初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定第1课时教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定第1课时教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时
一、教学目标
1.理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
2.经历矩形性质定理和直角三角形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3.能够用综合法证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理，进一步发展演绎推理能力.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
二、教学重难点
重点：理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理和直角三角形性质定理.
难点：探究证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【复习回顾】
教师活动：提出问题让学生思考后回答，再引出新问题.
问题：我们已经学习了特殊平行四边形中的菱形，你能说一说它是由平行四边形怎么变化而来的吗？
预设答案：平行四边形的边进行特殊化(一组邻边相等)，得到菱形.
追问：想一想如果平行四边形的角特殊化，会出现什么样的图形呢？
思考回答
回顾平行四边形的边特殊化得到菱形，思考平行四边形的角进行特殊化得到什么图形，为本节课要学习的内容作准备.
环节二 探究新知
【观察】
教师活动：教师课件展示几幅图片中都含有平行四边形，观察得到这些平行四边形的共同特征，并通过动画展示有一个角是直角，从而给出矩形的定义.
问题：下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？

预设答案：每幅图片中的平行四边形都有直角.
思考：平行四边形的变化过程，当有一个角是直角时，会产生什么图形？

预设答案：有一个角是直角的平行四边形.
追问：你能给这样的图形下个定义吗？
预设答案：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(矩形的定义)
师强调：按照矩形的定义必须满足：有一个角是直角且四边形是平行四边形.
【试一试】
矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中的例子吗？

教师动画演示从实例中抽象出矩形，一方面加深对矩形的理解，另一方面强调矩形也是特殊的平行四边形.
【想一想】
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，你能列举出来吗？
预设答案：

矩形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.
追问：除了这些性质，矩形还具有哪些特殊的性质呢？
【做一做】
教师活动：动画演示折纸活动，通过折纸活动，让学生发现、验证矩形是轴对称图形;通过量一量，让学生观察，发现矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等.
(1)用矩形纸片折一折，矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
预设答案：矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
(2)用量角器和直尺分别量一量矩形纸片的角和对角线：

思考：通过上面的量一量活动，你发现了矩形的什么特殊性质？

预设答案：矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
追问：你能证明这些性质吗？
【证明】
已知：如图，在矩形ABCD 中，∠ABC=90°, 对角线 AC 与 BD 相交于点O.
求证:(1)∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；(2) AC = BD.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°.
(2)∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC(矩形的对边相等)，
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.
∴AC = BD.
【归纳】
矩形的性质
具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.
矩形的特殊性质：
角：矩形的四个角都是直角.
对角线：矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC=BD.
【议一议】
教师活动：课件出示动画，让学生自主量一量，再观察，发现直角三角形的性质.
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系？

预设答案：BE是Rt△ABC的中线,
追问：你能证明这个结论吗？
【证明】
已知：如图，在矩形ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 相交于点E.
求证:
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = DB(矩形的对角线相等)，
∴
【归纳】
直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
认真观察
观看动画
说出常见的矩形形象的实物
举手说一说
认真思考
观看演示视频过程或自主折纸尝试，回答问题
量一量，交流反馈
熟悉证明过程
熟悉矩形的性质及其几何语言
量一量，思考回答
悉证明过程
熟悉直角三角形的性质定理
观察三幅图片中的平行四边形，找出它们的共同特征，为引出矩形的定义打下基础
借助动态演示，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变.体会矩形是平行四边形的角特殊化后的产物，自然引出矩形的定义.
通过举例说明，使学生真实感受矩形的广泛应用，激发学习兴趣.先让学生列举出这些性质，一是对平行四边形性质的回顾；二是在回顾这些性质的过程中，结合矩形的形状特征，学生初步感悟到矩形的一些特殊性质，为接下来探索、证明矩形的特殊性质做好铺垫.
鼓励学生实际折一折或观看视频，并在操作或观看过程中进行观察与思考，从而获得有关结论.
鼓励学生自主量一量矩形的四个角及对角线，发现结论，并猜想.
通过证明让学生明确菱形的性质，培养学生的逻辑推理能力.
通过归纳进一步熟悉矩形的性质，培养归纳概括能力.
鼓励学生自主量一量两条线段，发现结论，并猜想.
通过证明让学生明确直角三角形的性质，培养学生的逻辑推理能力.
通过归纳进一步熟悉直角三角形的性质，培养归纳概括能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.

分析：
思路一：由矩形的性质可得，AC=BD,
,
∠BAD=90°，从而△AOD是等腰三角形；
又由∠AOD=120°，所以∠ADB=30°，再由30°角所对的直角边是斜边的一半可得BD=2AB=5.
思路二：由矩形的性质可得，AC=BD,
,
又由∠AOD=120°，所以∠AOB=60°，
从而可得△AOB是等边三角形.再由等边三角形的性质可得AO=BO=2.5,从而AC=BD=2AO=5.
法一：
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD(矩形的对角线相等)
OA = OC =AC，OB = OD =BD，
∴OA = OD即△AOD是等腰三角形
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD =(180°-120°) = 30°.
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
法二：解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD, AO=OC=AC,BO=OD=BD.
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等边三角形.
∴AO=BO=AB=2.5.
∴AC=2AO=5,即矩形ABCD的对角线的长度为5.
明确例题的做法
让学生在探究过程中进一步加深对矩形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交于点 O，AB=6，OA=4. 求 BD 与 AD 的长.
2. 一个矩形的对角线长为 6 ，对角线与一边的夹角是 45°， 求这个矩形的各边长.
3. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长为 15，求这个矩形较短边的长.

答案：
1.解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD(矩形的对角线相等)，
∴BD = 2OA = 8，
在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2，
AD2 + 62 = 82，

2. 解：如图，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A =90°，
又∵∠ABD = 45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB = AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB = AD = BC = CD = .
3.解：如图

∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD = 15，
∴OD = OC = 7.5，
又∵∠COD = 60°，
∴△COD是等边三角形，
∴ CD =7.5 .
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
学生尝试回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第13-14页
习题1.4 第3、4题
学生课后自主完成.
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.