北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第2课时教案

这是一份北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第2课时教案，共13页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

第2课时
一、教学目标
1.理解并掌握正方形的判定定理，并会用正方形的判定定理进行证明和计算；
2.经历正方形判定定理及中点四边形的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3.能够用综合法证明正方形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
二、教学重难点
重点：理解并掌握正方形的判定定理，会用正方形的判定定理进行证明和计算.
难点：探究证明正方形的判定定理，探究并证明中点四边形.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【复习回顾】
教师活动：先提出问题让学生观察，然后再动画演示.
问题：观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
预设答案：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
追问：正方形具有哪些性质呢？
预设答案：

正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
【想一想】
你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？
预设答案：

追问：怎样判定一个四边形是正方形呢？
【操作】如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形.
你知道这样做的道理吗？
观察实物图形，回顾正方形的概念.
回顾正方形的性质.
思考回答
观察与思考
通过对实物中的正方形的直观观察，及动画演示复习回顾正方形的概念和性质，为本节课要学习的内容做准备.
通过想一想与操作环节，引出将要探究的内容.
环节二 探究新知
【合作探究】
教师活动：研究正方形的判定方法，准备了两个探究活动，活动1是从矩形的基础上探究，活动2是从菱形的基础上探究，最后得出正方形的4种判定方法.
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
满足怎样条件的矩形是正方形？
预设答案：
【猜想1】当矩形的一组邻边相等时，会变成一个正方形.
【猜想2】当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形.
【证明】
猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC.
求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形
又∵ AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°.
又∵ AC⊥BD，
∴△AOB ≌ △AOD（SAS）.
∴AB = AD.
∴四边形ABCD是正方形.（正方形的定义）.
【归纳】
正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
满足怎样条件的菱形是正方形？
预设答案：

【猜想3】当菱形的有一个角是直角时，会变成一个正方形.
【猜想4】当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形.
【证明】
猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
猜想4：对角线相等的菱形是正方形.
已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
∴∠BAD=90°
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
【归纳】
正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形.

定理4：对角线相等的菱形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形.
动手操作，交流反馈
说出猜想
熟悉证明过程
熟悉正方形的判定定理1、2及其几何语言
动手操作，交流反馈
说出猜想
熟悉证明过程
熟悉正方形的判定定理及其几何语言
通过活动1探究当矩形满足一组邻边相等或对角线互相垂直时，所得的四边形是正方形.
通过证明让学生明确正方形的判定定理1、2，培养学生的逻辑推理能力.
通过归纳进一步熟悉正方形的判定定理，培养归纳概括能力.
通过活动2探究当菱形形满足有一个角是直角或对角线相等时，所得的四边形是正方形.
通过证明让学生明确正方形的判定定理3、4，培养学生的逻辑推理能力.
通过归纳进一步熟悉正方形的判定定理，培养归纳概括能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.

分析：由BF∥CE，CF∥BE，可证四边形 BECF 是平行四边形，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°，又由BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，可得∠EBC = ∠ECB =45°，所以EB = EC.从而四边形BECF 是菱形，在△BEC中，∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
∴∠EBC =∠ABC = 45°，
∠ECB =∠DCB = 45°.
∴∠EBC=∠ECB.
∴EB = EC.
∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）.
在△EBC 中，
∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 90°.
∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
你还有其它的证明方法吗？
引导学生先从证矩形入手，然后再根据判定定理1和2解决.
【做一做】
教师活动：引导学生探究以正方形的四边中点为顶点组成一个新的图形，并对这个图形进行猜想和证明.
问题：如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.
思考：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？
预设答案：
猜想：正方形
你能尝试证明吗？
【证明】
已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点.
求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形.
证明：连接 AC，BD，
∵A1，B1 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ A1B1∥AC 且A1B1=AC，
同理可证 C1D1∥AC 且 C1D1 =AC，
A1D1∥BD且A1D1 =BD，
B1C1∥BD且B1C1 =BD.
∴四边形 A1B1C1D1 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD（正方形的对角线相等）
AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），
∴A1B1= A1D1 =B1C1= C1D1，∠1 = 90°.
∴四边形 A1B1C1D1 是菱形，∠2 = 90°.
∴四边形 A1B1C1D1 为正方形.
归纳：以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形.
【议一议】
教师活动：做一做环节从任意的四边形和正方形角度探究了中点四边形，议一议主要从矩形和菱形的角度探究， 得出猜想并证明，最后得出决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.
问题1：菱形的中点四边形会是什么形状？
预设答案：

猜想：菱形的中点四边形是矩形.
问题2：矩形的中点四边形会是什么形状？
预设答案：
猜想：矩形的中点四边形是菱形.
请尝试证明这两个猜想？
【证明】
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点.
求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1 = 90°. ∴四边形PFQO 为矩形.
∴∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
归纳：以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形.
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点.
求证：四边形 EFGH 为菱形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴EF∥AC 且 EF = AC，
同理可证 HG∥AC且HG =AC，
EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等），
∴EF =EH
∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
归纳：以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形.
追问：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
预设答案：
决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.
明确例题的做法
动手画一画，观看图形猜测结论
证明猜想
动手画一画，观看图形猜测结论
让学生在探究过程中进一步加深对正方形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识.
探究中点四边形的问题，旨在综合应用平行四边形及正方形的性质定理和判定定理，发展空间感念，培养学生解决问题的能力.
利用类比的方法分别提出了以菱形、矩形以及平行四边形各边中点为顶点所组成图形的形状问题，除了让学生猜测、证明外，还希望学生能进一步分析、概括得到一个一般性的结论：所得的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是菱形.
2.如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且 AE = BF = CG = DH. 四边形 EFGH 是什么特殊四边形？你是如何判断的？
答案：
1.证明: 在正方形 ABCD 中，BE ＝DF，
易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ，
即 CE ＝AE ＝AF ＝FC，
∴四边形 AECF 是菱形．
2. 解：四边形 EFGH 是正方形.
∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH，
易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
即EH ＝HG＝GF＝FE，且∠AHE＝∠DGH ．
∵∠DGH ＋∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°，
∴四边形 EFGH 是正方形.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
学生尝试回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第25页
习题1.8 第4题
学生课后自主完成.
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.