数学北师大版第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第2课时教案

这是一份数学北师大版第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第2课时教案，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

第2课时
一、教学目标
1.理解并掌握矩形的判定定理，并会用矩形的判定定理进行证明和计算；
2.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
二、教学重难点
重点：理解并掌握矩形的判定定理，会用矩形的判定定理进行证明和计算.
难点：探究证明矩形的判定定理.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【复习回顾】
教师活动：先提出问题让学生观察，然后再动画演示.
问题：观察下列实物中的矩形，说一说什么是矩形？

预设答案：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
追问：矩形具有哪些性质呢？
预设答案：

矩形的性质：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等.
观察实物图形，回顾矩形的概念
回顾矩形的性质
通过对实物中的矩形的直观观察及动画演示复习回顾矩形的概念和性质，为本节课要学习的内容作准备.
环节二 探究新知
【合作探究】
教师活动：研究矩形的判定方法，先是从矩形的定义出发，接着从对角线的角度，最后从角的角度，从而得出判定矩形的三种方法.
思考：矩形是特殊的平行四边形，当平行四边形满足什么条件时，会变成矩形吗？
预设答案：定义法判断一个平行四边形是矩形，可以认为是矩形的判定方法一.
【归纳】
矩形的判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°
∴ 四边形ABCD是矩形.
【做一做】
教师活动：播放视频，演示变化过程，当两个对角线长度相等时，用量角器量下∠α，通过量一量及矩形的定义猜测出对角线相等的情况下的平行四边形是矩形.
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.观看右边动画演示回答下列问题：

(1)随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
预设答案： (1)随着∠α 的变化两条对角线的长度一条变长，另一条变短. (2)当两条对角线长度相等时，平行四边形内的∠α 是直角.
得出猜想“对角线相等的平行四边形是矩形.”
追问：你能证明这个猜想吗？
教师可以考虑让学生分组尝试证明，并交流反馈.
【证明】
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）.
【归纳】
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
符号语言：∵在□ABCD中，AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
【想一想】
我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
动画演示四边形的内角是直角的个数，学生观察后得出猜想.
预设答案：

得出猜想“三个角是直角的四边形是矩形.”
追问：你能证明这个猜想吗？
教师可以考虑让学生分组尝试证明，并交流反馈.
【证明】
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A =∠B =∠C= 90°，
∴∠A+∠B = 180°， ∠B +∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴四边形 ABCD 是矩形.
【归纳】
矩形的判定定理3：三个角是直角的四边形是矩形.
符号语言：
∵在四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C= 90°，
∴四边形ABCD是矩形.

想一想：现在你知道如何判定一个四边形为矩形了吗？
预设答案：
从平行四边形的角度：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.
从四边形的角度：有三个角是直角的四边形是矩形.
【议一议】
教师活动：课件出示检查方法，引导学生思考回答.
如果仅有一根较长的绳子，你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？
预设答案:
①先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
②再用绳子测量对角线是否相等，相等则是矩形.
思考：说一说这样检查的理由？
预设答案：对角线相等的平行四边形是矩形.
学生理解
观看视频或有条件的同学动手操作
说出猜想
熟悉证明过程
熟悉矩形的判定定理及其几何语言
观察思考
熟悉证明过程
熟悉矩形的判定定理及其几何语言
自由说一说
思考回答
思考回答
明确矩形的定义可以作为判定矩形的方法之一，并学会用几何语言描述.
观看视频，动态演示变化过程，让学生直观感知对角线的变化带来平行四边形的改变，体会对角线相等的平行四边形是矩形，自然引出矩形的判定定理2.
通过证明让学生明确矩形的判定定理2，培养学生的逻辑推理能力.
通过归纳进一步熟悉矩形的判定定理，培养归纳概括能力.
鼓励学生根据自己的实际情况，进行实际操作与探究，引导学生探索出矩形的另一种判定方法.
通过证明让学生明确矩形的判定定理3，培养学生的逻辑推理能力.
通过归纳进一步熟悉矩形的判定定理，培养归纳概括能力.
通过归纳总结从图形所属的范围考虑矩形的判定方法，培养归纳概括能力.
鼓励学生利用矩形的判定定理解决问题，让学生体会数学与生活的联系.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例2 如图，在  ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.求  ABCD 的面积.
分析：由平行四边形的性质可得，OA=OC ，OB=OD.由△ABO 是等边三角形，得OA=OB =AB=4，从而有AC=BD=2OA=8，所以□ABCD是矩形.
再由矩形的性质得∠ABC=90°，从而由勾股定理求出BC的长，即可求出□ABCD的面积.
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴SABCD = AB·BC =.
明确例题的做法
让学生在探究过程中进一步加深对矩形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.已知：如图，在  ABCD 中，M 是 AD 边的中点， 且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
2.如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
(1)试判断四边形 ABEC 的形状；
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
3.如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别交∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D.试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论.
答案：
1.证明：在平行四边形ABCD 中，
AB = CD，M 是 AD 边的中点，
∴MA = MD，且 MB = MC，
即△ABM≌△DCM，
∴∠A =∠D.
又∵∠A +∠D = 180°，
∴∠A =∠D = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
2. 解:(1)四边形 ABEC 是平行四边形．
证明：∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，
∵AD=DE，∴四边形ABEC的对角线互相平分，∴四边形ABEC是平行四边形.
(2)当△ABC 满足∠BAC＝90°时，四边
ABEC 是矩形．理由如下：有一个角是角的平行四边形是矩形.
3.证明: ∵CD ∥MN ， BC， BD 分别为∠MBA ，∠ABN 的平分线，
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB，
∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB，且∠CBD ＝90°，
∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
∵∠AOD ＝∠COB，
∴△AOD ≌△COB，
则∠DAO＝∠OBC， AD ∥BC， AD ＝BC，
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD ，
∴四边形 ACBD 为矩形．
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
学生尝试回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第16页
习题1.5 第3题
学生课后自主完成.
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.