

设直线AE的解析式为 ，

把A(-1，0)代入得： ，

∴直线AE的解析式为 ，

解方程组 ，

得： (舍去)或 ，

∴点P的坐标为(4， )；

当点P在x轴上方时，

如图，设AP与 轴相交于D，

同理，求得点D的坐标为(0，1)，

同理，求得直线AD的解析式为 ，

解方程组 ，

得： (舍去)或 ，

∴点P的坐标为(2， )；

综上，点P的坐标为(2， )或(4， )

24．（1）解：该班一分钟跳绳的平均次数至少为 

，

即该班一分钟跳绳的平均次数至少是100.8次，超过了全校的平均次数；

（2）解：这个学生的跳绳成绩在该班是中位数， 

共有50名学生，可知中位数是将跳绳次数从小到大排列后位于第25、26这两个次数的平均数，

因为4+13=17<25，4+13+19=36>26，

所以中位数一定在100～120范围内，

即该生跳绳成绩的所在范围为100～120；

（3）解：该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：l9+7+5+2=33(人)， 

所以P（其跳绳次数超过全校平均数）= ，

答：从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率为 ．

25．（1）解：由图象可知：M ，E

设 的解析式  

把M ，E 代入得：

，解得 ，

的解析式为   ；

（2）解：由图象知B（4，0），C(6,200) 

设 的解析式 ,

把B（4，0），C(6,200)代入得， ，

解得， ，

∴ 的解析式为：

由图象知F（5，200），G（9，0）

设 的解析式 ，

把F（5，200），G（9，0）代入上式得， ，

解得， ，

故 的解析式为：

联立方程组得， ，解得 ；

由图象得，C（6，200），D（8，0）

设CD的解析式为y=rx+s，

把C（6，200），D（8，0）代入上式得， ，

解得，

故CD的解析式为y=-100x+800,

联立方程组得 ，解得

答：货车返回时与快递车途中相遇的时间 ，

（3）解：由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时， 

其速度为：200÷2=100(km/h)

所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：100×1=100（km）

26．（1）

（2）解：图（2）： 图（3）：

证明：如图（2）

图②

连接 ，延长 交 于H，交 于 ，

，

，

， ，

，

， ，

，

，

，

、M、N分别是 、 、 的中点，

， ，

， ，

，

，

是等腰直角三角形，

，

．

27．（1）解：由题意得 

，

解得： ；

答：m、n的值分别为10和14；

（2）解：根据题意 ，  

解得： ，

因为x是整数

所以x为58、59、60 ；

∴共3种方案，分别为：

方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；

方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；

方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；

（3）解：方案一的利润为： 元，  

方案二的利润为： 元，

方案三的利润为： 元，

利润最大值为 元，甲售出 ，乙售出 ，

∴

解得：

答：a的最大值为1.8；

28．（1）

（2）解：如图1，过点M作MH⊥BD于H， 

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=30°，

∴MH= MD= ，

∵∠DBC=30°，CN⊥BD，

∴BN= ，

当点P在线段BN上即 时，

△PMN的面积 ；

当点P与点N重合即 时，s=0，

当点P在线段ND上即 时，

△PMN的面积 ；

∴ ；

（3）解：如图，过点P作PE⊥BC于E， 

当PN=PM=9-2t时，则DM= ，MH= DM= ，DH= ，

∵ ，

∴ ，

解得： 或 ，

即 或 ，

则BE= 或BE= ，

∴点P的坐标为( ， )或( ， )；

当PN=NM=9-2t时，

∵ ，

∴ ，

解得 或24（不合题意舍去），

∴BP=6，PE= BP=3，BE= PE=3

∴点P的坐标为( ， )，

综上所述：点P坐标为( ， )或( ， ) ．